Biểu diễn hình học số phức : + Số phức z =a+bi tương ứng biểu diễn điểm Ma;b trên mp Oxy + Mặt phẳng biểu diễn các số phức được gọi là mặt phẳng phức : trục Ox gọi là trục thực ; trục Oy
Trang 1Số phức
Chương IV : SỐ PHỨC
1 SỐ PHỨC Giới thiệu về số phức :
Số i: Xét phương trình : x2 + 1= 0 (*) ( vô nghiệm trong R)
Đặt i2 =1 Khi đó phương trình (*) có hai nghiệm x = i
Gọi i là một số phức
Căn bậc hai của một số âm : + coi 2i là căn bậc hai của 4
+ 3 i là căn bậc hai của 3
Phương trình bậc hai với biệt số âm :
Ví dụ : Xét phương trình : x2 2x+10=0 <=> (x1)2 =9
Giá trị : x1 = 3i <=> x =1 3i là nghiệm của pt
Bài tập :
1 Tìm căn bậc hai của : a) 16 b) 11 c) 12
2 Tìm nghiệm của mỗi phương trình sau :
a) x2 +x+1 = 0 b) x2 3x+3 =0 c) x2 +2 =0
1 Định nghĩa số phức :
+ Xét tập hợp C ={a+bi / a,bR, i2 =1 }
Mỗi phần tử z =a+bi C được gọi là số phức ; a được gọi là phần thực ;
b được gọi là phần ảo của z
Ví dụ : 2+3i ; 5+ 3 i ; 3i …
Chú ý : N Z R C ;
Mỗi số thực được coi như một số phức với phần tử ảo bằng 0
+ Hai số phức bằng nhau: a+bi = c+di <=> a c
2 Biểu diễn hình học số phức :
+ Số phức z =a+bi tương ứng biểu diễn điểm M(a;b) trên mp Oxy
+ Mặt phẳng biểu diễn các số phức được gọi là mặt phẳng phức : trục Ox gọi là trục thực ; trục Oy gọi là trục ảo
3 Phép cộng Phép trừ :
(a+bi) (c+di) = (a c) +(b d)i
Ví dụ : (3+2i) + (5+8i) ; (76i) (1+ 3 i)
4 Phép nhân : như nhân hai nhị thức chú ý i2 =1
(a+bi).(c+di) = (acbd) +(ad+bc)i
Ví dụ : (52i)(4+3i) = ? ; ( 23i)(2+3i) = ? ; (47i)(25i) = ?
Ví dụ : cho z= 2i 2 Tính z2 ; z3 ?
Trang 2Số phức
Gv: Cao Đức Đệ
2
5 Số phức liên hợp , Mô đun của số phức :
Cho số phức z =a+bi ; số phức liên hợp z =abi
+ Biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục thực
Chú ý : z = z ; z z
+ Môn đun của số phức : z = OM
= a2b2 = z.z
Ví dụ : Tính mô đun của các số phức sau :
6 Phép chia cho số phức khác 0
Nghịch đảo của số phức :
Cho số phức z khác 0 Khi đó z là số thực khác 0
Từ công thức : z z =z => 2 1
z= 2
z
z ;Vậy z =a+bi thì
1
a
b
a b i Chú ý : z ≠ 2 z2 ; z ≠ z2 2
Ví dụ : Cho số phức z = 34i Tìm 1
z=?
Phép chia :Cho hai số phức : c+di và a+bi ≠ 0 Phép chia c+di cho a+bi là phép nhân c+di với nghịc đảo của a+bi
c di
a bi
=(c+di).( 2 a 2
b
a b i)=ac bd2 2
ad bc
i
Ví dụ : Tính : 1 i
2 3i
; 6 3i
5i
; 4 2i
3 2i
7 Một số kết quả khác
a) Các lũy thừa của i:
Ta có : i2 =1 ; i3= i2.i =i …
Suy ra : i4n =1 ; i4n+1 =i ; i4n+2 =1 ; i4n+3 =i …
b) Tổng và tích của hai số phức liên hợp :
Cho số phức z= a+bi C thì z =abi
Ta có : z + z = 2a và z z = a2 +b2 =z 2
Ví dụ : cho z = 32i Tính z+ z = ? ; z z = ?
c) Liên hợp của tổng, hiệu, tích,thương các số phức :
z1 , z2 C ta có các tính chất sau :
z1z2=z1+z2 z1z2=z 1 z2
Trang 3Số phức
z z1 2=z1.z2 1
2
z z
= 1 2
z
z ( z2 ≠ 0)
Ví dụ : cho z1= 3+2i , z2 = 43i Tính z1z2; 1
2
z z
; z z1 2; 1
2
z z
Bài tập :
1) Tìm các số thực x, y biết :
a) (3x9)+3i =12+(5y7)i b) (2x3)(3y+1)i=(2y+1)+(3x7)i
2) Tính môn đun của số phức z :
3 Thực hiện các phép tính :
a) (35i) +(2+4i) b) (116i)(24i) c) (3i)(2+5i)
4 3i
3i
g) (3i)(4+2i)(2+3i) h) 2i(6+i) 11i i) (3 i)
2i(5 6i)
4 Thực hiện các phép tính :
a) (3+2i)(1i) +(32i)(1+i) b) 1 2i
1 2i
1 2i
c) (2 i)(1 2i) (2 i)(1 2i)
f) (1i)2009 g) i17 h) (1+i)2008 i)
3 4
(1 i) (1 i)
h) i2008 = ?
