Bài tập ứng dụng của tích phân

CHUYÊN ĐỀỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A.. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán 1... ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I.. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1.. Diện tích hình thang cong... Diện tích

CHUYÊN ĐỀ

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

A TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải toán

1 Dạng 1

Giả sử cần tính tích phân

b

a

I = ò f(x) dx

, ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

x a x 1 x b2

f(x) + 0 - 0 +

Bước 2 Tính

I = ò f(x) dx = òf(x)dx- òf(x)dx+òf(x)dx

Ví dụ 1 Tính tích phân

2 2 3

I x 3x 2 dx

Giải

Bảng xét dấu

x - 1 2 3

2

x - 3x+2 + 0 - 0

59

2

Ví dụ 2 Tính tích phân

2

2 0

I 5 4cos x 4sin xdx

p

-

Giải

2

I 4sin x 4sin x 1dx 2sin x 1 dx

- Bảng xét dấu

x

0 6

p 2

p 2sin x- 1 - 0 +

( ) ( )

0

6

I 2sin x 1 dx 2sin x 1 dx 2 3 2

6

p

p

-

2 Dạng 2

Giả sử cần tính tích phân

b

a

I = ò f(x) ± g(x) dx

, ta thực hiện:

Cách 1.

Tách

I = ò f(x) ± g(x) dx= ò f(x) dx±ò g(x) dx

rồi sử dụng dạng 1 ở trên

Cách 2.

Bước 1 Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).

Ví dụ 3 Tính tích phân

2

1

-

Giải Cách 1.

xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx

-= - ò +ò +ò - - ò

= - + +çç - ÷÷ - çç - ÷÷ =

Cách 2.

Bảng xét dấu

x –1 0 1 2

x – 0 + +

x – 1 – – 0 +

( 2 ) 1

Vậy I = 0

3 Dạng 3

Để tính các tích phân

b

a

I = òmax f(x), g(x) dx

và

b

a

J =òmin f(x), g(x) dx

, ta thực hiện các bước sau:

Bước 2

+ Nếu h(x)> thì 0 max f(x), g(x){ } =f(x) và min f(x), g(x){ } =g(x).

+ Nếu h(x)< thì 0 max f(x), g(x){ } =g(x) và min f(x), g(x){ } =f(x).

Ví dụ 4 Tính tích phân

4

2 0

I = òmax x +1, 4x- 2 dx

Giải

Đặt h(x)=(x2 +1) - (4x- 2) =x2- 4x+ 3 Bảng xét dấu

x 0 1 3 4 h(x) + 0 – 0 +

80

3

Ví dụ 5 Tính tích phân

2

x 0

I = òmin 3 , 4- x dx

Giải

Đặt h(x)=3x - (4- x) =3x + -x 4. Bảng xét dấu

x 0 1 2 h(x) – 0 +

x

ç

=ò +ò - = +ççè - ÷÷ø = +

B ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Diện tích hình thang cong

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các

đường y= f(x), x=a, x= và trục hoành là: b ò

b a

S = f(x) dx

Phương pháp giải toán

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b

a

f(x) dx

ò

Giải

Do ln x³ 0 x" Î [1; e] nên:

e 1

S=ò ln x dx=òln xdx =x ln x- 1 =1

Vậy S= (đvdt).1

Ox

Giải

Bảng xét dấu

x 0 1 3

y – 0 + 0

S= - ò - x +4x- 3 dx+ò - x +4x- 3 dx

= - -çç + + ÷÷ + -çç + + ÷÷ =

Vậy

8

S

3

=

(đvdt)

2 Diện tích hình phẳng

2.1 Trường hợp 1

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

các đường y=f(x), y=g(x), x=a, x = là: b ò

b a

S = f(x) - g(x) dx

Phương pháp giải toán

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x)- g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b

a

f(x)- g(x) dx

ò

2.2 Trường hợp 2

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

các đường y=f(x), y=g(x) là:

b a

ò

S = f(x) - g(x) dx

Trong đó , a b là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f(x) g(x)=

(a£ a < b £ b).

Phương pháp giải toán

Bước 3 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

f(x) g(x) dx

b

a

-ò

Ví dụ 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y=x +11x- 6, y=6x , x =0, x= 2

Giải

Đặt h(x)=(x3+11x- 6)- 6x2 = x3- 6x2 +11x- 6

h(x)= Û0 x= Ú = Ú = (loại).1 x 2 x 3

Bảng xét dấu

x 0 1 2 h(x) – 0 + 0

S= - ò x - 6x +11x- 6 dx+ò x - 6x +11x- 6 dx

= - çç - + - ÷÷ +çç - + - ÷÷ =

Vậy

5

S

2

=

(đvdt)

Đặt h(x)=(x3+11x- 6)- 6x2 = x3- 6x2 +11x- 6

h(x)= Û0 x= Ú = Ú = 1 x 2 x 3

Bảng xét dấu

x 1 2 3 h(x) 0 + 0 – 0

S=ò x - 6x +11x- 6 dx- ò x - 6x +11x- 6 dx

=çç - + - ÷÷ - çç - + - ÷÷ =

Vậy

1

S

2

=

(đvdt)

