Tài liệu tự học toán lớp 11 hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Tìm tập xác định của hàm số A.. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Tập xác định của hàm số y= f x là tập hợp tất cả các giá trị của biến số x sao cho fx có nghĩa... Giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giá

Dạng 1 Tìm tập xác định của hàm số

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Tập xác định của hàm số y= f x( ) là tập hợp tất cả các giá trị của biến số x sao cho f(x) có nghĩa

( )

f x y

g x

= có nghĩa ⇔ ( ) g x ≠ 0

• y=2n f x( ) có nghĩa ⇔ ( ) 0, ( f x ≥ n ∈ ℕ )

• y=2n+ 1 f x( ) có nghĩa ⇔ f x( ) có nghĩa ( n ∈ ℕ ) • y=tan ( )f x có nghĩa ⇔ cosf x ≠( ) 0 ⇔ ( ) ,( ) 2 f x π k k π ≠ + ∈ ℤ • y=cot ( )f x có nghĩa ⇔ sin f x ≠( ) 0⇔ f x( )≠kπ, (k∈ ℤ) B BÀI TẬP MẪU Ví dụ 1. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau: a) 1 cos sin − = x y x b) 1 sin 1 cos − = + x y x c) tan 3 π   =  −    y x d) cot 6 π   =  +    y x

C BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) y = sin 3 x b) cos

2

2 cos

=

y

2 cos 1

=

−

x y

x

e) y= 3 sin− x f) tan 2

3

π

=  + 

y x g) y=cos x h) cot 2

4

π

=  − 

D BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 2. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) sin 1

1

+

=

−

x y

sin 2 cos 1

+

=

+

x y

cot

=

−

x y

x d) =tan3

x y

e) sin 21

1

=

−

y

2 cos cos 3

=

−

y

x x g) y = tan x + cot x h) 2 2

3

=

−

y

Bài 3. Tìm m để hàm số sau xác định ∀ ∈ ℝx : y = sin4x c + os4x − 2 sin cos m x x

Bài 4. Tìm tập xác định của các hàm số:

a) y = 2 + tan2x − cos x b) y= sin 2x−sinx+3

Dạng 2 Tìm giá trị lớn nhất Giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

• Sử dụng phương pháp miền giá trị của hàm số lượng giác x ∀ ∈ ℝ :

1 sin− ≤ x ≤ , 1 − ≤1 cosx ≤ 1 0≤sin2x ≤ ,1 0≤cos2x ≤ 1

0≤ sinx ≤ , 1 0≤ cosx ≤1 0≤ sinx ≤ , 01 ≤ cosx ≤ (khi sin1 x ≥0, cos x ≥ ) 0

• Sử dụng các tính chất của bắt đẳng thức:

a≤b⇔b≥a

≤ 



≤ 

≤ 



≤ 

a≤b⇔a c≤b c (nếu c > 0: giữ nguyên chiều) a≤b⇔a c ≥b c (nếu c < 0: đổi chiều)

0

0

a c b d

> > 



> > 

0

> > ⇔ <

a>b> ⇔a >b n∈ ℕ a>b⇔a2n+1 >b2n+1 (n∈ ℕ*)

• Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc: Cô-si, BCS, …

B BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) y=2 cosx+1 b) y = 3 – 2sin x c) 2cos 3

3

π

=  +  +

y x d) y = 1 sin( − x2) 1 −

C BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: a) 2 1 4 cos 3 + = x y b) y=4sin x c) y= 2(1 cos ) 1+ x + d) y=cos2x+2 cos 2x e) y= +2 3cosx f) y=3 – 4sin2xcos2x g) y=2sin2x– cos 2x h) y=3 – 2 sinx i) y=3 – 4sinx j) 3sin 2 6 π   =  − −   y x k) 2 2 5 2 cos sin = − y x x l) cos cos 3 π   = +  −    y x x D BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 6. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số a) y= sinx+ cosx b) y=sinx(1 2 cos 2− x)

Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 4 4 2 2

cot cot 2 tan tan 2

Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) y=sinx trên đoạn ; 2

3 3

−

  b) cos 2 cos 2

y  x π   x π 

    trên đoạn ;

3 6

π π

−

 

