Chuyên đề BDHS gioi Toán 8

Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phơng pháp dạy học và giải bài tậptoán đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc , hệ thống bài tập , sử dụng đúng phơng phápdạy học để góp phần

A mở đầu –

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay sự phát triển của tất cả các nghành khoa học cơ bản cũng nh ứng dụngvào tất cả các nghành công nghiệp then chốt nh : dầu khí , viễn thông , hàng không ,

đều không thể thiếu toán học Sự ra đời và phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin

đã dẫn đến sự bùng nổ các ứng dụng của toán học, đa lại hiệu quả to lớn cho đời sốngxã hội

Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí Toán họckhông chỉ cung cấp cho học sinh ( ngời học toán) những kĩ năng tính toán cần thiết màcòn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khẳ năng t duy lôgic , một phơng pháp luận khoahọc

Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phơng pháp dạy học và giải bài tậptoán đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc , hệ thống bài tập , sử dụng đúng phơng phápdạy học để góp phần hình thành và phát triển t duy của học sinh Đồng thời qua việchọc toán học sinh cần đợc bồi dỡng , rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác t duy

để giải các bài tập toán trong đó có các bài tập về bất đẳng thức cũng là một trongnhững bài toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính t duy , trí tuệ cho học sinh

Tuy nhiên giải toán bất đẳng thức là bài toán khó vì phạm vi kiến tức rộng đặc biệt

là với học sinh THCS Là giáo viên dạy ở THCS tôi thấy thực trạng khi dạy toán bất

đẳng thức đó là:

- Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong , ít khai thác , phântích đề tài mở rộng bài toán mới dẫn đến khi học sinh gặp bài toán khác một chút làkhông giải đợc

- Học sinh thờng ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức không liền mạch,

ph-ơng pháp giải hạn chế , các bài toán bất đẳng thức thờng khó , phải áp dụng các kiếnthức khó nh: quy nạp toán học, phản chứng nên học sinh hay ngại và học sinh cha vậndụng đợc toán bất đẳng thức vào để giải các bài toán khó nh : cực trị , hàm số

Vì vậy: phát triển năng lực t duy cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳngthức là cần thiết Trong những năm giảng dạy thực tế ở trờng phổ thông tôi đã tích luỹ

đợc một số kiến thức về toán bất đẳng thức xin đợc trình bày dới góc độ nhỏ

2) Mục đích nghiên cứu.

a Đối với giáo viên :

- Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy

- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức

b.Đối với học sinh:

- Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập về chứng minh bất

đẳng thức nói riêng.Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao nănglực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công

cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức

- Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham khảo, giúphọc sinh tự giải đợc một số bài tập

- Giải đáp những thắc mắc , sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán bất đẳngthức trong quá trình dạy học

- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phơng pháp cơ bản và vậndụng thành thạo các phơng pháp đó để giải bài tập

- Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đíchcủa việc học toán và học tốt hơn toán bất đăng thức

3) Ph ơng pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK , tài liệu tham khảo của học sinh tại trờng

- Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm , học hỏi đồng nghiệp

- Sử dụng phơng pháp phân tích tổng hợp

4) Nhiệm vụ của đề tài.

Trong đề tài này đa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với trình độnhận thức của học sinh THCS

Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải toán bất đẳng thức , áp dụng để làmbài tập

Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng phơng pháp

Chọn lọc , hệ thống một số dạng bài tập hay gặp cho phù hợp với từng phơng phápgiải , cách đổi biến

Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cc trị, giải một số phơng trình dạng

đặc biệt

5)Phạm vi đề tài

Phát triển năng lực t duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức đối với họcsinh lớp 8 và lớp 9

6) Đối t ợng nghiên cứu và ph ơng pháp tiến hành

Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 8, lớp 9 và trong các giờ luyện tập , ôn tập cuốikì , cuối năm, kì thi học sinh giỏi và thi tuyển vào THPT

Phơng pháp tiến hành : học sinh có kiến thức cơ bản , đa ra phơng pháp giải , bàitập áp dụng, sai lầm hay gặp , bài tập t giải ( Học sinh về nhà tự làm )

