phương pháp làm trội để CM bất đẳng thức­

Phơng pháp làm trội để chứng minh bất

đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức A < B ta có thể chọn số C sau đó chứng minh

A <C và C < B

Có những bất đẳng thức ta phải sử dụng nhiều đại lợng trung gian để chứng minh

Bài 1 : Cho các số dơng a, b ,c ,d.Chứng minh rằng:

b c d +c d a d a b a b c+ + >

Giải:

Vì a, b, c , d là các số dơng nên : b + c + d < a+ b + c +d

c + d + a < a+ b +c + d

d + a + b < a + b +c +d

a + b + c < a + b + c + d

Ta có: a a

b c d > a b c d

b b

c d a >a b c d

c c

d a b >a b c d

d d

a b c >a b c d

Cộng các vế tơng ứng của các bất đẳng thức trên ta có :

b c d +c d a d a b a b c+ + >

a b c d +a b c d+a b c d +

d

a b c d+ + + =

a b c d

a b c d

+ + + + + + =1

b c d +c d a d a b a b c+ + >

Bài 2:Cho các số dơng a , b Chứng minh rằng:

1

a b+ b a <

Giải:

Do a, b là các số dơng => 2a + b > a + b và 2b + a > a + b

=>

2

a b< a b

+ + ; 2

b a < a b

Cộng các vế tơng ứng của các bất đẳng thức trên ta có:

1

a b b a a b a b a b

+

Bài 3: Cho a, b , c > 0 Chứng minh rằng:

a b c 2

a b b c c a+ + <

Giải:

Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức sau:

Nếu x , y, z > 0 và x < y thì x y < x z y z++

Thật vậy xét hiệu: x y− x z y z++ = x y z( + −y y z() +y x z() + ) = xy xz xy yz+ − −y y z( + ) = z x y y y z(( −+ ))<0 (Vì x < y => x - y < 0 )

Vậy : x x z

y y z

+

<

+

Sử dụng kết quả này ta có:

a a c

a b a b c

+

<

b c a b c

+

<

c a a b c

+

<

Cộng từng vế tơng ứng của các bất đẳng thức trên ta có:

a b b c c a a b c a b c a b c

2(a b c)

a b c

+ + + + = 2 Suy ra điều phải chứng minh

Bài 4: Cho ba số dơng a , b ,c Chứng minh rằng:

3 13 3 31 3 31 1

a b abc b+ c abc c+ a abc ≤abc

Giải :

Ta có : a3 + b3 - ab(a+b) = (a + b)(a2 - ab + b2) - ab(a + b)

= (a + b)(a2- ab +b2 - ab) = (a + b)(a2 - 2ab + b2 ) =(a + b)(a - b)2 ≥ 0

 a3 + b3 ≥ ab(a + b)

 a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b) + abc => a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

 3 3

c

a b abc ≤ab a b c = abc a b c

Chứng minh tơng tự ta có :

3 3

a

b c abc≤bc a b c =abc a b c

3 3

b

c a abc≤ ac a b c = abc a b c

Cộng từng vế tơng ứng của các bất đẳng thức trên ta có:

3 3 3 3 3 3

a b abc b+ c abc c+ a abc≤

abc a b c( c+ + )+abc a b c( a+ + )+abc a b c( b+ + ) = abc a b c a b c(+ ++ + )= 1

abc

Dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức:

335 < 2 + 3 + 4 + + 2008 + 2009 < 2009

Giải

Số hạng tổng quát có dạng : 12

k với 2 ≤ k ≤ 2009

Ta có : 12

k < (k−11)k = 1 1

1

k −k

−

áp dụng bất đẳng thức này với k = 2,3,4,….,2009 ta có:

12 1 1

2 < − 1 2

2

1 1 1

3 < − 2 3

………

2

2009 < 2008 2009 − Cộng các vế tơng ứng của các bất đẳng thức trên ta có

2 + 3 + 4 + + 2008 + 2009 < 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 3 − + − + + 2007 2008 2008 2009 − − + = 1 1008 2008

2009 2009

Mặt khác 2

k > k k = −k k

áp dụng bất đẳng thức này với k = 2 ,3 ,4,…, 2009 ta có :

12 1 1

2 > − 2 3

2

1 1 1

3 > − 3 4

12 1 1

4 > − 4 5

………

1 2 1 1

2009 > 2009 2010 −

=> 2 2 2 2 2

2 + 3 + 4 + + 2008 + 2009 >

2 3 3 4 4 5 − + − + − + + 2008 2009 2009 2010 − + − = 1 1 1004

2 2010 − = 2010

Mà 1004 1002 6.167 167

2010 > 2010 = 6.335 = 335

=> 12 12 12 1 2 1 2

2 + 3 + 4 + + 2008 + 2009 > 167

335

Ta có điều phải chứng minh

Bài 6: Chứng minh rằng: 2 2

5 13 + + + 2002 2003 < 2

+ Giải:

Nhận xét : 1 1 1 2

5 1 = 2

13 = 2 3

+ …

Do đó số hạng tổng quát có dạng: 2 2

1 ( 1)

k + +k

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có:

k2 + (k + 1)2 > 2k(k +1)

=> 2 2

áp dụng kết quả trên với k = 1 , 2 , 3 ,….2002 ta có

5 13 + + + 2002 2003 <

+

2 1 2 2 3 2001 2002 2002 2003

=1 1. 1

2 1 2003

  <

1 2

Bài 7: Chứng minh rằng:

87< 1 1 1 1 1

2 + 3 + 4 + + 2024 + 2025 < 88

Giải

Số hạng tổng quát là: 1

k với k > 1

Ta có :

2 1 2

k k < k < k k

Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu,rồi thu gọn ta đợc:

2( k+ − 1 k ) < 1

k < 2( k− k− 1)

áp dụng bất đẳng thức này với k = 2 , 3 , 4 , …, 2025 ta có

2 + 3 + 4 + + 2024 + 2025 > 2( 3− 2+ 4− 3 + + 2026− 2025)

2 + 3 + 4 + + 2024 + 2025 > 2( 2026− 2) > 2(45 – 1,5) = 87

2 + 3 + 4 + + 2024 + 2025 < 2( 2− 1+ 3− 2 + + 2025− 2024)

2 + 3 + 4 + + 2024 + 2025 < 2( 2025− 1) > 2(45 – 1) = 88

Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số dơng n > 2 ta có:

2 3 2 + + 4 3 + + (n 1) n

+ < 2

Giải

Số hạng tổng quát là :

( 1)

k

k

k

k

1

k k

(k 1) k k k 1

áp dụng bất đẳng thức này với k = 1,2,3,…n ta có

2 3 2 + + 4 3 + + (n 1) n

+ < 2

1

n

Bài tập tham khảo:

1) Cho các số dơng a , b , c Chứng minh rằng :

2008 2008 2008

2) Cho 3 số dơng a, b , c thoả mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3

1

a b +b c +c a ≤

3) Cho a, b , c > 0 Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3

a b b c c a

a b c

4) Cho n là số nguyên dơng lớn hơn 2.Chứng minh rằng:

5) Cho n là số nguyên dơng lớn hơn 2 Chứng minh rằng:

9 25 49 + + + + (2n 1) + (2n 1) < 4

6) Chứmg minh rằng nếu a , b ,c là độ dài các cạnh của một tam giác thì:

a2 + + <b2 c2 2(ab bc ca+ + )

7)Cho n là các số nguyên dơng lớn hơn 2.Chứng minh rằng:

2( n+ − 1 2) < 1 1 1 1 1

2 + 3 + 4 + + n 1 + n

− < 2( n−1)