Chuyên đề này giới thiệu các dangk toán giới hạn của hàm số. Chuyên đề này giúp học sinh có thể hiểu sâu hơn về giới hạn của hàm số. Chuyên đề này có thể giúp học sinh tháo gỡ một số thắc mắt về toán.
Trang 1GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A.TÓM TẮT LÍ THUYẾT:
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1.Giới hạn đặc biệt:
0 0
lim
x x x x
;
0
lim
x x c c
(c: hằng số)
1.Giới hạn đặc biệt:
lim k
; lim k
x
neáu k chaün
x neáu k leû
lim
x
c x
0
1 lim
x x ;
0
1 lim
x x
x x x x
2.Định lí:
a) Nếu
0
lim ( )
0
lim ( )
0
lim ( ) ( )
0
lim ( ) ( )
0
lim ( ) ( )
x x f x g x L M
0
( ) lim
( )
x x
f x L
g x M
(nếu M 0)
b) Nếu f(x) 0 và
0
lim ( )
thì L 0 và
0
lim ( )
c) Nếu
0
lim ( )
0
lim ( )
2.Định lí:
Nếu
0
lim ( )
0 và
0
lim ( )
x x g x
thì:
0
lim ( ) ( )
x x f x g x Bảng sau:
lim f x( ) limf x( ) lim f x g x( ) ( )
Nếu
0
lim ( )
0 và
0
lim ( ) 0
x x g x thì:
0
( ) lim ( )
x x
f x
g x Bảng sau:
limf x( ) limg x( ) Dấu của g x( ) lim ( )
( )
f x
g x
+
0
3.Giới hạn một bên:
0
lim ( )
lim ( ) lim ( )
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 0
0,
, – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định
Trang 2B.MỘT SỐ VẤN ĐỀ - DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ:
0
( ) lim
( )
x x
P x
Q x
0 0
( ) ( )
P x
Q x = L M, 0,L 0
( ) ( )
P x
Q x :
0
( ) lim ( )
x x
P x L
Q x M
0 0
( ) ( )
P x
Q x = 0 , M0
( ) ( )
P x
Q x :
0
( )
( )
x x
P x
Q x
0 0
( ) ( )
P x
Q x = L L0, 0 Áp dụng 2 quy tắc giới hạn vô cực: - Quy tắc 1
- Quy tắc 2
0 0
( ) ( )
P x
Q x =
0 0
- Nhóm nhân tử chung: x x 0
- Nhân thêm lượng liên hiệp
- Thêm, bớt số hạng vắng
( ) ( ) 0
P x Q x - Ta cũng thường sử dụng các
phương pháp như các dạng ở trên
( ) ( )
nhân lượng liên hợp của tử và mẫu
0
( )
lim
( )
x x
P x
Q x , 0
( ) lim ( )
x x
P x
Q x
0 0
( ) ( )
P x
Q x = L M, 0,L 0
( ) ( )
P x
Q x :
0
( ) lim ( )
x x
P x L
Q x M
0 0
( ) ( )
P x
Q x = 0 , M0
( ) ( )
P x
Q x :
0
( )
( )
x x
P x
Q x
0 0
( ) ( )
P x
Q x = L L0, 0 Áp dụng 2 quy tắc giới hạn vô cực: - Quy tắc 1
- Quy tắc 2
0 0
( ) ( )
P x
Q x =
0 0
- Nhóm nhân tử chung: x x 0
- Nhân thêm lượng liên hiệp
- Thêm, bớt số hạng vắng
( ) ( ) 0
phương pháp như các dạng ở trên
( ) ( )
nhân lượng liên hợp của tử và mẫu
( ) lim
( )
x
P x
Q x
với lim ( )
lim ( )
- Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x
- Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp
- Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu
Chú ý: Đối với hàm số lượng giác thì cũng có các dạng tương tự và vận dụng công thức:
sinx
Trang 3C.VÍ DỤ VẬN DỤNG:
Vấn đề 1:
lim ( )
( ) 0
P x
x x Q x và lim ( )
( ) 0
P x
Q x
x x ,
( )
0
P x
x x Q x
( ) 0
P x
Q x = M L M , 0, L 0
Phương pháp: Thế x0vào ( )
( )
P x
Q x :
0
( ) lim ( )
x x
P x L
Q x M
Ví dụ 1:
a)
1
8 1 8 7 7
lim
3 3
4 1 4
x
x
x
b)
3
lim
x
x x
c)
3
3
lim
x
x
d)
4
sin
lim
4
x
x
x
e)
3
2 3
lim
5
x
x
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a)
2 3 0
1
lim
1
x
x x x
x
2 1
lim
1
x
x
2
sin
4 lim
x
x x
d) 1 4
1 lim
3
x
x
x x
2 2
1 lim
1
x
x x x
2 1
lim
1
x
x
g)
1
8 3
lim
2
x
x
x
3 2 2
lim
1
x
x
2 0
1 lim sin
2
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a)
2 3 0
1
lim
1
x
x x x
2 ( 1)
lim
1
x
( ) 2
sin
4 lim
x
x
x
4
( 1)
1 lim