7) Dụ kiến kết quả của đề tài

Khi cha thực hiện đề tài này : học sinh chỉ giải đợc những bài toán đơn giản , haymắc sai lầm ,hay gặp khó khăn , ngại làm bài tập về bất đẳng thức

Nếu thực hiện đợc đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán bất đẳngthức , làm bài tập tốt hơn, tự giải quyết đợc các bài tập bất đẳng thức có dạng tơng tự ,hạn chế đợc rất nhiều sai lầm khi giải toán bất đẳng thức

a nhỏ hơn b, kí hiệu : a<b ⇔ a-b<o

2 Các tính chất của bất đăng thức :

2.1 a>b ⇔ b<a

2.2.Tính chất bắc cầu: a>b, b>c ⇔ a>c

2.3.Tính chất đơn điệu của phếp cộng : cộng cung một số vào hai vế của bất đẳng thức:a>b⇔ a+c>b+c

2.4.Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều đợc bất đẳng thức mới cùng chiều vớibất đẳng thức đã cho:

a>b, c > d⇔ a+c > b+d

* Chú ý : Không đợc trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều.

2.5.Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngợc chiều đợc bất đẳng thức mới cùng chiều vớibất đẳng thức bị trừ

Nếu a > b , c > d thì a-c > b-d

2.6 Tính chất đơn điệu của phép nhân :

a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dơng

a > b , c>0⇔ a.c > b.c

b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm

a >b , c<0⇔ a.c <b.c

2.7 Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm

Nếu a>b ≥0 , c>d≥ 0 thì ac>bd2.8 Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dơng hai vế của bất đẳng thức

a>b>o ⇔ an >bn.a>b⇔ an >bn với n= 2k ( k ∈ Z)2.9 So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dơng

Với m > n > 0 :

- Nếu a >1 thì am > an

- Nếu a=1 thì am = an

- Nếu 0 <a <1 thì am < an

2.10 Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu

Nếu a >b >0 hoặc a< b<0 thì :

b a

1

1 〈 hoặc

b a

1

1 〉

*Chú ý : Ngoài các bất đẳng thức chặt ( a>b) ta còn gặp các bất đẳng thức không chặt

(a≥ b) tức là a>b hoặc a=b

Trong các tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu “ >” ( hoặc dấu “<” ) có thể thay bởidấu “≥” ( hoặc dấu “ ≤ “ )

3.Các bất đẳng thức cần nhớ

3.1 a2 ≥ 0; - a2≤ 0 Đẳng thức xảy ra khi a=0

3.2 │a │ ≥ 0 Đẳng thức xảy ra khi a=0

3.3 - │a │ ≤ a ≤ │a │ Đẳng thức xảy ra khi a=0

3.4 │a+b │≤ │a │+│b │ Đẳng thức xảy ra khi ab≥ 0

3.5 │a-b │≥ │a │-│b │ Đẳng thức xảy ra khi a≥ b≥ 0 hoặc a≤ b≤ 0

*Chú ý : Một số bất đẳng thức chứng minh đơn giản hay đợc áp dụng :

• a+b ≥2 ab với mọi a,b ≥ 0 Đẳng thức xảy ra khi a=b

(Bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm)