5 Cho z= 1
2+ 3
2 i Hãy tính : 1
z ; z ; z2 ; z 3; 1+z +z2
6 Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa ĐK : a) Phần thực của z bằng 2 b) phần ảo của z bằng 2
c) Phần thực của z thuộc khoảng (1;2) d) Phần ảo thuọc đoạn [1;2]
7 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn từng điều kiện sau :
a) z i =1 b) z i
z i
=1 c) z = z 3 4i d) z2 là số thực âm e) z2 = z 2 f) 1
zi là số ảo
Trang 4Số phức
Gv: Cao Đức Đệ
4
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1 Căn bậc hai của số phức :
Cho số phức w Nếu số phức z sao cho z2 = w thì z được gọi là căn bậc hai của số w Nói cách khác mỗi căn bậc hai là nghiệm của pt : z2 w =0
Ví dụ : i là căn bậc hai của số 1 vì i2 =1 và (i)2 =1
(2+3i) là căn bậc hai của 5 +12i vì (2+3i)2 = 5+12i
a) Trường hợp w là số thực : khi đó w =a
+ Nếu a= 0 ; căn bậc hai của số 0 là 0
+ Nếu a > 0 ; thì z2 a= (z a )(z+ a ) Do đó z2 a =0 <=> z a
+ Nếu a < 0 ; thì z2 a= (z a i)(z+ a i).Do đó : z2 a =0 <=>
Ví dụ : 5 =5i2 Căn bậc hai của số 5 là i 5
+ Tìm căn bậc hai của số 16 ?
b.Trường hợp w=a+bi : ( a,b R , b 0)
Cho số phức w = a+bi Hãy tìm các căn bậc hai của số w
Giải : z =x+yi là căn bậc hai của số w
Theo định nghĩa : (x+yi)2 = a+bi
Nếu b ≥ 0 thì z =
i
Nếu b < 0 thì z =
i
Ví dụ : Tìm căn bậc hai của các số sau :
2 Phương trình bậc hai : az2 +bz +c =0
C1 : Biến đổi : a(z+ b
2a )2 + c
2 b 4a =0 <=>(z+ b
2a)2 =
2 2
b 4a
c
a …
C2 : Tính = b2 4ac= (x+iy)2 Suy ra theo công thức nghiệm …
Ví dụ : giải phương trình : z2 z +3 =0 ; 3x2 4x +5=0 ; 3x2 12x 7=0
Trang 5Số phức
Bài tập :
1 Tính căn bậc hai của số phức :
a) 8 +6i b) 1+2 2 i c) 1630i d) i e) 1i e) 5
2 Giải phương trình :
a) 2z2 +3z +5 =0 b) z2(2+i)z+(1+7i) =0
c) z2+(32i)z+(55i)=0 d) z4 3z2 +4 =0
3 Cho z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình :
x2 +(2i)x +3+5i =0 Không giải phương trình hãy tính :
a) z12+z22 b) z14+z42 c) 1
2
z
1
z
z d) z14z2+z42z1
4 Giải các phương trình sau :a) z31 =0 b) z3 +1 =0
c) z4 1=0 d) z4 +1=0 e) z4 +4= 0 f) 8z4 +8z3 =z+1
5 a) Tìm các số thực b,c để phương trình ẩn z :
z2 +bz +c =0 nhận z =1+i là nghiệm
b) Tìm các số thực a, c để phương trình : a.z2 5z +c =0 nhận z =23i làm nghiệm c) Chứng minh rằng : ( cos +i.sin)2 = cos 2+ i.sin2
3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
1 Số phức dưới dạng lượng giác :
a) argumen của số phức z 0 :
Giả sử z= a+bi là một số phức khác 0 M là điểm biểu diễn z trên mặt phẳng phức Điểm M hòan toàn xác định véc tơ OM
=(a;b) + argumen của số phức z ký hiệu arg z là góc tạo bởi Ox
và OM
Chú ý : +Mọi acgumen của z có dạng + k2 , k Z
b) Dạng lượng giác của số phức : Giả sử z= a+bi là một số phức khác 0
Ký hiệu: r là mô đun của z và là một acgumen của z
Ta có : a= r cos , b = r.sin Viết lại : z = r.(cos +i.sin)
+ Cho số phức z =a+bi : dạng đại số
z= r.(cos +i.sin) : dạng lượng giác
Nếu r và tương ứng là môn đun và arumen của số phức z thì :
Trang 6Số phức
Gv: Cao Đức Đệ
6
y
a
b
r
x
M
O
a
cos
r
b
sin
r
Ví dụ1: a)Viết z = 1+ i dưới dạng lượng giác
b) Viết số phức : 1i 3 ; 3 i dưới dạng lượng giác
c) Tìm mô đun và acgumen của các số phưc sau : 1+i 3 ; 3 i ; 3 +3i Chú ý: Cho z = r.(cos +i.sin) , z ≠ 0 Dạng lượng giác của các số phức :
z = 1
r[cos() +i.sin()]
z = r [cos +i.sin] = r [cos(+) +i.sin(+) ]
z = r [cos i.sin ]= r [cos() +i.sin()]
2 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác :
a) Mô đun và argumen của hai số phức bằng nhau :
Giả sử z1= r1( cos 1 +i.sin 1) , z2= r1(cos 2 +i.sin 2)
z1 = z2 <=> 1 2
k2
b) Nhân và chia : Tích của hai số phức dạng lượng giác :
Giả sử z1= r1( cos 1 +i.sin 1) , z2= r1(cos 2 +i.sin 2)
Khi đó z1.z2 = r1.r2[cos(1+2 )+i.sin( 1+2)]
Ví dụ : cho z1 = 2 cos i.sin
=?