Dạng 3 Xét tính chẵn – lẻ của hàm số

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Cho hàm số y= f x( ) xác định trên D :

a) Hàm số chẵn trên D nếu







b) Hàm số lẻ trên D nếu







c) Hàm số không chẵn, không lẻ trên D nếu: 0 0

0 : ( 0) ( 0) ( 0)







Nhận xét: Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung

Hàm s ố lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ

(a−b)n =(b−a) ,n n∈ ℝ (a−b)2n+1= −(b−a)2n+1,n∈ ℝ

B BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 3. Xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm sồ sau:

a) y=x– sinx b) y=3sin – 2x c) y=sin – cosx x

d) y=sin cosx x+tanx e) y=cosx

x f) y= 1 cos− x

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Bài 9. Xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm sồ sau:

a) tan cot

1 sin 2

+

=

−

y

1 cos

1 cos

+

=

−

x y

3

sin 2

=

d) y=cos3x e) tan

5

π

3

sin cos 2

−

y

x

g)

sin tan

=

+

x y

6

4

1

=

−

y

x

Dạng 4 Tính tuần hoàn của hàm số

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để xét tính tuần hoàn của các hàm số ta dựa vào khái niệm sau:

Hàm số y= f x( ) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu

0

T

∃ ≠ sao cho





Nếu tồn tại số T >0 nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T được gọi là chu kỳ của

hàm số tuần hoàn y= f x( )

Chú ý: ● y=sin(ax+b) có chu kỳ T0 2

a

π

= ● y=cos(ax+b) có chu kỳ T0 2

a

π

● y=tan(ax+b) có chu kỳ T0

a

π

= ● y=cot(ax+b) có chu kỳ T0

a

π

● y= f1( )x có chu kỳ T1 và y= f2( )x có chu kỳ T2 thì hàm số y= f1( )x ± f2( )x có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.

C BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 4. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau

sin 2

y

x

Ví dụ 5. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau a) y = + x sin x b) y = sin 22 x + cos 22 x

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Bài 10. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau (a ≠0):

a) y=sin(ax b+ ) b) y=cos(ax b+ ) c) y=tan(ax+b) d) y=cot(ax b+ )

Bài 11. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số:

Dạng 5 Sử dụng đồ thị

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

• Vẽ đồ thị hàm số trên miền đã chỉ ra

• Dựa vào đồ thị xác định giá tị cần tìm

B BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 6. Hãy xác định giá trị của x trên đoạn ; 3

2

π π

−

  để hàm số y = tan x nhận giá trị: a) bằng 0 b) bằng 1 c) dương d) âm

Ví dụ 7. Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x , tìm những giá trị của x trên đoạn 3 ; 2 2 π π   −     để hàm sốđó: a) Nhận giá trị bằng –1 b) Nhận giá trị âm

B BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

Bài 12. Dựa vào đồ thị hàm số y=cosx, tìm các giá trị của x để cos 1

Bài 14. Trong mỗi khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai? Giải thích vì sao?

a) Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sin x đồng biến thì hàm số y=cosx nghịch biến

Bài 15. Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x hãy vẽđồ thị hàm số y= sinx

Bài 16. Cho hàm số y= f x( )=2 sin 2x

a) Chứng minh rằng với số nguyên dương k tùy ý, luôn có f x( +kπ)= f x( ) với mọi x

b) Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2sin 2 x trên đoạn ;

Bài 17. CMR: sin 2 ( x + k π ) = sin 2 x với mọi số nguyên k Từđó vẽđồ thị hàm số y = sin 2 x

Bài 18. CMR: cos1( 4 ) cos

Phần 2 - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

B BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:

a) sin 3

2

= −

π

− = −

 x  c) tan 3 – 30( x ° =) –1

π

1 sin

4

=

3

x

C BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 19. Giải các phương trình sau:

a) sin( – 60 ) 1

2

5

=

x

d) cos 2 1

π

+ = −

2

6

π

g) tan tan

x

h) cot 20 3

x

+ ° = −

2 tan 2 tan

7

π

=

x

j) sin 4 2

3

=

x k) cos 3 – 45 ( ) 3

2

x ° = l) sin 3 – 3

2

=

x

m) sin 2 – 15 ( ) 3

2

x

+ ° = −

3 sin 2

2

=

x

Dạng 2 Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác là các phương trình có dạng:

0 + =

asinx b ; acosx b+ =0; atanx b+ =0; acotx b+ =0

Phương pháp giải: Chuyển về phương trình lượng giác cơ bản.

B BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 9. Giải các phương trình sau:

3

π

+ − =

d) 2 cos ( x + 50 ° = − ) 3 e) 2cos – 3 x = 0 f) 3 tan 3 – 3 x = 0

Ví dụ 10. Giải các phương trình sau:

a) cos 2 cot 0

4

π

c) (1 2 cos+ x)(3 – cosx)=0 d) (cotx+1 sin 3) x=0

Ví dụ 11. Giải các phương trình sau: a) cos 3 – sin 2x x =0 b) tan tan 2x x =–1

C BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 20. Giải các phương trình sau:

a) sin 2 cotx x =0 b) tan(x– 30 cos 2 –150°) ( x ° =) 0

c) ( 2 cos 2 –1 2 sin 2 x ) ( x – 3 ) = 0 d) ( 3 tan x + 3 ) ( 2 sin – 1 x ) = 0

e) tan 2( x+60 cos°) (x+75° =) 0 f) (2 cos+ x)(3cos 2 – 1x )=0

g) ( sin x + 1 2 cos 2 – 2 ) ( x ) = 0 h) (sin 2 – 1 cosx )( x +1)=0

C BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 21. Giải các phương trình sau:

c) sin 3x+sin 5x=0 d) cot 2 cot 3x x =1

e) sin – cosx (x +60° =) 0 f) cos(x–10° +) sinx=0

g) sin sin 2

π

− = −

i) tan 3x+tanx=0 f) tan 3x+tan 2 – 45( x ° =) 0

k) sin 2x+cos 3x=0 l) tan tan 3x x =1

m) cot 2 cotx (x+45°)=1 n) tan 3( x+2)+cot 2x=0

q) ( sin x + 1 2 cos 2 – 2 ) ( x ) = 0 r) (sin 2 – 1 cosx )( x +1)=0

Bài 22. Giải các phương trình sau:

a) sin2 1

4

=

x b) 4cos2x – 3 = 0 c) sin 3 – cos2 x 2x = 0 d) 2( ) 2

sin x– 45° =cos x e) 3

8cos x –1 = 0 f) 2( )

tan x+1 =3

Dạng 3 Tìm nghiệm phương trình lượng giác trên

khoảng, đoạn cho trước

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1 Giải phương trình lượng giác đã cho và tìm các họ nghiệm (nếu có)

Bước 2 Với mỗi họ nghiệm tìm được, cho thuộc khoảng, đoạn đề cho và tìm k (k∈ ℤ)

Bước 3 Ứng với mỗi giá trị k vừa tìm được, thế vào họ nghiệm tìm nghiệm tương ứng.

B BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 12. Giải các phương trình sau:

a) sin 2 – 15 ( ) 2

2

x ° = với –120°<x<90° b) tan 2 3

π

+ = −

 x  với 0<x<π

C BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 23. Giải các phương trình sau:

a) cos 2( 10) 1

2

x + = với – π < x < π b) sin 2 1

x π

− = −

  với 0<x<2π

c) sin – 1

2

x = với –π < x<0 d) cos ( – 2 ) 2

2

x = với x ∈ [ 0 ; π ]

e) tan(x– 10° =) 1 với–15° <x<15° f) sin 1

4

x π

  với x ∈ [ π ; 2 π ]

C BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 24. Tìm nghiệm thuộc đoạn [0;14] của phương trình: cos 3x−4 cos 2x+3cosx− =4 0

Bài 25. Tính giá trị của ; 0

2

∈ − 

  thỏa mãn phương trình: cot sin 2 cos 2

2 sin 2

x

x

−

= +

Bài 26. ệ ộ ( π c ) ủ ươ  cos 3 x + sin 3 x

Dạng 4 Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lượng giác

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Là các phương trình mà sau khi biến đổi ta được một trong các dạng sau (a≠0) :

•

••

• asin u2 ++++bsinu++++c====0 1(((( )))) • acos u2 ++++bcosu+ =+ =+ =+ =c 0 1(((( ))))