• a2 + b2 ≥ 2ab với mọi a,b Đẳng thức xảy ra khi a=b

• (a+b)2 ≥ 4ab hay (a b) ab

≥

2 với mọi a,b Đẳng thức xảy ra khi a=b

• 1/a + 1/b ≥ 4/a+b với mọi a,b>0 Đẳng thức xảy ra khi a=b

• a/b+ b/a ≥2 với ab>0 Đẳng thức xảy ra khi a=b

• (a x+by)2 ≤ (a2 + b2) (x2 + y2) với mọi a,b ,x,y Đẳng thức xảy ra khi a/b=x/y

II- Một số ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số

1 Phơng pháp dùng định nghĩa

1.1 Cơ sở toán học: A ≥B ⇔A-B ≥ 0

Để chứng minh A ≥B ta chứng minh A-B ≥ 0

Tơng tự để chứng minh A ≤ B ta chứng minh A-B ≤ 0

1.2 VÝ dô minh ho¹

VÝ dô 1: Chøng minh: 2(x2 + y2) ≥( x+y)2 víi mäi x,y

Gi¶i: XÐt hiÖu 2(x2+y2) – (x+y)2

= 2x2+ 2y2-x2-y2-2xy = x2-2xy+y2

= (x-y)2 ≥ 0 ∀x, y.DÊu “=” x¶y ra khi x=y

VËy 2(x2+y2) ≥ (x+y) 2 ∀x, y DÊu “=” x¶y ra khi x=y

VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: NÕu a ≥b th× a3 ≥b3

Gi¶i: XÐt hiÖu: a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2)≥ 0

Thõa sè (a-b) ≥ 0 do gi¶ thiÕt a≥b

Thõa sè (a2+ab+b2) = a2+2a

4

3 4 2

VÝ dô 3: Chøng minh 3x2+y2 + z2 +1 ≥ 2x(y +z+1)

Gi¶i: XÐt hiÖu: 3x2+y2 + z2 +1 - 2x(y +z+1)

= 3x2+y2 + z2 +1- 2xy - 2xz – 2

= (x2 -2xy+ y2) + (x2 -2xz +z2) + ( x2 – 2x+1)

= (x-y)2 + (x-z)2 + (x-1)2V× (x-y)2 ≥ 0 ∀x, y

V× (x-z)2 ≥ 0 ∀x, z

V× (x-1)2 ≥ 0 ∀x, 1

Nªn: (x-y)2 + (x-z)2 + (x-1)2 ≥ 0 , ∀x ,,y z

Hay 3x2+y2 + z2 +1 - 2x(y +z+1) ≥ 0 , ∀x ,,y z

Vì các phép biến đổi đều là tơng đơng nên A≥B

Để dùng các phép biến đổi tơng đơng ta đều chú ý các bất đẳng thức sau:

(A±B)2 = A2 ±2AB+B2(A+B+C)2 = A2 +B2 +C2+2AB+2AC+2BC 2.2 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: ∀ a,b,c ta luôn có: a2+b2+c2 ≥ ab+bc+ca

(b-c)2 ≥0 ∀b, c;

a c

c b

b a

2

4

b a b

3

0 3 6

3

2 4

4

4

2

2 2

2 2

2 2

2 2

≥

−

⇔

≥ +

−

⇔

≥ +

−

⇔

+ +

≥ +

a

b ab

a

b ab a

b ab

a

Bất đẳng thức cuối đúng suy ra 3 3 3

- Sẽ mắc sai lầm nếu trong lời giả trên thay các dấu “⇔”bằng các dấu “⇒”

Thật vậy ,nếu (1) ⇒ (2) mà bất đẳng thức (2) đúng thì cha thể kết luận đợc bất đẳngthức (1) có đúng hay không

-Khi sử dụng phép biến đổi tơng đơng ,học sinh thờng bỏ qua các phép biến đổi

t-ơng đt-ơng có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ Vì vậy cần lu ý các phép biến đổi tt-ơng

đơng có điều kiện ,chẳng hạn nh ở ví dụ 3

2.4 Bài tập tự giải :Chứng minh rằng

1,a2 + b2+ c2+ d2 + e2 ≥a(b + c + d + e) với mọi a,b,c,d,e

3.2 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Cho a+b >1 chứng minh a4 + b4 >

8 1

Giải

Ta có a+b>1>0 (1)

Bình phương hai vế của (1) ta được :

bình phương hai vế của (4) ta được :

a4+2a2b2+b4 >

4

1

(5)Mặt khác : (a2-b2)≥0 ⇔a4 – 2a2b2 +b4 ≥0 (6)

cộng từng vế của (5) và (6) ta được:

2(a4 +b4) >

4 1

⇔(a + b )(a- b) - c( a – b)≥ 0⇔(a – b)(a + b –c ) ≥ 0 (*)

do a ≥b và a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên (*)đúng )

