Có lẽ lí do mà các em thường cảm thấy khó khăn khi giải các phương trình lượng giác là có quá nhiều công thức biến ñổi lượng giác nên không biết sử dụng công thức nào ñể biến ñổi và ñưa [r]
Trang 1TĂI LI Ệ U LUY Ệ N THI ðẠ I H Ọ C
CHUYÍN ðỀ 7: PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢ NG GIÂC
A TÓM T Ắ T LÝ THUY Ế T:
I Các cung liên quan:
1 Cung đối nhau: 2 Cung phụ nhau 3 Cung bù nhau
sin(–α) = – sinα sin
= cosα sin(π −α ) = sinα
cos(–α) = cosα cos
= sinα cos(π −α ) = – cosα
tan(–α) = – tanα tan
= cotα tan(π −α ) = – tanα
cot(–α) = – cotα cot
= tanα cot(π −α ) = – cotα
II Các hằng đẳng thức lượng giác:
1 Các hằng đẳíng thức 2 Các tính chất
sin2α + cos2α = 1 sin( x + k 2 π ) = sin x
tanα cotα = 1 cos(x + k2π) = cosx
αα
b a
b
a ) cos cos sin sin
b a
b a
b
cos( − = +
a b
b a
b
a ) sin cos sin cos
sin( + = +
a b
b a
b
b a
b a
b
a
tan.tan1
tantan
2
cos = − = 2cos2 a −1 = 1 − 2 sin2 a
Trang 2a a
a 2sin cos2
tan 2 2
3
a a
a 3sin 4sin33
4 Công thức hạ bậc:
2
2 cos 1
cos2 a = + a
2
2 cos 1
sin2 a = − a
5 Công thức biến đổi tổng thành tích
2
cos 2
cos 2 cos
cosa+ b = a+b a−b
2
sin2
sin2cos
2
cos 2
sin 2 sin
sina + b = a +b a −b
2
sin 2 cos 2 sin
cosa b = a −b + a +b
2
1 sin
sina b = a−b − a+b
2
1 cos
cos (sin
) cos sin 1 )(
cos (sin
Trang 3TÀI LI Ệ U LUY Ệ N THI ðẠ I H Ọ C
PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢ NG GIÁC
Trong các ñề thi tuyển sinh ðại học, cao ñẳng, câu hỏi phương trình lượng giác luôn có mặt và chiếm tỷ trọng1/10 tổng số ñiểm của bài thi Những bài phương trình lượng giác thường gây không ít khó khăn ñối với nhiều em học học sinh Có lẽ lí do mà các em thường cảm thấy khó khăn khi giải các phương trình lượng giác là có quá nhiều công thức biến ñổi lượng giác nên không biết sử dụng công thức nào ñể biến ñổi và ñưa phương trình ñã cho về dạng thường gặp Sau
ñây là một vài kinh nghiệm nho nhỏ giúp các em học sinh tự tin hơn khi giải một
phương trình LG, hướng tới kì thi tuyển sinh ðại học sắp ñến
ðể giải ñược một phương trình lượng giác các em cần:
1) Nắm vững các công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản 2) Nhận dạng và giải ñược các phương trình lượng giác thường gặp:
+Phương trình bậc nhất theo sin và cos
+ Phương trình bậc hai theo một hàm số LG
+ Phương trình ñẳng cấp ñối với sin và cos
+ Phương trình ñối xứng
3) Thuộc các công thức lượng giác
4) Khi tiến hành giải một phương trình lượng giác các em nên:
Trang 4+ Tìm cách ñưa về các phương trình LG thường gặp
+ Nếu các cung khác nhau thì tìm cách ñưa về cùng một cung
+ Dùng các công thức hạ bậc và hằng ñẳng thức sin 2 a + cos 2 a = 1 khi trong
ñề có lũy thừa chẵn hoặc có biểu thức ñối xứng của sin 2n x và cos 2n x
+ Dùng các công thức biến ñổi ñưa phương trình về dạng tích
Sau ñây là các ví dụ minh họa:
Trang 5TĂI LI Ệ U LUY Ệ N THI ðẠ I H Ọ C
PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢ NG GIÂC C Ă N B Ả N
π2
2sin
sin
k a x
k a x a
cos
k a x
k a
x a
x
π
k a x a
π
k a x a
1
π
k x
2
0cos
π
π
22
1sin x = − ⇔ x = − + k
π
1
cos x = − ⇔ x = + k
Chú ý: Nếu m không phải lă giâ trị lượng giâc của cung ñặc biệt thì ta
có thể sử dụng công thức sau ñể biểu biễn nghiệm của phương trình lượng giâc
cot gx = ⇔ =m x arc cot m + πk
B BÀI TẬP MINH HỌA:
Trang 62 cos 2 (cos 4 cos 2 ) 0 4 cos 2 cos 3 cos 0
Trang 7TÀI LI Ệ U LUY Ệ N THI ðẠ I H Ọ C
Loại 2: Phân tích đề, tìm mối quan hệ giữa các biểu thức, dùng các
cơng thức biến đổi nhĩm thành tích:
Ví dụ 1: Giải phương trình: sinx + sin2x + sin3x = 0
22
cos
23
Ví dụ 2: ðề thi tuyển sinh đại học khối D – năm 2004
Giải phương trình: (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx
Giải:
(2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx
⇔ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = 2sinx.cosx – sinx
⇔ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = (2cosx – 1)sinx
⇔ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) – (2cosx – 1)sinx = 0
⇔ (2cosx – 1)[(2sinx + cosx) – sinx] = 0
⇔ (2cosx – 1)(sinx + cosx) = 0
4
π)
⇔ x = ±
3
π + k2π ∨ x = –
4π + kπ (k ∈ Z)
Trang 8) sin (cos
2 2
cot tan
x
sin21
2cos
cos
2
1
2sin
5) cos4 x −sin2 x = cos2x
6) 2cos x t anx(cot x sin 2x)
7) 1 sin x cos x tan x 0+ + + =
8) 2 tan x cot 2x 2sin 2x 1
Bài 3 Giải phương trình:
a) cot sin (1 tan tan ) 4
Trang 9TĂI LI Ệ U LUY Ệ N THI ðẠ I H Ọ C
d) 2sin22x + sin7x = sinx (KHỐI D – 2007)
Băi 4 Giải phương trình:
PH ƯƠ NG TRÌNH B Ậ C HAI THEO M Ộ T
HĂM S Ố L ƯỢ NG GIÂC
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
Dạng: asin2x + bsinx + c= 0 Đặt t = sinx ( – 1≤ t ≤ 1)
0cbcosx
x
acos2 + + = Đặt t = cosx ( – 1≤ t ≤ 1)
atg2x + btgx + c = 0 Đặt t = tgx
0 c bcotx
x acot2 + + = Đặt t = cotx Khi đó phương trình trở thành: at 2 + bt +c = 0
B BÀI TẬP MINH HỌA:
Ví dụ 1 : Giải phương trình : 2sin 2 2x – (2 + 3)sin2x + 3 = 0
Nhận xĩt: ðđy lă phương trình bậc hai theo hăm số sin2x
Trang 10+ Với t = 1, ta có: sin2x = 1 ⇔ 2x =
2
π+ k2π ⇔ x =
4
π + kπ
+ Với t =
2
3, ta có sin2x =
ππ
Ví dụ 2: Giải phương trình: 4cosx + cos2x – 5 = 0
Nhận xét: Phương trình này chưa có dạng phương trình bậc hai theo
một hàm số lượng giác Tuy nhiên, nếu thay cos2x bởi 2cos 2 x – 1 thì phương trình ñã cho trở thành phương trình bậc hai theo hàm số cosx
cos 3x cos 2x −cos x = 0
Nhận xét: Trong phương trình có chứa cos 2 3x và cos 2 x Ta hạ bậc hai biểu thức này sau ñó dùng công thức biến ñổi tích thành tổng
Giải
1 cos 6 cos 2 1 0 (cos8 cos 4 ) 1
Trang 11TÀI LI Ệ U LUY Ệ N THI ðẠ I H Ọ C
2 cos8 cos 4 2 0 2cos 4 cos 4 3 0
cos 4 1
3
2 cos 4 ( )
Bài 2 Giải các phương trình:
Trang 12PH ƯƠ NG TRÌNH B Ậ C NH Ấ T
THEO SIN VĂ COS
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
Dạng: Asinx + Bcosx + C = 0 ( A 2 + B 2 ≠0)
Phương pháp giải: Chia hai vế cho 2 2
