Tính AD c Từ A vẽ đường vuông góc với CD, cắt CD tại E và cắt BC tại F.. Gọi AH, BI, CK là các đường cao của tam giác.
Trang 1TRƯỜNG THCS NGHĨA HÀNH
NĂM HỌC: 2010 - 2011
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Môn: TOÁN 9 ( Thời gian: 120 phút )
Câu 1: (4 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: A = 2 3 5 13 48
6 2
+
b) Chứng minh rằng: B = x4 + 4x3y + 2x2 + 4x2y2 + 4xy + 1 (với x, y € Z) là một
số chính phương
Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình
a)
2
2 3
3 1
x
x x
= +
−
b) 3 x+ + 1 3 3x+ = 1 3 x− 1
Câu 3: (5 điểm)
a) Cho a, b, c dương và a + b + c = 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 9
a b c+ + ≥
b) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức P =
2 2
2( 1)
1
x
x x
+ + +
Câu 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 8 cm, AC = 14 cm
a) Tính số đo góc B
b) Đường phân giác góc C cắt AB tại D Tính AD
c) Từ A vẽ đường vuông góc với CD, cắt CD tại E và cắt BC tại F Tính AF
Câu 5: ( 2 điểm) Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn Gọi AH, BI, CK là các
đường cao của tam giác Cgứng minh rằng:
HIK ABC
(Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên:……… …… SDB:…
Trang 2ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 9
1
a) A = 2 3 5 13 48
6 2
+
Biến đổi:
2 2
2 2
2
13 48 13 4 3
5 13 48 5 (2 3 1) 4 2 3
3 5 13 48 3 3 1 2 3
2 2 3 8 4 3
(2 3 1) (2 3 1)
( 3 1) ( 3 1)
A
+ +
− +
+
Vậy A = 1
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
0,5 0,25 b) B = x4 + 4x3y + 2x2 + 4x2y2 + 4xy + 1
= (x2 + 2x2(2xy + 1) + ( 2xy + 1)2
= ( x2 + 2xy + 1)2
Vì x,y € Z => x2 + 2xy + 1 € Z
Vậy B là một số chính phương
0,75 0,5 0,5 0,25
2
a)
2
2 3
3 1
x
x x
= +
ĐK: x > 1 Phương trình (1)
2 2
5 6 0 3; 2
x x
x
x x
x x
⇔ = − = −
Vậy phương trình vô nghiệm
0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 b) 3 x+ + 1 3 3x+ = 1 3 x− 1
0,5
Trang 33 3 3
3 3
2
3
2
1 3 1 3 ( 1)(3 1)( 1 3 1) 1
4 2 3 ( 1)(3 1)( 1) 1
( 1) ( 1)(3 1)( 1) 0
1( (3 1)( 1)) 0
(3 1)( 1)( )
( 1) ( 1)
x x VN
x x
+ = ⇔ = −
⇔
+
+
Vậy pt có một nghiệm x = -1
0,25 0,25 0,5
0,5
3
a) Ta có:
a a b b c c
a b c
dpcm
a b c
+ + = + + + + = + + + + + +
= + + + + + + ≥ + + + =
⇒ + + ≥
1,0
0,5 0,5
b) P =
2 2
2( 1)
1
x
x x
+ + + (*)
Vì x2 + 1 > 0 với mọi x
Do đó pt (1) (x2 + 1)P = 2x2 + 2x + 2
(P – 2)x2 – 2x + (P – 2) = 0
Khi P = 2 thì x = 0
Khi P ≠ 2 xét Δ’ = 1 – (P – 2)2 ≥ 0
(P – 2)2 ≤ 1
1 ≤ P ≤ 3
Vậy Min P = 1 khi x = -1
Max P = 3 khi x = 1
0,25 0,5 0,5 0,25
0,5 0,25 0,25 0,25
4 Vẽ hình đúng
a) Áp dụng định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn ta có:
tg B = 14 1,750
8
AC
AB = =
=> góc B = 600
0,5
1,0
b) Từ câu a) => góc C = 300 do đó góc ACD = 150 0,5
A
D
Trang 4Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AD = AC.tg ACD = 14 0,265 = 3,72 cm 1,0 c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AE = AC Sin ACE = 14 0,257 = 3,598 cm
Tam giác ACF có CE vừa là đường cao vừa là đường phân giác
=> Tam giác ACF cân tại C
=> AF = 2.AE = 2 3,598 = 7,916 cm
1,0
1,0
5
Vẽ hình đúng
Ta có: SHIK = SABC – SAKI – SBKH – SCHI
1 sin
.sin
CHI
ABC ABC ABC ABC
AIK
ABC
AK AI A AK AI
AB AC A AC AB
S
S
S
Trong các tam giác vuông AKC và AIB ta có:
2
2
cos ;cos
:
os
AKI ABC
CHI BHK
S
S
=
Vậy: HIK 1 os2 os2 os2
ABC
0,5
0,25 0,25
0,5
0,25 0,25
0,25
(Nếu học sinh giải cách khác đung vẫn cho điểm tối đa)
H
A
C B
