có SAABC, đáy là ABC vuông cân tại A.. 1,5 điểm b Xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.. Suy ra diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.. và th
Trang 1Đề số 1
ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2009 – 2010 Môn TOÁN Lớp 12 Nâng cao
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1 (3 điểm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y f x( ) 1x3 2x2 3x 1 ( ) C
3
b) Tìm m để đường thẳng d y( ) : 2mx1 cắt C( ) tại 3 điểm phân biệt? ( 1 điểm)
Bài 2 (3 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f x( ) 1cos2x 2sinx 2
2
b) Giải phương trình: 21 x 9x
3
c) Giải hệ phương trình: x x y y x
2
( 1 điểm)
Bài 3 (1 điểm) Cho hàm số y x m x m C m
x
1
Chứng minh rằng vớim, đồ thị C luôn có cực đại, cực tiểu Tìm m m để khoảng cách từ
điểm cực đại của đồ thị C đến đường thẳng m ( ) : 3 x 4y 2 0 bằng 4? ( 1 điểm)
Bài 4 (3 điểm) Cho hình chóp S ABC có SA(ABC), đáy là ABC vuông cân tại A
Biết SA2 ,a AB a 3, AC a 3
a) Tính thể tích của khối chóp S ABC (1,5 điểm)
b) Xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Suy ra diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
c) Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của SB SC AC, , Mặt phẳng MNP( ) cắt AB tại Q
Tính diện tích toàn phần của khối đa diện MNPQBC ( 0,5 điểm)
===========================
Trang 2Đề số 1
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 1 Môn TOÁN Lớp 12 Nâng cao
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1 (3 điểm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y f x( ) 1x3 2x2 3x 1 ( ) C
3
Giới hạn xlim y ; xlim y
1
( 0,25 điểm)
Hàm số nghịch biến trên (1;3) , đồng biến trên ( ;1) và (3;)
Điểm cực tiểu I1(3; 1) , điểm cực đại I2 1;1
3
Ta có y'' 2 x 4; '' 0 y 2x 4 0 x2 Điểm uốn I 2; 1
3
(0,25 điểm)
Điểm đặc biệt: A 0; 1 , B 4;1
3
Đồ thị hàm số nhận điểm uốn I 2; 1
3
làm tâm đối xứng
1
1
+
-x
'
f x
0 -2
A
2 -1
x
y
I 1
-2
3 4
.
.
.
.
B
.
-1
Trang 3b) Tìm m để đường thẳng d y( ) : 2mx1 cắt C tại 3 điểm phân biệt?
Phương trình hoành độ giao điểm của C ( ) và d( ) là:
x
2
0
3
Đặt g x 1x3 2x 3 2m
3
Để PT đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì PT g x( ) 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0
m m
m
1 (3 2 ) 0
3 (0) 0
2 2
( 0,5 điểm)
Bài 2 ( 3 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f x( ) 1cos2x 2sinx 2
2
Ta có f x( ) 11 2sin2x 2sinx 2 sin2x 2sinx 1, x 0;
(0,25 điểm)
Đặt t sin , 0x t 1 g t( ) t2 2t 1, t 0;1
g t( )2 2, ( ) 0t g t t 1, t 0;1 (0,25 điểm)
Ta có: g(0) 1; g(1) 5
Giá trị lớn nhất là: 0;1 g t g khi t 0; f x khi x
2
Giá trị nhỏ nhất là: g t g khi t f x khi x
2
Vậy f x khi x
0;
2
5 max ( )
, f x khi x
0;
2
1
6
( 0,25 điểm)
b) Phương trình 21 x 9x
3
log 6 log 1 0 4 log32x 3log3x 1 0 (0,25 điểm)
x x
t
3 2
4 3
3
1
1
log
(0,5 điểm)
.
Trang 4S
A
B
K E
M
N
Q
H d
c) Giải hệ phương trình x x y x
(2) 27 3 9 3 3 , thay vào phương trình (1) ta được:
y
y
y
2
1
2
2
( 0,5 điểm)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1); (1; 1); (4;2); (4; 2) ( 0,5 điểm)
Bài 3 (1 điểm)
'
Dựa vào BBT điểm cực đại là: I1( 2; m 3) (0,25 điểm)
Khoảng cách từ điểm cực đại I1( 2; m 3) đến đường thẳng ( ) : 3 x 4y 2 0 là:
m
5
Bài 4 (3 điểm)
Vẽ hình đúng (0,5 điểm)
Do SA(ABC) nên SA là đường cao
của hình chóp S ABC
ABC
V 1 SA S
(0,25 điểm)
Mà ABC vuông cân tại C
S ABC 1AC AB. 1a 3 3a 3a2
( 0,25 điểm)
Suy ra V 12 a a23 a3
( 0,5 điểm)
2
3
m
1
m
+
-x
'
f x
-1
Trang 5b) Gọi H là trung điểm BC Ta có: HA HB HC (do ABC vuông tại A)
Từ H dựng đường thẳng d ABC( ) Suy ra d là trục mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh SA đi qua trung điểm E của SA, cắt d tại điểm I
Ta có IA IS (1)
Tương tự, dựng mặt phẳng trung trực các cạnh SB SC, Ta có: IC IB IS (2)
Từ (1),(2) suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABC Bán kính R IA
Ta có IA IH2 AH2 a 10
2
Diện tích mặt cầu là: S4R2 10a2
Thể tích khối cầu là: V 4 R3 5 10 a3
c) Mặt phẳng MNP( ) cắt ABC( ) theo giao tuyến PQ song song với BC, với Q là trung điểm
của AB (0,25 điểm)
Diện tích toàn phần của khối đa diện MNPQBC bằng:
a2 6 a2 3 a2 3 9a2 a23 33 6 3 9 3 33 a2
(0,25 điểm)
=============================
