Thi HSG toán 9 - GN

Tìm tọa độ điểm đó.. Lấy điểm E trên cạnh BC.. Tia AE cắt đường thẳng CD tại G.. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AE chứa tia AD, kẻ AF vuông góc với AE và AF = AE.. a Chứng minh ba

ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Môn: Toán (Thời gian 150 phút) Câu 1: (4 điểm)

Rút gọn biểu thức:

A=

2

b) B = 2+ 3 2+ 2+ 3 2+ 2+ 2+ 3 2− 2+ 2+ 3

Câu 2: (4 điểm) Giải hệ phương trình sau:

x - 2 y - 1 a) 2x - 3y + z = 12 b)

1

x + y - 2z = - 9

x - 2 y - 1

Câu 3: (4 điểm)

a) Chứng minh rằng họ đường thẳng sau đi qua một điểm cố định Tìm tọa

độ điểm đó

y = 2mx + 1 – m

b) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x + 1

Câu 4: (4 điểm)

Cho hình vuông ABCD Lấy điểm E trên cạnh BC Tia AE cắt đường thẳng CD tại G Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AE chứa tia AD, kẻ AF vuông góc với AE và AF = AE

a) Chứng minh ba điểm F, D, C thẳng hàng

AD = AE + AG ×

c) Biết AD = 13cm; AF : AG = 10 : 13 Tính độ dài FG

Câu 5 (4 điểm)

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c Gọi r, s lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, diện tích tam giác ABC

a) Chứng minh: S = r(a + b + c)

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC, biết tam giác ABC

là tam giác cân có cạnh đáy bằng 16cm, cạnh bên bằng 10cm

ĐÁP ÁN TOÁN 9 Câu 1:

2

6 2 + 6 + 3 + 2 = 3 + 2 + + 1 2 6 2 3 2 2 + +

( )2

= + + = + + (1 điểm)

2

6 2 − 6 − 3 + 2 = 3 + 2 + − 1 2 6 2 3 2 2 + −

( )2

2 2

2

⇒ = (1 điểm) b) B = 2+ 3 2 + 2+ 3 2 2 − +(2 2+ 3)

= 2+ 3 2 + 2+ 3 2 − 2+ 3 (1 điểm)

2

2+ 3 2 2+ 3

2+ 3 2- 3

1

=

= (1 điểm)

Câu 2: (4 điểm)

x + y + z = 12 (1)

a) 2x - 3y + z = 12 (2)

x + y - 2z = - 9 (3)









Từ (1) ta có: x + y = 12 – z thay vào (3)

12 – z – 2z = - 9 ⇒ z = 7 (1 điểm) Thay z = 7 vào (1) và (2) ⇒ y = 1

Thay z = 7 và y = 1 vào (1) ⇒ x = 4

Vậy: (x; y; z) = (4; 1; 7) (1 điểm) b) Đặt X = 1

x - 2 và Y = y - 21 ta có hệ sau: (0,5 điểm)

2X 2Y 2

2X 3Y 1

+ =



 giải hệ phương trình ta được nghiệmcủa hệ là:

4 X 5 1 Y 5

 =





 =



(0,5 điểm)

Ta có: 1 4 4x - 8 = 5 x = 13

x - 2 = ⇒ 5 ⇒ 4 ×

1 1 y - 1 = 5 y = 6

y - 1 = ⇒ 5 ⇒ × (0,5 điểm) Vậy nghiệm của hệ đã cho là: (x; y) = 13;6

4

  (0,5 điểm)

Câu 3:

a) Gọi điểm cố định là M(x0; y0) mà học đường thẳng y = 2mx + 1 – m (1) đi qua Thế thì đẳng thức sau phải nghiệm đúng với mọi x:

y0 = 2mx0 + 1 – m (1 điểm)

⇒ (2x0 – 1)m +(1 – y0) = 0 ∀m suy ra:

0

0

1 2x 1 0 x

2

1 y 0

y 1



⇒

Vậy họ đường thẳng (1) luôn đi qua điểm M 1;1

2

 

 ÷

  (1 điểm)

b) Đồ thị hàm số y = 2x + 1 có y ≥ 0 với mọi x

y = 2x + 1 =

- 1 2x+ 1; x

2

- 1 (2x + 1) ; x<

2





−



(1 điểm)

Vẽ đúng đồ thị ghi (1 điểm) Câu 4: học sinh vẽ hình ; ghi giải thiết và kết luận đúng (0,5 điểm)

G

x

C

a) Xét V ABE và VADF có AB = AD (gt);

AE = AF (gt); BAE DAF· =· (Góc có cạnh tương ứng vuông góc)

⇒ V ABE = V ADF (c – g – c)

ADF ABE 90= = ⇒ADF + ADC 180· · = 0

⇒ F, D, C thẳng hàng (1 điểm)

b) Xét tam giác AFG vuông tại A theo hệ thức lượng trong tam giác vuông

ta có:

AD = AE +AG × (1 điểm)

c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AFG ta có:

2

2

AF FD.FG FD

AG =GD.FG DG= mà

AF 10 100

AG =13 =169 nên

FD 100

DG 169=

⇒ FD 100DG

169

= (1) (0,5 điểm) Theo hệ thức về đường cao ta có: AD2 = DF.DG ⇒ 132 = DF.DG

⇒ DE 169

DG

= (2) (0,5 điểm)

Từ (1) Và (2) ta có: 100DG 169169 =DG ⇔DG2 =169 :1002 ⇔DG=16,9

100.16.9

169

Vậy: FG = 26,9 cm (0,5 điểm) Câu 5:

Học sinh vẽ hình ghi giả thiết và kết luận đúng (0,5 điểm)

c b

A

r

H B

O

a) Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì:

SABC = SOAB + SOBC + SOCA = 1rc + ra + rb = r c + a + b1 1 1 ( )

2 2 2 2 (1 điểm) b) Kẻ AH ⊥ BC thì BH = HC = 8cm

Và AH2 = AB2 – BH2 = 102 – 82 = 36

⇒ AH = 6cm.

SABC = 12 BC.AH = 12×16.6 = 48(cm2) (1) (1 điểm) Theo câu a thì SABC = 1 r c + a + b( )

1

2×(20 + 8) = 18r (2) (1 điểm)

Từ (1) và (2) suy ra: 18r = 48 ⇒ r = 83 (cm) (0,5 điểm)