Nghịch đảo và thương của hai số phức dưới dạng lượng giác :
+ Cho số phức : z = r.(cos +i.sin) thì 1
z=
1
r[cos() +i.sin()] + Giả sử z1= r1( cos 1 +i.sin 1) , z2= r1(cos 2 +i.sin 2)
1 2
z
z = 1 2
r
r [cos(12 )+i.sin( 12)]
Ví dụ : a) Cho z = 1
=> 1
z= ?
Trang 7Số phức
b) cho z1 = 6 cos i.sin
2
z z Bài tập :
1 Biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác :
a) 1+i b) 1i c) 1i d) 1 e) 8i g) 4
2 Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác :
a) 2 cos i.sin
c) 2 cos i.sin
3 Tìm phần ảo và phần thực của các số phức sau :
a) 2 cos i.sin
c) 2 (cos 3150+i.sin3150) d) cos2400+i.sin2400
3 Công thức Moavrơ và ứng dụng
a) Công thức Moavrơ:
r.(cos +i.sin ) n= rn ( cos n+i.sin n ) với mọi n nguyên dương Đặc biệt : khi r =1 thì (cos +i.sin)n = cos n+i.sin n
Ví dụ : Tính (1+i 3 )15 = ? ; (1+i)20 = ?
b) Ứng dụng : Tính sin n ; cos n
( cos +i.sin )3 = …
( cos +i.sin )3 = ( cos 3+i.sin 3 )
Suy ra : cos 3 = ? ; sin3= ?
c) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :
+ Với số phức z = r.(cos+ i.sin ) , r >0 có hai căn bậc hai là :
r cos i.sin
Bài tập :
4 a) Cho z = 1+ 3i Tìm dạng lượng giác của các số phức : z ; z ; 1
z
b) Cho z = 3i Tìm dạng lượng giác của các số phức : z ; z ; 1
z; z2
5 Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác :
Trang 8Số phức
Gv: Cao Đức Đệ
8
a) 1i 3 b) (1i 3)(1+i) c) 3i( 3i) d) 1+ 3i e) 1i.tan
5
f) tan5
8
6 a) Sử dụng công thức Moavrơ để tính sin 4 và cos4 theo sin và cos
b)Tính (1+cos +i.sin) n
7 Tính : a) 3 i 6 ; b)
2004
i
1 i
c (1+i)25 d)
24
3 i 1
2
e) 3 i 20 g) Cho z= 1(1 i 3)
2 , Tìm n để zn là số thực
8 Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z trong các trường hợp sau :
a) z =3 và acgumen của iz là 5
4
b) z= 1
3 và một acgumen của z
1 i là 3
4
9 a) Dùng khai triển (1+i)19 Tính 0 2 4 16 18
C C C C C
b) Tính tổng : 1 2 4 6
C C C +… =? ; 1 3 5 7
C C C C +… =?
c) Chứng minh rằng :1+ 4 8 12
C C C + … =
n
d) Chứng minh rằng : 1
n
C C C + … =
n
2 2 sin
10 Giải các phương trình :
a) z2 3z +3+i= 0 b) z2 (cos +i.sin ) z +i.sin cos =0
c) z z =1+2i d) z +z =2+i
e) Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng
4
11 a) Nếu z +1
z=2cos CM rằng : m
m
1 z z
=2cos m
Trang 9Số phức
b) CMR :
n
1 i.tan
1 i.tan
= 1 i.tan(n )
1 i.tan(n )
c) Giải hệ pt : (3 i)x (4 2i)y 2 6i
(4 2i)x (2 3i)y 5 4i