Chuyên Đề: Ph­ương Trình Lượng Giác

Phơng Pháp Giải.1.. B2: Sử dụng các phơng pháp biến đổi, đa phơng trình về PT cơ bản; các dạng cơ bản; phơng trình đại số.... B3: So sánh với điều kiện, kết hợp suy ra nghiệm 2.. Chú ý:

A Phơng Pháp Giải.

1 PP chung:

B1: Tìm điều kiện

B2: Sử dụng các phơng pháp biến đổi, đa phơng trình về PT cơ bản; các dạng cơ bản;

phơng trình đại số

B3: So sánh với điều kiện, kết hợp suy ra nghiệm

2 Các phơng pháp

a Ph ơng pháp phân tích:

VD: Giải phơng trình: (2cos x − 1)(2sin x + cos ) sin 2 x = x − sin x (ĐH KD-2004)

b Ph ơng pháp đặt ẩn phụ:

VD: Giải phơng trình: 4sin4 x + 12cos2 x = 7

c Ph ơng pháp khác: PP hàm số, PP đánh giá

VD: Giải các phơng trình: tan x x = (1) 3 sin + x − 2 sin − x = 1 (2)

8sin 2x + 8cos 2x = + 10 cos 2 (3) y

3 Chú ý: Cần nắm vững các công thức biến đổi LG, quan hệ của các góc đặc biệt, các ph

-ơng trình cơ bản, dạng cơ bản

Khi gặp một phơng trình LG, đầu tiên ta phải nghĩ đến cách: đa phơng

trình về phơng trình chỉ chứa một hàm lợng giác đối với một góc lợng giác

( VD chỉ chứa sinx) rồi dùng PP đặt ẩn phụ (t=sinx).

Nếu đặt t= sin (hoặc cos) thì đk: t ≤ 1

Một bài toán có thể giải theo nhiều cách

VD: Giải phơng trình: cos3 x + cos 2 x − cos x − = 1 0 (ĐH KD-2006)

4 Các phơng trình cơ bản: sin x a = ; cos x a = ; tan x a = ; cot x a =

B Các Dạng Phơng Trình Lợng Giác Cơ Bản: Có thể thayxbởi f x ( )

Dạng 1: Phơng trình đối sứng theo sin và cos: là PT chứa (sinx±cosx) và (sinx.cosx)

4

sin cos

2

t

VD: Giải phơng trình: 1 1 10

Dạng 2: Phơng trình bậc nhất theo sin và cos: a sin x b + cos x c = (1)

PP: Chia cả hai vế cho a2 + b2 , tồn tạiα ∈ [0;2 ) Π sao cho:

2 2

2 2

cos

sin

a

b

α α







Khi đó (1)

2 2

sin( x ) c

α

+ ( Là phơng trình LG cơ bản)

VD1: Giải phơng trình: sin x + 3 cos x = 1

VD2: Cho phơng trình: 2sin2 x + (2 m − 2)sin 2 x − ( m + 1)(1 cos 2 ) 2 + x = m (1) Xác định m để pt(1) có nghiệm

Dạng 3: Phơng trình thuần nhất đối với sin và cos:

Bậc 2: a sin2 x b + sin cos x x c + cos2 x d + = 0

Bậc 3: a sin3 x b + sin2 x cos x c + sin cos x 2 x d + cos3 x e + = 0

2

x = ⇔ = x Π + Π k thay vào PT nếu t/m thì là nghiệm.

Nếu cos x ≠ 0 chia cả hai vế cho cosn x ( n là bậc của PT), đặt t = tan x

Chú ý: Có thể xét sin thay cho cos, khi đó đặt t = cot x

sin sin 2 2cos

2

VD2: Giải phơng trình: sin3 x − 3sin2 x cos x + 4sin cos x 2 x = 0

Dạng 4: Khi đặt ẩn phụ, PTLG đợc đa về PT đại số, khi đó xuất hiện các dạng nh

PT đại số đã học

VD1: Giải phơng trình: 1 sin − x + 1 sin + x − 2 cos x = 0

VD2: Giải phơng trình: tan x + tan2 x − tan3x + 2cot x + 4cot2 x − 8cot3 x = − 1

Bài 1: Giải các phơng trình sau:

1 cos3 x − 4cos 2 x + 3cos x − = 4 0 2 cos3 x + cos 2 x + cos x = 0

cos3 cos 2 cos

2

x + x + x = − 4.sin2 x + 2sin cos x x + 3cos2 x − = 3 0

3 sin cos

cos

x

+ = 6 sin2 x − 2sin cos x x − 3cos2 x = 0

7 1

cos5 cos 4 cos3 cos 2 cos

2

8 2sin2 x + + (3 3)sin cos x x + ( 3 1)cos − 2 x = − 1

9 cos3 x − 4sin3 x − 3cos sin x 2 x + sin x = 0

Bµi 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

1 sin 3 x + cos3 x + 2cos x = 0 2 2cos 23 x = sin 6 x

sin (1 sin )

8

x + + x = 4 cos3 x − sin3 x = sin x − cos x

5 sin x + cos x − 4sin3 x = 0 6 sin sin 2 x x + sin 3 x = 6cos3 x

cos (1 cos )

8

x + + x = 8 cos3 x − 3cos sin x 2 x + sin x = 0

9 3cos3 x + 4sin3x − cos sin x 2 x − 3sin x = 0

Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

1 3 sin x + cos x = 1 2 2(sin x + cos ) 3sin cos x − x x + = 2 0

3 sin 2 x + 3 cos 2 x = 1 4 sin( Π − 2 ) x + 3 cos(2 Π − 2 ) x = 2

5 3 sin x − cos x = 2 6 5

2(sin cos ) 5sin cos 0

2

Bµi 4: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

1 (1 tan )(1 sin 2 ) 1 tan − x + x = + x 2 sin 4 x − cos 4 x = + 1 4(sin x − cos ) x

sin cos ( )

sin sin ( ) sin ( )

