Ta có cung CA=cung AD.. Suy ra góc CMA=gócDMA tính chất góc nội tiếp.
Trang 1Sở giáo dục& đào tạo
Hà Nam
Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi toán lớp 9 thcs
năm học 2008-2009
(dự bị)
Bài 1 (5 điểm)
Đặt M = x 1 xy x 1
xy 1 1 xy
+
N = 1 xy x x 1
xy 1 xy 1
⇒ A = M : N
0,5
=
0,25
x
+ + − = 2( 1)
1
x xy
+
−
0,5
1
xy
−
0,5
1
xy
−
0,25
= 2 ( 1) 2 ( 1)
=
0.5
:
A
b) Theo bất đẳng thức côsi ta có:
1,0
9
Bài 2 (4 điểm)
a) Với m = -1, từ (*) ta có phơng trình: (x+1)4 + 2(x+1)2 – 3 = 0
Đặt (x+1)2 = y (y > 0) Ta có phơng trình: y2 + 2y - 3 = 0
b) Đặt t = (x+1)2, (t ≥0) ta có phơng trình: t2- (m-1)t - m2 + m - 1 = 0 (**)
∆= ( ) 2 ( 2 )
− − − − + −
=5m2−6m+5=
2
5 m
− +
Trang 2a=-m2+m-1<0 với mọi m Suy ra phơng trình (**) có 2 nghiệm trái dấu 0,5 Vậy phơng trình (**) luôn có một nghiệm dơng với mọi m Do đó phơng trình (*)
c) Ta luôn có đẳng thức x1 + x2 ≥ x1+x2 , với mọi m 0,25 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x x1 2 ≥ 0 mà giả thiết cho x1 + x2 = ⇒ 2 x1 + x2 = x1+x2 0,25
Từ việc đặt t=( )2 2
x+ ⇔x + x+ − =t Phơng trình này có 2 nghiệm cùng dấu khi
và chỉ khi c 1 t 0 t 1
a = − ≥ ⇔ ≤
0,25
Ta biết nghiệm dơng của phơng trình (**) là:
2
2
2
điều kiện m≤ 3, bình phơng hai vế ta có:
Câu 3 (3 điểm)
Gọi giá hai loại vở là x (nghìn đồng) và y (nghìn đồng) , giả sử x > y
Số vở loại giá x (nghìn đồng) mà An, Bình, Cẩm mua tơng ứng là a, b, c 0,25
Ta có:
(12 ) 50 ( ) 12 50 (14 ) 50 ( ) 14 50 (16 ) 50 ( ) 16 50
+ − = ⇔ − + =
0,75
Vì x-y > 0 nên từ phơng trình (3) ta có 16y < 50 suy ra y < 4 0,25
1 Nếu y=1 thì từ (1) và (2) cho 38
36
a
b =
suy ra a chia hết cho 19, vô lý vì a ≤12
0,25
2 Nếu y = 2 thì (1) và (2) cho 26
22
a
b =
Suy ra a chia hết cho 13, vô lý vì a ≤ 12
0,25
3 Nếu y = 3 thì từ (1) cho x-y = 14
a Suy ra x-y 14
12
≥
Từ (3) cho (x-y)c = 2 suy ra x-y ≤ 2
0,25
2a +36=50 suy ra a=7 <12
2b +42=50 suy ra b=4 <14
Câu 4 (6 điểm)
Trang 31 Ta có cung CA=cung AD Suy ra góc CMA=gócDMA (tính chất góc nội tiếp)
2 Xét ∆MAC và ∆MDI có góc M1 = góc M2 ; gócMAC = gócMDC ( góc nội tiếp
3 Từ M kẻ hai cát tuyến MAI và MDE đến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AID
Tam giác CME cân, AM là phân giác góc ở đỉnh nên AM vuông góc với CE 0,5 góc AFC = 900 ⇒Khi M chạy trên cung nhỏ BC thì F chạy trên cung tròn thuộc
Quỹ tích của E là cung tròn CED thuộc đờng tròn tâm A bán kính AC 0,5
Câu 5 (2 điểm)
Vì a, b, c, a’, b’, c’ > 0 nên đẳng thức đã cho có nghĩa
⇔ aa, +bb, +cc, + 2( aa bb, , + bb cc, , + cc a a, ) , =
= aa, +bb, +cc, +a b ab, + , +a c ac, + , +b c bc, + ,
0,25
⇔ (a b, − 2 aa bb, , +ab, ) ( + a c, − 2 aa cc, , +ac, ) ( + b c, − 2 bb cc, , +bc, ) 0 = 0,5
Do đó a b ab a c ac b c bc, = , , , = , , , = , Từ đo suy ra điều phảichứng minh 0,5
chú ý: + Mọi cách giải đúng khác với đáp án cho điểm tơng ứng với biểu điểm
+ Điểm bài thi là tổng điểm của các bài và không làm tròn số
D
E H
M
B
C
A
F
1