3
x
x
2 2
1 lim
1
x
x x
2 1
lim
1
x
x
Trang 4g)
1
8 3
lim
2
x
x
3 2 2
lim
1
x
2 0
1 lim sin
2
( ) 0
P x
Q x = M 0 , M 0
Phương pháp: Thế x0vào ( )
( )
P x
Q x :
0
( ) 0
( )
x x
P x
Q x M
Ví dụ 2:
a)
2
8 2 8 0
8
4 2 4
x
x
x
b)
0
x
x x
c)
0
x
x
d)
0
sin sin 0 0
1 0 1 1
x
x
x
e)
2
2 2
1
x
x
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a)
2 3
0
lim
1
x
x x x
2 1
lim
1
x
2
sin lim 2
x
x
x
d)
4
1
1
lim
3
x
x
2 2
1 1 lim
1
x
x x
2 1
lim
1
x
x
g)
4
8 2
lim
2
x
x
3 2 2
lim
1
x
x
2 0
lim osx
x
x c
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a)
2 3
0
lim
1
x
x x x
2 ( 1)
lim
1
x
x c) ( )
2
sin lim 2
x
x x
d)
4
1
1 lim
3
x
x
2 2
1 1 lim
1
x
x x
2 1
lim
1
x
x
g)
4
8 2 lim
2
x
x
3 2 2
lim
1
x
2 0
lim osx
x
x c
( ) 0
P x
Q x = L L 0 , 0
Phương pháp: Áp dụng 2 quy tắc giới hạn vô cực:
Trang 5- Quy tắc 1
- Quy tắc 2
Ví dụ 3:
a)
2
8
lim
2
x
x
2 2
lim ( 8) 6 lim ( 2) 0
2 0, 2
x x
x x
b)
2
2
8
lim
2
x
x
2
2 2
2
lim( 8) 6 lim( 2) 0
2 0,
x x
x x
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a)
2 3
2 0
1
lim
x
x x x
2 2 1
lim
1
x
os lim
x
c x x
d)
2
1 4
1 lim
2
x
x
2 2 1
1 1 lim
1
x
x x
2
4 1
lim
1
x
x
g)
4
2
2 2
lim
2
x
x
3 2
6 2
lim
2
x
os lim x
x
c x
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a)
2 3 ( 1)
lim
1
x
x x x
2 1
lim
1
x
0
1 lim sin
x
x
x
d)
4
1
1 lim
2 3
x
x
2 1
1 1 lim
1
x
x x
2 1
lim
1
x
x
g)
2
6 2
lim
2
x
x
3 2 2
lim
2
x
x i) 0
osx lim x
x
c
( ) 0
P x
Q x = 0 0
Phương pháp:
- Nhóm nhân tử chung: x x 0
- Nhân thêm lượng liên hiệp
- Thêm, bớt số hạng vắng
Ví dụ 4:
a) L =
0
( ) lim
( )
x x
P x
Q x
với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn
Trang 6Ví dụ:
2
4
x
b) L =
0
( ) lim
( )
x x
P x
Q x
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu
4
c) L =
0
( ) lim
( )
x x
P x
Q x
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêåu thức chứa căn khơng đồng bậc
Giả sử: P(x) = m u x( )n v x với u x( ) m ( )0 n v x( )0 a
Ta phân tích P(x) = m u x( ) a a n v x( )
=
lim
3 2 6
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a)
3 2
2
1
1 lim
3 2
x
x
4
1
1 lim
2 1
c)
5 3 1
1 lim
1
x
x x
d)
3
5 3 9
lim
8 9
x
2 1
lim
(1 )
x
x
1 lim
1
m n x
x x
g)
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
lim
x
x
h)
2 1
lim
1
n x
x
4
2
16 lim
2
x
x
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a)
3 2
2
1
1 lim
3 2
x
x x x
4
1
1 lim
2 1
x
x
5 3 ( 1)
1 lim
1
x
x x
d)
3
5 3 9
lim
8 9
x
2 1
5 4 lim
(1 )
x
1
1 lim
1
m n x
x x
g)
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
lim
x
2 1
lim
1
n x
4
( 2)
16 lim
2
x
x
Bài tập 3: Tìm các giới hạn sau:
4 1 3
lim
4
x
x
x
3 3 1
1
x
x x
2 0
lim
x
x x
d)
2
2 2
lim
7 3
x
x
x
lim
1
x
x
2
0 2
1 1 lim
16 4
x
x x
Trang 7g) 03
lim
x
x
x
3 2 lim
3
x
i) 0
lim
x
x
Bài tập 4: Tìm các giới hạn sau:
a)
2
2
4 1 3
lim
4
x
x
3 3 1
1
x
x
2
0
lim
x
x x
d)
2
2 2
lim
7 3
x
x
1
lim
1
x
2 2 0
1 1 lim
16 4
x
x x
g)
3
0
lim
x
x
2 ( 3)
3 2 lim
3
x
0
lim
x
x
Bài tập 5: Tìm các giới hạn sau:
a)
3 0
lim
x
x
b)
3 2 2
8 11 7 lim
3 2
x
3 0
lim
x
x
d)
3 2 0
1 4 1 6
lim
x
x
e)
3 2 2
8 11 7 lim
2 5 2
x
3
2 1
lim
1
x
x
g)
0
1 4 1 6 1
lim
x
x
h)
3 0
1 2 1 4 1 lim
x
x
i)
3 0
lim
x
x
Bài tập 6: Tìm các giới hạn sau:
a)
3
0
lim
x
3 2 2
8 11 7 lim
3 2
x
3
0
lim
x
x
d)
3
2 0
1 4 1 6
lim
x