1 2cos 3cos

+ = 6 cos2 x + cos 22 x + cos 32 x = 1

7 sin 3 sin 5

x = x 8 cos2 x + cos 22 x + cos 32 x + cos 42 x = 1

9 (cos x + cos 2 x + cos3 ) x 3 = cos3x + cos 23 x + cos 33 x

10.(sin x + sin 2 x + sin 3 ) x 3 = sin3 x + sin 23 x + sin 33 x

Bµi 5: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

1 sin sin 2 sin 3

3 cos cos 2 cos3

cos 2sin cos

3 2cos sin 1

3 1 2sin2 3 2 sin sin 2

1 2sin cos 1

8sin

cos sin

x

5 1

2 tan cot 2 2sin 2

sin 2

x

3tan 6 2 tan 2 cot 4

sin8

x

7 6 tan x + 5cot 3 x = tan 2 x 8 1

cos3 cos 2 cos

2

9 tan 2 x − tan 3 x − tan 5 x = tan 2 tan 3 tan 5 x x x

10 tan x + tan2 x + tan3 x + cot x + cot2 x + cot3 x = 6

Bài 6: Giải phơng trình:

1 cos 3 cos 22 x x − cos2 x = 0 (ĐH KA-2003)

2 5sin x − = 2 3(1 sin ) tan − x 2 x (ĐH KB-2004)

3

2

sin cos 3 cos 2

x

  (ĐH KD-2007)

4 2sin (1 cos 2 ) sin 2 x + x + x = + 1 2cos x (ĐH KD-2008)

5 (2cos x − 1)(2sin x + cos ) sin 2 x = x − sin x ( ĐH KA-2004)

6 2sin2 x + sin 7 x − = 1 sin x ( ĐH KB-2007)

7 (1 sin )cos + 2 x x + + (1 cos )sin2 x x = + 1 sin 2 x (ĐH KA-2007)

8 1 sin + x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0 ( ĐH KB-2005)

9 sin3 x − 3 cos3 x = sin cos x 2 x − 3 sin2 x cos x ( ĐH KB-2008)

Bài 7: Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm đúng phơng trình:

cos3 x − 4cos 2 x + 3cos x − = 4 0 ( ĐH KD-2002)

Bài 8: Giải phơng trình:

1

2(sin cos ) sin cos

0

2 2sin

x

− ( ĐH KA-2006)

2

4sin( ) 3

2

x

Π

− (ĐH KA-2008)

Các Công Thức Biến Đổi Lợng Giác

1 Hệ Thức Cơ Bản:

sin a + cos a = 1 tan cot a a = 1 sin

tan

cos

x x

x

cot

sin

x x

x

=

2

2

1

1 tan 1

cos

x

x

+ = + 2

2

1

1 tan 1

cos

x

x

sin( ) sin cos sin cos

cos( ) cos cos sin sin

tan tan tan( )

1 tan tan

a b

±

± =

m

3 Công thức nhân

+) Công thức nhân đôi:

cos 2 cos sin 1 2sin 2cos 1

sin 2 2sin cos

2 tan tan 2

1 tan

a a

a

=

−

⇒ Công thức hạ bậc hai: 2 1 cos 2 2 1 cos 2 2 1 cos 2

a

+

+) Công thức nhân ba:

3 3

sin 3 3sin 4sin

cos3 4cos 3cos

3 2

3tan tan tan 3

1 3tan

a

a

−

=

− ⇒ Công thức hạ bậc 3

4 Công thức biến đổi tổng thành tích:

cos cos 2cos cos

cos cos 2sin sin

sin sin 2sin cos

sin sin 2cos sin

5 Công thức biến đổi tích thành tổng:

1 cos cos cos( ) cos( )

2

a b = a b + + a b − sin sin 1 [ cos( ) cos( ) ]

2

1 sin cos sin( ) sin( )

2

2

Chú ý: Các công thức khác đều đợc chứng minh dựa vào các hệ thức cơ bản (Phần1) và

công thức cộng (Phần 2)

Để làm tốt các bài liên quan đến LG cần nhớ các công thức trên cùng với quan hệ của các góc đặc biệt

6 Cung Liên Quan Đặc Biệt: (cos đối- sin bù- phụ chéo- tan, cot π )

+) Hai góc đối nhau: là hai góc có tổng bằng 0.

cos( − = a ) cos a; sin( − = − a ) sin a ; tan( − = − a ) tan a; cot( − = − a ) cot a

+) Hai góc bù nhau: là hai góc có tổng bằng 180 (0 = π )

sin( π − = a ) sin a; cos( π − = − a ) cos a; tan( π − = − a ) tan a; cot( π − = − a ) cot a

+) Hai góc phụ nhau: là hai góc có tổng bằng 90 (0 )

2

π

=

sin( ) cos

2 a ina

+) Hai gãc h¬n kÐm π

sin( π + = − a ) sin a; cos( π + = − a ) cos a; tan( π + = a ) tan a; cot( π + = a ) cot a

+) Hai gãc h¬n kÐm

2

π

sin( ) cos

π + = −

7 Chó ý: NÕu tan

2

a t

= ta cã

2

−

Trong tÝnh to¸n, khi cÇn cã thÓ nh©n chia cïng sin hoÆc cos cña gãc thÝch hîp