Điều kiện: –1≤ ≤t 1 Điều kiện: –1≤ ≤t 1

1 ⇔at +bt+ =c 0

Điều kiện: cosu≠0 Điều kiện:sinu≠0

Đặt t=tanu, Đặt t=cotu,

1 ⇔at +bt+ =c 0

B BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 13. Giải các phương trình sau:

a) 2sin2x + 3sin x − = 2 0 b) 3cot2x + 3cot x − = 2 0

c) 3cos2x − 5cos x + = 2 0 d) 3 tan2x−2 3 tan x + 1 = 0

Ví dụ 14. Giải các phương trình sau:

a) tan3x – 3 tan2x – 2 tan x + = 4 0 b) 4sin3x + 4sin2x – 3sin x = 3

C BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 27. Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x + 2 cos – 2 x = 0 b) 2cos2x – 3cos x + = 1 0

c) 6sin2x – 5sin – 4 x = 0 d) 2 ( )

3 tan x − 1 + 3 tan x + = 1 0

tan 3 x + 1 − 3 tan 3 x − 3 = 0 f) 2 ( )

h) 2sin2 2 sin 2 0

i) 2sin2 x − 3sin x − = 5 0 j) 2 tan2 x + 3 tan x + = 1 0

Bài 28. Giải các phương trình sau:

a) 2

sin x – 2 cos x + = 2 0 b) 2

cos x + sin x + = 1 0 c) 2cos 2x+4sinx+ =1 0 d) 2cos 2 – 2 x ( 3 + 1 ) cos x + 3 + = 2 0

cos5 cos x x = cos 4 cos 2 x x + 3cos x + 1 g) cot4x – 4 cot2x + = 3 0 h) cos 2 4co 5

2 6

s 3

π

−

i) tan2 – 4 5 0

cos + =

x

2

2

1 tan cos 4 – 3 2 0

1 tan

−

+ = +

x x

x

C BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 29. Giải các phương trình sau:

a) sin4 sin4 cos4 9

+  + +  + =

b) cos 2 cos 2 4 sin 2 2 1 sin ( )

Bài 30. Giải các phương trình sau:

a) tan3 –1 12 2 cot 3

π

2

2sin x = + 1 sin 3 x

tan x+cot x+2 tanx+cotx =6

Dạng 5 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

(Phương trình cổ điển)

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

a x++++b x====c ( )1 với a b c , , ∈ ℝ , và a2+ b2 ≠ 0

Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a2+ b2 ≥ c 2

Chia 2 vế phương trình cho a2+b2 , ta được: 2 2 .s inx + 2 2 .cos = 2 2 + + + a b c x a b a b a b Vì 2 2 2 2 2 2 1     + =     + +     a b a b a b nên đặt 2 2 cos α = + a a b , 2 2 sin α = + b a b Khi đó ta được: ( ) 2 2 sin + α = + c x a b rồi giải như phương trình cơ bản Chú ý: N ếu a=b có thể dùng công thức sau để giải: sin cos 2 sin 2 cos 4 4 π π     ± =  ±  = ±      ∓  x x x x B BÀI TẬP MẪU Ví dụ 15. Giải các phương trình sau: a) sin x + 3 cos x = 1 b) cos – 3 sin x x = 2 c) 3sin 3 – 4cos 3x x=5 d) 2sin x + 2 cos x − 2 = 0

Ví dụ 16. Giải các phương trình sau:

a) cos – 3 sin x x = 2 cos 3 x b) sin 9 x + 3 cos 7 x = sin 7 x + 3 cos9 x

C BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 31. Giải các phương trình sau:

a) sin – cos 6

2

c) sin 4 x + cos 4 x = 3 d) 2sin – 9 cos x x = 85

e) 3sin x + 3 cos x = 1 f) 2 cos – 3sinx x +2=0

g) cosx+4sinx+ =1 0 h) 2 sin 2 x + 3cos 2 x = 4

i) cos 2 – 15( x ° +) sin 2 – 15( x ° =) –1 j) sin 2 – 3 cos 2 x x = 1

k) 5 cos 2x+12sin 2x=13 l) 2sin x + 2 cos x = 2

C BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 32. Giải các phương trình sau:

a) 2sin 22 x + 3 sin 4 x = –3 b) cos 3 sin 2 cos

3

π

5 2

e) sin 2 sin2 1

2

x x f) 2sin2x + 3 sin 2 x = 3 g) 3cos2x – sin2x – sin 2 x = 0 h) 4sin cos x x = 13 sin 4 x + 3cos 2 x

i) 2cos 2 – sin 2x x=2 sin( x+cosx) j) 2sin17 x + 3 cos5 x + sin 5 x = 0

k) sin 5 x + cos5 x = 2 cos13 x l) 8sin2 – 3sin 4 0

x

m) 1 sin 1

+

= +

x

1 cos 4 sin 4 2sin 2 1 cos 4

−

= +

Bài 33. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các hàm số sau:

a) y=2sinx+ 3 cosx+1 c) y = 2sin2x + 4sin cos x x + 3

sinx+cosx−1

Dạng 6 Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sin x và cos x

x k (nếu có)