¸p dụng tính chất của bất đẳng thức với hai dãy ngược chiều , ta có :

bc(a2 + bc)+ ac(b2 +ac)+ab(c2 +ab) ≤ bc(b2 +ac)+ac(c2 + ab) + ab( a2 + bc)

⇔b2c2 + a2c2 + a2b2 ≤ a3b +b3c + c3a

Vậy (1) đúng và đó là điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c ( tam giác đã cho là tam giác đều )

0 ≥ 2ab – 2 hay 2ab ≤ 2 (3)

Kết hợp (3) với giả thiết a2 + b2 ≤ 2 suy ra :

(a + b)2 ≤ 4 hay │a + b│ ≤ 2Nhưng │a + b│≥ a + b Do đó a + b ≤ 2 (đpcm)

a > b ⇒ a2 > b2 4) Khử mẫu mà chưa biết dấu của chúng:

không : a > b ⇒

b a

1 2

1

1 2

1

) + (

7

1 6

1 5

1 2

1

2 + + + ) + (

15

1

2

1

3 + + ) +………+(

1 2

1

2

1

8 2

1 4 2

1 2 2

−

+ + +

n =        

nso

1 1

1 1

1 + + + + + =n

3.4 Bài tập tự giải : Chứng minh

1/ + ≥

b a

1 1

b

a +

4

(a>0; b>0 )2/ a2 +b2 +c2 +d2 ≥ 4 abcd

1 1

3

1 2

1

2 2

2

+

<

+ + +

4) Phương pháp quy nạp toán học

4.1.1 Cơ së to¸n häc

Néi dung của phương pháp này là tiên đề quy nạp toán học

Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n nếu : .

Mệnh đề đúng với n=1

Từ giả thiết đúng với n=k (k∈N )

Suy ra được mệnh đề cũng đúng với n=k+1

Thế thì mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương

Như vậy để chứng minh một mệnh đề T đúng với mọi số nguyên dương bằngphương pháp quy nạp toán học ta phải tiến hành theo 3 bước:

Bước 1 : chứng minh mệnh đề T (1) đúng ( kiểm tra mệnh đề đúng với n=1)

Bước 2 : giả sử mệnh đề T (k) đúng Ta phải chứng minh mệnh đề T (k+1) cũng

Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n=k+1 , tức là phải chứng minh

x k

1 ( + + 1 ≥ + +

Thật vậy , theo giả thiết : 1+x >0

Ta có : ( 1+k)k (1+x) ≥ (1+kx) (1+x)

2

) 1 ( +x k ≥ + k+ x+kx

Mà kx2 ≥ 0 nên 1+(k+1)x+kx2 ≥ 1+ (k+1)x

Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi x=0

Ví dụ 2: Cho a; b là những số không âm; n là số tự nhiên khác 0 Chứng minh rằng:

2 2

n n n

b a b

b a b

k k k

b a b

1 1

1

b a b a b

1 2

1 1

1 1

≥ +

+ + +

⇔

+

≤ + +

+ +

k k k

k

k k

k k

k k

k k k

k

b ab b

a a b a

b a b a

ab b a b a

b a b a b a

Do a ,b không âm nên bất đẳng thức cuối đúng , vậy (5) đúng Từ (4) và(5) theo tínhchất bắc cầu của bất đẳng thức suy ra (3) đúng

Vậy (1) đúng vơi mọi n là số tự nhiên khác 0 Dấu “=” xảy ra khi :

• Nếu n=1 thì dấu đẳng thức có với mọi a, b không âm

• Nếu n > 1 thì dấu đẳng thức có khi a = b

Nếu cả hai vế của bất đẳng thức phải chứng minh đều phụ thuộc vào đối số tự nhiên nthì có thể dùng phương pháp quy nạp toán học Khi sử dụng phương pháp này phải hiểu

kỹ các bước chứng minh , các phép biến đổi tương đương , tinh chất của bất đẳng thức

