Chứng minh bất đẳng thức

♦Phương pháp 2:SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY.

I ĐỊNH NGHĨA: Cho A và B là hai biểu thức.

II.TÍNH CHẤT:

2.Tính bắt cầu:

B C

≥

 ≥



3.Chuyển vế:

+ A ≥ B ⇔ A – B ≥ 0

+ A > A ⇔ A – B > 0

4.Cộng hai vế:

+ A ≥ B ⇔ A ± C ≥ B ± C

5.Cộng cùng chiều:

A< B , C < D ⇒ A + C < B + D

6.Nhân hai vế cùng một số khác 0

Nếu C 0 : AC BC > ≥

Nếu C 0 : AC BC < ≤

7.Nhân hai vế hai bất đẳng thức cùng chiều:

C D 0

> >

 > >



8.Nghịch đảo:

9.Nâng luỹ thừa,lấy căn:

+A B 0> > ⇒ An > Bn

+A B 0> > ⇒ n A > n B

III.CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC:

♦Phương pháp 1: BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.

Để chứng minh A > B ta chứng minh

A > B

⇔ A1 > B1

⇔ A2 > B2

.

⇔ An > Bn

Nếu bất đẳng thức An > Bn đúng thì A > B đúng

Ví dụ: Chứng minh với mọi a , b ta có:

a2 + + ≥b2 c2 ab bc ca+ +

⇔ a2 −2ab b+ + −2 b2 2bc c+ + −2 c2 2ca a+ ≥2 0

⇔ −(a b)2 + −(b c)2 + −(c a)2 ≥ 0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức đã cho đúng

♦Phương pháp 2:SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY.

a a a

a a a n

2

+ ≥

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi : a = b

Ví dụ: Cho a, b, c > 0, CMR: (a + b) 1 1 4

a b

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a , b

2

+ ≥ ⇔ + ≥a b 2 ab (1)

a b

1 1

1 1

+

≥ ⇔ + ≥1 1a b 2 1 1a b. (2)

Nhân (1) và (2) ta được

a b

♦Phương pháp 3:SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACÔPKI.

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho: ai = kbi (∗) với

Ví dụ: Cho 2x + 3y = 1, chứng minh 4x2 9y2 1

2

+ ≥

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 4 số 1 , 2x , 1 , 3y, ta có: (2x 3y)+ 2 ≤(12 +1 )(4x2 2 +9y )2

2

♦Phương pháp 4:SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CỐSI-SVACXƠ

Cho 2 cặp số: a1, a2, … , an và b1, b2, … , bn, ta có:

2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n

Ví dụ: Cho x2 + y2 =1.Chứng minh rằng: 2x 3y+ ≤ 13

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi-Svacxơ cho 2,3,x,y ta có:

= − = −

IV.BÀI TẬP:

2 Chứng minh

4 4 4

abc

+ + + + ≤ ∀a;b;c>0

3.Cho a,b,c > 0,chứng minh:

4 Chứng minh với mọi a,b,c > 0, ta có:

2 2 2

+ +

5.Cho a,b,c > 0, chứng minh:

2 a 3 b 5 ab+ 3 ≥ 5

6.Cho a> 1; b> 1;c>1 Chứng minh:

2

4a 1+ + 4b 1+ + 4c 1 3 5+ ≤

8.Cho a;b;c > 0 và a + b +c = 1 Chứng minh:

 +  +  +  ≥

9 Cho a;b;c > 0 Chứng minh:

 +  +  +  ≥

10.Cho a;b;c >0, a>c; b>c Chứng minh:

2

+

11 Cho a;b;c > 0 Chứng minh:

a3 + + ≥b3 c3 a2 bc b+ 2 ca c+ 2 ab

12 Cho a;b;c > 0 Chứng minh:

3(a3 + +b3 c ) (a b c)(a3 ≥ + + 2 + +b2 c )2

13 Cho a;b;c > 0 Chứng minh:

14 Cho a;b;c > 0 Chứng minh:

5 a 12 b 17 ab+ 12 ≥ 17

15 Cho a;b;c > 0 Chứng minh:

+ + + + + ≥

2 2 2

17.Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1, chứng minh:

3 3 3 3 3 3

3 3

18.Chứng minh với mọi x ta có:

x x x

x + + =y z , chứng minh:

1

x(x+y+z) = 3yz,

Ta có (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 5(y + z)3

(Khối A- 2009)