Chú ý: Ngoài ra ta có th ể dùng công thức hạ bậc để đưa ( )1 về dạng phương trình

bậc nhất theo sin 2x và cos 2x (Phần 3) Với:

2 1 cos 2sin

C BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 34. Giải các phương trình sau:

a) 2sin2x + sin cos – 3cos x x 2x = 0 b) 3sin2 x – 4 sin cos x x + 5 cos2x = 2

c) sin2 sin 2 – 2 cos2 1

2

x+ x x= d) 2 cos2x + sin 2 – 4 sin x 2x = –4 e) sin2x –10 sin cos x x + 21cos2x = 0 f) cos2x – 3sin cos x x + = 1 0

g) cos2 x – 3 sin 2 – sin x 2x = 1 h) 2 cos2x – 3sin cos x x + sin2x = 0

i) 3sin2x – 2 3 sin cos x x + cos2x –1 = 0 j) 3cos2x + sin cos x x + 2sin2x = 2

k) 3cos2 x + 3sin cos x x + 2 sin2 x = 1 l) 3 cos2x – sin 2 – 3 sin x 2x = 1

m) 3 sin 2 x + 2 cos2 x – 1 0 = n) 2 cos2x + 3sin 2 – 8sin x 2x = 0

C BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 35. Giải các phương trình sau:

a) sin3x + cos3x = sin x + cos x b) sin3x + 2sin2x cos – 3cos x 3x = 0

c) 3cos4x − 4cos2x sin2x − sin4x = 0 d) sin x − 4sin3x + cos x = 0

e) 2 2 cos3 3cos sin 0

Dạng 1: a((((sinx++++cosx))))++++bsin cosx x====c (1)

Đặt sin cos 2 sin

Dạng 2: sin – cosa(((( x x))))++++bsin cosx x==== c ( )1

Đặt sin – cos 2 sin –

Dạng 3: a sinx±±±±cosx ++++bsin cosx x==== c ( )1

Đặt sin cos 2 sin

B BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 18. Giải các phương trình sau:

a) 5sin 2 – 12 sin – cosx ( x x +) 12=0 b) 3 sin( x+cosx)– sin 2 – 3x =0

C BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 36. Giải các phương trình sau:

a) (cos – sinx x)+2 sin 2 – 1 0x = b) 2 sinx+cosx +3sin 2x=2

c) sin – cosx x +4sin 2x=1 d) tan x + cot x = 2 sin ( x + cos x )

e) (1 sin 2+ x)(cos – sinx x)=cos 2x f) 2sin 4x+3 sin 2( x+cos 2x)+ =3 0

• sinu+sinv=2 sin 1

u v

a) sin 52 x + = 1 cos 32 x b) sin2 x – 2sin x + 2 = sin 32 x

c) sin x + cos x = 2 2 – sin 3 ( x ) d) 2 cos2x = 3sin 52 x + 2

cos 4 – cos 2 x x = + 4 cos 3 x f) sinx+cosx=tanx+cotx

g) cos 5 sin 3x x =1 h) sin 2x+sin 3x+sin 4x=3

Dạng 9 Phương trình lượng giác có tham số

A BÀI TẬP Bài 38. Tìm m để các phương trình sau:

a) msin – 2x m+ =1 0 có nghiệm

b) mcos – 2x m+ =1 (2m– 1 cos) x có nghiệm

c) msinx+ =1 2 sin( x+m) vô nghiệm

d) cos2x – sin cos – 2sin x x 2x = m có nghiệm

e) (m+2 sin – 2 cos) x m x=2(m+1) có nghiệm

f) mcos 2x+(m+1 sin 2) x=m+2 có nghiệm

g) sinx+mcosx=1 vô nghiệm

h) (m+2 sin) x+mcosx=2 vô nghiệm

i) ( 2 ) 2

2 cos – 2 sin 2 1 0

j) sin 2 – 4 cos – sinx ( x x)=m có nghiệm

Bài 39. Xác định m để phương trình: 2(sin4x + cos4x ) cos 4 + x + 2sin 2 x − m = 0 có ít nhất một