Chú ý:

1) Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì phải vẽ hình, tuy nhiên hầu hết rất khó xác định đúng miền phẳng cần tính diện tích (có thể vì thế mà đề thi Đại học không ra)

2) Nếu trong khoảng (a b; )

phương trình f(x)= g(x) không có nghiệm thì ta có thể dùng công thức:

f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx

3) Nếu tích diện tích hình phẳng giới hạn bởi x = f(y) và x = g(y) thì ta giải như trên nhưng nhớ đổi vai trò x cho y (xem ví dụ 9)

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

3

x =4x Û x= - 2 xÚ = Ú =0 x 2

= çç - ÷÷ + çç - ÷÷ =

Vậy S= (đvdt).8

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

2 2

x - 4 x + = Û3 0 t - 4t+ =3 0, t= x ³ 0

S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx

2éê x 4x 3 dx x 4x 3 dx ùú

= êçç - + ÷÷ + çç - + ÷÷ ú=

Vậy

16

S

3

=

(đvdt)

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

2

x - 4x+3 = +x 3

2 2

x 3 0

x 0

x 4x 3 x 3

x 5

+ ³

Û í êïïï ê - + = - - Û ê =ë ê

Bảng xét dấu

x 0 1 3 5

2

x - 4x+3 + 0 – 0 +

= çç - ÷÷ +çç + - ÷÷ +çç - ÷÷ =

Vậy

109

S

6

=

(đvdt)

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

x - 1 = x + Û5 t - 1 = +t 5, t = x ³ 0

2 2

t 3

ï é - = + ï

=

ï ê - =

-ïî ë

Bảng xét dấu

x 0 1 3

2

x - 1 – 0 +

= çç - - ÷÷ +çç - - ÷÷ =

Vậy

73

S

3

=

(đvdt)

Giải

Ta có: y= 2 x- 2 Û x= 2 y , x- 2 ³ 0.

Phương trình tung độ giao điểm: y= 2- y2 Û y= 1

4 2

0 0

2cos tdt ydy t sin2t

p

p

- Vậy S

4

p

=

(đvdt)

Cách khác:

Vẽ hình ta thấy S bằng

1

8 diện tích hình tròn bán kính R = 2 nên

2

1

p

II THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

1 Trường hợp 1

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x)³ 0 x" Î [a;b],

y= , x a0 = và x=b (a<b) quay quanh trục Ox là:

b 2 a

V = pòf (x)dx

Giải

Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x2 =R2 Û x= ± R

Phương trình (C) : x2 +y2 = R2 Û y2 = R2- x2

0

2 R x

ç

= pççè - ÷÷ø = .

Vậy

3

4 R

V

3

p

=

(đvtt)

2 Trường hợp 2

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x= g(y)³ 0 y" Î [c;d],

x= , y0 = và y d (c d)c = < quay quanh trục Oy là:

d 2 c

V = pòg (y)dy

Ví dụ 2 Tính thể tích hình khối do ellipse

2 2

2 2

a +b = quay quanh Oy.

Giải

Tung độ giao điểm của (E) và Oy là

2 2

b = Û = ± . Phương trình

2 2

a +b = Û = - b

Þ = p çç - ÷÷ = p çç - ÷÷

2 0

a y 4 a b

2 a y

3 3b

ç

= pççè - ÷÷ø = .

Vậy

2

4 a b

V

3

p

=

(đvtt)

3 Trường hợp 3

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), y= g(x),

x= và a x= b (a<b, f(x) ³ 0,g(x)³ 0 x" Î [a; b )] quay quanh trục Ox là:

b

a

V = pò f (x)- g (x) dx

quanh Ox

Giải

Hoành độ giao điểm:

4

x 1

ï =

5 2

0

p

Vậy

3

V

10

p

=

(đvtt)

4 Trường hợp 4

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x =f(y), x=g(y),

y= và c y =d (c<d, f(y)³ 0,g(y) ³ 0 y" Î [c; d )] quay quanh trục Oy là:

d

c

V = pò f (y)- g (y) dy

x= -3 y quay quanh Oy.

Giải

Tung độ giao điểm:

y 2

= -é ê

- + = - Û ê =ë

2

2 1

2

4 2 1

y 11y 6y 16 dy

2

5 3

2

1

ç

= p ççè - + + ÷÷ø = .