4.4 Bài tập tự giải: chứng minh rằng :

1/ với mọi n > 2 ta có 2n > 2n+1

2/ với mọi n > 9 ta có 2n > n4

5)Phương pháp sử dụng giả thiết hoặc 1 bất đẳng thức đã biết

5.1 Cơ së to¸n häc

Trong nhiếu bài toán để việc chứng minh bất đẳng thức được gọn ta có thể sử dụngcác bất đẳng thức đã được chứng minh , nhất là các bất đẳng thức : Côsi ,BunhiaCôpxki …

a

a = 1; b = -1

5.3 Chú ý :

Khi sử dụng phương pháp này cần chú ý : sử dụng các bất đẳng thức đã được chứngminh với điều kiện chặt chẽ để có được bất đẳng thức cần áp dụng Nếu kh «ng sẽ dẫnđến sai lầm , thiếu sót.

a

b b

a a

b b

a

3

2

2 2

3 0

4

1 4

9 3

2

2 2

2 2

a a

b b

a a

b b

a a

b b

Vậy (1) luôn đúng với ∀a;b≠ 0 (đpcm)

Bài toán này sai ở chỗ áp dụng bất đẳng thức ≥ 2

a a

b b

a x a

b b

Vậy ta có : 2 3 4 0

2 2

2

≥ +

a

b b

a a

b b a

Cách 2:

(1) ⇔ 4 + 4 +4 2 22 2−3 3 −3 3 ≥ 0

b a

ab b a b a b

2 2

1/Dùng mệnh đề phản đảo :B⇒ A

2/ Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với giả thiết

3/ Phủ định luận đề rồi suy ra 2 điều trái nhau

4/Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với một điều đúng

5/ Phủ định luận để rồi suy ra kết luận của AB⇒B

Giả sử ngược lại cả 4 bất đẳng thức đều đúng Nhân từng vế ta có :

2.3.8.32.a(1 – b)b(1 – c)(1- d)c(1 – a)d >2.3

⇒ [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]

256

1 1

1 1

1 2

1 )

ab

Chứng minh rằng không thể có a < 1; b < 1 2/Cho hai số dương a ; b thoả mãn điều kiện a5 + b5 = a3 + b3 Chứng minh rằng :

a2 +b2≤ 1 + ab

3/ Cho ba số dương a; b; c thoả mãn điều kiện abc =1

CMR: a + b + c ≥ 3

7)Phương pháp đổi biến

7.1 Cơ sở toán học

B1: §ặt biến mới dựa vào biến cũ

B2:Biến đổi bất đẳng thức theo biến mới , chứng minh bất đẳng thức theo biến mới B3:Kết luận và trả lời theo biến cũ

7.2 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: abc≥(a+b−c)(a+b−c)(b+c−a) (1)

Với a;b ;c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Giải

Đặt: b+c-a=x; a+c-b=y; a+b-c=z, ta có x;y;z>o

2

; 2

; 2

y x c z x b z y

2

y x z x x

) )(

)(

(y+z x+z x+ y

2 2 2 2

2

) (y+z x+z x+y ≥ x y z

Vì hai vế của bất đẳng thức trên không âm nên ta nhân từng vế các bất đẳngthức trên ta được: (y+z)2(x+z)2(x+y)2 ≥ 64x2y2z2 ⇔ [ (y+z)(x+z)(x+y) ]2 ≥(8xyz)2

⇒ (2) được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z

Vậy (1) được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

2

3

2 9

1 3

2 9

1 3

2 9

1 3

1 3

1 3

1

z z y

y x

x z

y x

= ( )

3

1 3

1 3

2 3

1 + x+y+z +x2 +y2 +z2 = +x2 +y2 +z2 ≥

Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi x = y = z = 0 ⇔a = b = c = 1/3

7.3 Chú ý : Khi dùng phương pháp đổi biến để chứng minh bất đẳng thức cần chú ý :

* Đặt biến mới theo hệ biến cũ , kèm theo điều kiện của biến mới

* Nắm chắc được các phép biến đổi , các bất đẳng thức cơ bản để áp dụng

+

− +

+

−

c b

c a

b a

c b a

2/ cho a; b; c ≥ 0 CMR:

2

2 2 2 2 2

4 2

2

4 2

2

b a

c c

a

b c

b

+

+ +

+ +

8 Phương pháp tam thức bậc hai

+ Nếu ∆ < 0 thì a.F(x) >0 với ∀x∈R

+ Nếu ∆= 0 thì a.F(x) >0 với ∀ ≠ − ⇒

a

b

x F(x) cùng dấu với a + Nếu ∆ > 0 thì tồn tại x1, x2 sao cho x2 > x1 Ta có :

- x nằm ngoài hai khoảng nghiệm : x< x1;x>x2 ⇔a.F(x) > 0

- x nằm trong khoảng hai nghiệm : x1 < x< x2 ⇔a.F(x) < 0

a2 –a – 2 + b2 –b -2 + c2 – c -2 ≤ 0 ⇔a2 + b2 + c2 –(a + b + c)≤ 6

Vì a +b +c =0 nên a2 + b2 +c2 ≤ 6 (đpcm)

Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức Côsi ; Bunhia côpxki

Cho n cặp số thực bất kì ( a1 ; b1) ; (a2 ; b2) ……(an ; bn) Thế thì :

2

2 1 2 2

2

2 1 2

2 1

Đặt F(y) = y2 + (ad + bc)y + abcd +m2

Ta có : ∆y = (ad+bc) 2 − 4 1 (abcd+m2 ) = (ad −bc) 2 − 4m2

Vì 2m >ad −bc nên 4m2 ≥ (ad-bc)2 ⇔

0 1

8.3 Chú ý khi sử dụng tam thức bậc hai cấn chú ý :

+ Nắm chắc định lý về dấu của tam thức bậc hai

+Thường dùng các phép biến đổi tương đương để đưa bất đẳng thức cầnchứng minh về dạng ;

≤

a a a a

2/Cho a; b; c thoả mãn hệ thức ; a2 + b2 + c2 =2 và ab +bc +ca =1 Chứng minhrằng :

3

4

;

; 3

3/ cho b > c > d CMR với mọi a∈ R ta luôn có :( a + b +c +d)2 > 8(ac+bd)

4/ cho 6 số a; b; c; d; m; n thoả mãn : a2 +b2 + c2 +d2 < m2 +n2 Chứng minh rằng : (m2 – a2 –b2) (n2 –c2 –d2)≤ (mn –ac-bd)2

x m

Trong đó m i là các số hữu tỉ dương

2 Mệnh đề 2 : (Đối ngẫu ) : Nếu tích của các số dương x1;x2; ;x n bằng một số chotrước thì tổng của chúng bé nhất khi x1 =x2 = =x n

* Định lí 2 : Nếu n số thực dương x1;x2; ;x n có tích P=x1.x2 x n không đổi thìtổng

x m

Trong đó m i (i = 1; 2; 3;… ;n) là các số hữu tỉ dương cho trước

3 Mệnh đề 3 : cho x ;x ; ;x ∈Rta có : x + x + + x (1)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x i cùng dấu Đặc biệt : x1 −x2 ≥ x1 − x2

B- ÁP DỤNG

1-Tìm cực trị của hàm số Biểu thức đại số

Ví dụ 1; Trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi là 20 m , hình nào có diện tích lớn

Vậy max S = 25 ⇔x = 5

Kết luận : trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi là 20 (m) thì hình vuông cạnh 5m

có diện tích lớn nhất

Cách 2 :

Gọi các kích thước của HCN là a; b (m) ; ( a;b >0 )

Ta có : a + b = 10 và diện tích của HCN là ab(m2)

Nhận thấy 4ab = (a + b )2 – (a-b )2 = 100 – (a – b)2 ≤ 100

Vậy ab có GTLN bằng 100/4 = 25 ⇔ a – b = 0 ⇔a = b = 10/2 = 5

Kết luận : trong tất cả các HCN có chu vi là 20 m thì hình vuông cạnh 5 m có diệntích lớn nhất