3 2 2
8 11 7 lim
2 5 2
x
3
2 1
lim
1
x
x
g)
0
1 4 1 6 1
lim
x
3
0
1 2 1 4 1 lim
x
3 0
lim
x
x
0 P x Q x
x x )
Phương pháp: Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên
Ví dụ 5:
a)
2
2 2
4
x
x x
2 2
4
x
x x
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a)
2 3
lim( 3)
9
x
x x
2 4
lim( 4)
16
x
x x
2 1
lim( 1)
1
x
x x
x
d)
2 2
lim ( 2)
2
x
x x
2 3
lim ( 3)
3
x
x x
2 5
lim( 5)
25
x
x x
x
Trang 8Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a)
2 3
lim ( 3)
9
x
x x
2 4
lim ( 4)
16
x
x x
2 1
lim ( 1)
1
x
x x
x
d)
2 2
2
x
x x
x e)
2 3
3
x
x x
x e)
2 5
lim ( 5)
25
x
x x
x
0 P x Q x
x x )
Phương pháp: Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên
Ví dụ 6:
a)
x
x
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a)
2
lim
3
lim
4
lim
d)
5
lim
lim
lim
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a)
2
lim
3
lim
4
lim
d)
5
lim
1
lim
2
lim
Vấn đề 2:
lim ( )
( )
P x
Q x
x
lim p x ( )
x , lim Q x ( )
x
Phương pháp:
- Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x
- Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp
Chú ý:
deg( ( )) deg( ( )) ( )
( )
deg( ( )) deg( ( ))
x
P x
Q x
Ví dụ 1:
Trang 9a)
2
2
2
x x
b)
2
2
2
x x
c)
2
2
3 2
3 1
x
d)
2
2
3 2
1
x
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a)
2
2
1 lim
x
x
x x
b)
2
lim
2
x
x x
2
2 1 lim
3 2
x
x
d)
2
2
lim
x
2 2
lim
x
1 lim
1
x
x x
x x
g)
2 2
(2 1) 3
lim
5
x
2 2
lim
x
i)
2 5 2 lim
2 1
x
x
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a)
2
2
1 lim
x
x
2
lim
2
x
x x
2
2 1 lim
3 2
x
x
d)
2
2
lim
x
2 2
lim
x
2
1 lim
1
x
x x
x x
g)
2 2
(2 1) 3
lim
5
x
x x
2 2
lim
x
2 5 2 lim
2 1
x
x
lim Q x ( )
thường có chứa căn)
Phương pháp: Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu
Ví dụ 2:
Trang 10a) lim 1 lim 1 1 lim 1 0
2
2
1
x
2 2
lim
3
1 1 1 1 1 1 1
x
x
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) lim 2
2
3
d) lim
e) lim 32 1 32 1
3 3 2 2
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) lim 2 5
x x x x b) lim 2 1 4 24 2
x x x x c) lim 2 1 3 32 21
d) lim 4 210 2
3 3
3 3 2 2
lim Q x ( )
có chứa căn)
Phương pháp: Tổng hợp các phương pháp trên
Ví dụ 2:
2
1
x
x
2 2
2 1
x x
3
x
x
x x
Trang 11Do:
3 3
1 1
1 1 0, 0
x
x
x
x x
x
x x
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
2
3
1
x
x x
2 2
4
2 lim 1
1
x
x x
2 3
2 lim 1
1
x
x x
x
32
1
x
x x
2 2
3
2 1
1
x
x x
3
2
1
x
x
x
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
2
3
1
x
x x
2 2
4
2 lim 1
1
x
x x
2 3
2 lim 1
1
x
x x
x
32
1
x
x x
2 2
3
2 1
1
x
x x
3
1
x
x
x
Vấn đề 3: Mối quan hệ giữa giới hạn một bên và giới hạn tại một điểm.
Phương pháp:
-
0
lim ( )
lim ( ) lim ( )
- Sử dụng các cách tính giới hạn của hàm số
Ví dụ 1: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
2
x
khi x
Giải:
lim ( ) lim lim
2
1 1
x
f x
lim ( ) lim
1 lim ( ) lim ( )
2
0
1 lim ( )
2
Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:
Trang 12Giải:
2
x
f x
x
lim ( ) lim 2 2
lim ( ) lim ( )
x f x x f x nên m 2 2 m 0
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
2
x khi x x
khi x
b)
2
x khi x
x khi x
c)
2 3 4
8
2
x x khi x x
x
d)
2 2
1
1 2
x
Bài tập 2: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:
a)
x khi x
mx khi x
2 2
khi x
m x mx khi x
0 3
khi x x
x x m khi x