B
A + Đưa phương trình về dạng:
B A
C x
B A
B x
B A
A
+
−
= +
+
B A
sin
B A
cos sin
cos
sin
B A
C x
B A
C x
x
+
−
= +
⇔ +
+ Điều kiện(3) có nghiệm là : A2 + B2 ≥ C2
Ví dụ 1 : Giải phương trình :sin 2x + 3 cos 2x = − 2 (1)
Trang 13TÀI LI Ệ U LUY Ệ N THI ðẠ I H Ọ C
=+
⇔
−
=+
⇔
π
πππ
ππ
ππ
ππ
24
32
24
3
2)
4sin(
)32
sin(
2
2)
32
sin(
k x
k x
x x
) (
ππ
Ví dụ 2 : Giải phương trình : 3 sin 2 x − cos 2 x = − 2 cos x (1)
Giải:
Phương trình (1)
6sin2cos6
cos.2sincos
2cos2
12
32
26
22
6
)2sin(
)6sin(
)2sin(
)6sin(
cos)
6sin(
Z k k x
k x
x
k x
x
x x
x x
x x
∈+
ππ
π
ππ
π
ππ
ππ
2 ( 2 2 cos 2
−
x x
x x
1sin
cos
2
cossin
2cos
−+
−
x x
x x
x
3)
x
x x
g
2sin
2cos1
2cot
4)
x x
x x
x x
x
cos 2
1 2
cos 1
5 cos cos
4 cos 2 sin
4 sin
= +
− +
−
Trang 148) 2sin 3 cos cos 4 1 2sin 2
Trang 15TĂI LI Ệ U LUY Ệ N THI ðẠ I H Ọ C
x Asin2 + + 2 = ( A2 + B2 +C2 ≠ 0) (1)
x Atg2 + + =
Phương trình này đã biết cách giải
2 Phương trình ñẳng cấp bậc ba:
A.sin3x + Bsin2x.cosx + C.sinx.cos2x + D cos3x + E sinx + Fcosx = 0
Câch giải phương trình năy tương tự như câch giải phương trình ñẳng cấp bậc hai
B BÀI TẬP MINH HỌA:
Trang 1664
6tantan
)4tan(
tan3
1tan
1tan
01tan
)31
(tan
Z k k
x
k x
x
x x
x x
ππ
ππ
Ví dụ 2 : Giải phương trình :
3sin2 x −sin 2x−(2− 3)cos2 x = 3 (1)
3 sin x −sin 2x − −(2 3) cos x = 3(sin x +cos x)
⇔ −sin 2x−2cos2 x = 0 ⇔ −2sin xcosx−2cos2 x = 0
4
π + kπ (k ∈ Z)
1 – 4tan3x – 3tan2x + tanx
x
2 cos
1 = 0
⇔ 1 – 4tan3x – 3tan2x + tanx( 1 + tan2x) = 0
Trang 17TĂI LI Ệ U LUY Ệ N THI ðẠ I H Ọ C
6
π) ∨ tanx = tan
3π
3
π + kπ (k ∈ Z)
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1 Giải các phương trình:
1) 3sin23x +(1− 3)sin3xcos3x −cos2 3x = 0
2) 3sin2 3x+sin3xcos3x− 3 = 0
3) cos3x – 4 sin3x – 3cosxsin2x + sinx = 0
+
Băi 2 Giải câc phương trình
1) 3cos4x – sin22x + sin3x(2sin3xcos2x – sin5x) = 0
2) cos3x −3sin2 xcos x +3cos x−3cos3 x +sin x = 0
3) cos3 x +sin x −3sin2 xcos x = 0
Trang 18Thế vào pt (5) và đưa về dạng: at 2 + bt + c = 0
Dạng 2: A(sinx cos x) Bsinxcosx C 0− + + = ( A2 + B2 ≠ 0) (6)
2
−
Thế vào pt (6) và đưa về dạng: at2 + bt + c = 0
Ví dụ 1 : Giải phương trình : (sinx + cosx) – sin2x – 1 = 0 (1)
Giải
Pt (1) ⇔ sinx + cosx + 2sinxcosx – 1 = 0
Đặt: t = sinx + cosx = 2 cos(x –
4
π) (| t |≤ 2)2
1 tsin x cos x
Trang 19TÀI LI Ệ U LUY Ệ N THI ðẠ I H Ọ C
1 tsin x cos x
Trang 20⇔ sinx – cosx + 2sinxcosx – 1 = 0
Đặt: t = sinx – cosx = 2 sin(x –
4
π
) (| t |≤ 2)2
1 tsin x cos x
π
π π
2
22
2
1)
4
sin(
k x
k x
(1) ⇔ cos3x + 3cosx + 1 = 3cosx – sin3x + 2sin3xcos3x
⇔ sin3x + cos3x – 2sin3xcos3x + 1 = 0
Đặt: t = sin3x + cos3x = 2 sin(3x +
4
π) (| t |≤ 2)
2
t 12
Trang 21TÀI LI Ệ U LUY Ệ N THI ðẠ I H Ọ C
x k21
)42
(cos42
cos
12
3) (1+ cos x)(1+sin x) = 2
4) sin +cos + 2+1+sinsin cos+ cos = 0
x x
x x
x x
Bài 2: Giải các phương trình:
4) 4cos (sin 2 sin 4 1) 1 2 2 4
5) 4 sin sin 3 cos3 3sin 2 6 3 2
os os