3

=

a b) Tìm a để phương trình ( )1 có nghiệm

Bài 41. Cho phương trình:

cos sin

tan 2 cos sin

3 Phương pháp biến đổi đưa về tổng hai bình phương 2 2 0

a) 3 tan2x + 4sin2 x − 2 3 tan x − 4 sin x + 2 = 0

b) 4 cos2 x + 3 tan2x − 4 3 cos x + 2 3 tan x + = 4 0

4 Phương pháp đánh giá hai vế

Ví dụ 23. Giải phương trình

a) sin2010x + cos2010x = 1 b) sin8x + cos11x = 1

Ví dụ 25. Giải phương trình

cos 3 x + 2 cos 3 − x = 2 1 sin 2 + x b)sinx+ 2 sin− 2x+sinx 2 sin− 2x =3

Ví dụ 27. Giải phương trình

3cot x + 2 2 sin x = 2 3 2 cos + x b) sin 2x+cos 2x+tanx=2

7 Phương pháp nhân – chia thêm bớt

B BÀI TẬP Bài 42. Giải các phương trình sau:

a) sin2x + sin 22 x = sin 32 x b) sin 42 x + sin 32 x + sin 22 x + sin2x = 2

c) cos2x + cos 22 x + cos 32 x + cos 42 x = 2

d) sin2x + sin 22 x = cos 32 x + cos 42 x

2 cos x+2 cos 2x+2 cos 3x− =3 cos 4x 2 sin 2x+1

Bài 43. Giải các phương trình sau:

a) 4sin 3x+sin 5 – 2sin cos 2x x x=0 b) cos 2 – cos8x x+cos 6x=1

c) sinx+sin 2x+sin 3x+sin 4x=0 d) sin 2x+cos 2x+sin 3x=cos 3x

e) sin 6 sin 2x x=sin 5 sinx x f) cos8 cos 5x x=cos 7 cos 4x x

g) sin 7 cosx x=sin 5 cos 3x x h) sin 3x+sin 5x+sin 7x=0

i) 1 cos+ x+cos 2x+cos 3x=0 j) 3 2sin sin 3+ x x=3cos 2x

k) sinx+sin 2x+sin 3x= +1 cosx+cos 2x+cos 3x

l) sinx+sin 2x+sin 3x=cosx+cos 2x+cos 3x

Bài 44. Giải các phương trình sau:

a) cos 2 x + 4sin4x = 8cos6x b) sin x = 2 sin 5 – cos x x

c) tanx+cot 2x=2 cot 4x d) 2cos2x + sin10 x = 1

e) tanx+tan 2x=sin 3 cosx x f) 5 tan – 2 cotx x=3

g) (1 – tanx)(1 sin 2+ x)= +1 tanx h) 4sin3x = sin x + cos x

c) cos 2 x + 3 sin 2 x + 3 sin x − cos x = 4 ĐS: vn

d) cos 2 x + 3 sin 2 x + 3 sin x − cos x = 2 ĐS:

p) 2 cos 6 x + 2 cos 4 x − 3 cos 2 x = sin 2 x + 3 ĐS:

h) tan 3 tan 52 x x + 2 tan 3 x − tan 5 x = 0 ĐS:x=kπ , (k ∈ ℤ)

i) sin 2 cot 3 sin ( 2 ) 2 cos 5 0

k) 2sin2 2 sin2 tan

2

x x

Bài 55. Cho phương trình ( )( ) 2

cosx+1 cos 2x−mcosx =msin x Tìm m để phương trình có đúng hai

sin 2 x cos x + 3 − 2 3 cos x − 3 3 cos 2 x + 8 3 cos x − sin x = 3 3

Bài 61. Tìm nghiệm thuộc đoạn ; 2

2

π π

  của phương trình ĐS:x=3 /4π ; x=5 /6π

cos x − 4 sin x − 3cos sin x x + sin x = 0

Bài 63. Tìm nghiệm thuộc nửa khoảng ; 2

3

π π

Phần 4 - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH-CĐ-THPTQG

Dạng 1 Công thức lượng giác

Bài 64. Tính giá trị của biểu thức P=(1 3cos 2− α )(2 3cos 2+ α ) biết sin 2