Vậy

153

V

5

p

=

(đvtt)

BÀI TẬP Bài 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình sau

1) y=sin x, y = , x 0, x 20 = = p

2) y=x , y3 = , x0 = - 1, x=2

3) y=x2- 2x, y= - x2 +4x

4) y=x , y3 = 4x, x= - 1, x=2

5) y= - x2- 5, y= - 6x, x=0, x=1

6) y= - x2- 2, y= - 3x, x =0, x=2

7) y= - x2- 2x, y= - x- 2

8) y=x3- 2x2 - x+ và trục hoành2

9) y= x3 - 2x2- x + và trục hoành2

10)

y 4 , y

11) y= - 4- x , x2 2 +3y= 0

12) y= x2- 4x+3 , y= 3

13) y= x2- 4 x +3 , y =0

14) 2

3

x y, x

4 y

-15)

-16) y=(2+cosx) sin x, y = , 0 x 2, x 32

17) y=x 1+x , y2 = , x 10 =

18)

ln x

2 x

, x =1, x=e 19)

1 ln x

x

+

, x =1, x=e 20) y=0, y =ln x, x =2, x= e

sin x cos x

, x , x

22) y=x , y2 =4x2, y= 4

23) y=x(x+1)(x- 2), y= , x0 = - 2, x=2

24) y=xe , yx = , x0 = - 1, x=2

25) y2 =4x, x- y+ = , y 01 0 =

26) x- y3 + =1 0, x+ -y 1=0, y=0

Bài 2 Tính thể tích do hình phẳng giới hạn bởi các đường

1) y=3x, y= , x 0, x 1x = = quay quanh Ox

2)

2

x

y , y 2

2

, y= 4, x= quay quanh Oy0 3) y2 =(x- 1) , x3 = và y 02 = quay quanh Ox

4) y2 = -4 x, x= quay quanh Oy0

5) (C) : x2 +(y- 4)2 = quay quanh Oy4

6) ellipse

2 2

16+ 9 = quay quanh Ox 7) ellipse

2 2

16+ 9 = quay quanh Oy 8) y=x2+2, y= -4 x2 quay quanh Ox

9) y=x , y2 = x quay quanh Ox

10) y= - 4- x , x2 2 +3y= quay quanh Ox0

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1

1)

S sin x dx sin xdx sin xdx

p

0

cosxp cosx p

(đvdt)

2)

1 0

(đvdt)

3) x2 - 2x= - x2 +4x Û x= Ú =0 x 3

3

0

S (x 2x) ( x 4x) dx

0 0

2x

3

ç

= ò - = ççè - ÷÷ø

= 9(đvdt)

4) x3- 4x = Û0 x= Ú = Ú = - (loại).0 x 2 x 2

S x 4x dx (x 4x)dx (x 4x)dx

= çç - ÷÷ + çç - ÷÷

Vậy

23

S

4

=

(đvdt)

5) x2 - 6x+ = Û5 0 x= Ú = (loại).1 x 5

1

2

0

0 0

x

3

ç

= ò - + = ççè - + ÷÷ø

Vậy

7

S

3

=

(đvdt)

6) x2 - 3x+ = Û2 0 x= Ú = 1 x 2

2

2

0

(x 3x 2)dx (x 3x 2)dx

= çç - + ÷÷ + çç - + ÷÷

7) - x2- 2x= - x- 2Û x= - 2 xÚ = 1

1

2

2

2

2 2

ç

= ò + - = ççè + - ÷÷ø

Vậy

9

S

2

=

(đvdt)

8) x3- 2x2- x+ = Û2 0 x= Ú = ± 2 x 1

3 2

1

(x 2x x 2)dx (x 2x x 2)dx

= çç - - + ÷÷ + çç - - + ÷÷

Vậy

37

S

12

=

(đvdt)

9)

2

3

3 2

t 2t t 2 0

ìïï

- - + = Û íï - - + =

ïî

t 1

t 2

3

2 (x 2x x 2)dx 2 (x 2x x 2)dx

= çç - - + ÷÷ + çç - - + ÷÷

10)

2 2

4 2

4 4 2

2 2 2 2

2 2

4 4 2

-2 -2 2 2

2 2

4 4 2

ç

= çç - - ÷÷÷

ò

2 2 2 2

0

4 4 2

ç

= çç - - ÷÷÷

ò

1

16 x dx x dx

2 2

2 2 4

1

16 cos tdt x dx

2 2

p

4

8 t sin2t

p

- Vậy

4

S 2

3

= p +

(đvdt)

11)

+ = Û = - Þ - - =

-4 2

0 3

ç

Þ = ò - - = òççè - - ÷÷ø

2 4 x dx x dx 2 4 cos tdt x dx

p

3

0 0

2 2 t sin2t

p

- Vậy

S

3

p +

=

(đvdt)

12)

2 2

2

x 0

x 4x 3 3

x 4x 3 3

x 4

- + = Û êê - + = - Û ê =ë

Bảng xét dấu

x 0 1 3 4

2

x - 4x+3 + 0 – 0 +

4

2 0

= çç - ÷÷ + çç + - ÷÷ + çç - ÷÷

13) x2- 4 x +3 = Û0 x2- 4 x + =3 0

Bảng xét dấu

x 0 1 3

2

x - 4x+3 + 0 – 0

S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx

2éê x 4x 3 dx x 4x 3 dxùú

= êçç - + ÷÷ - çç - + ÷÷ ú

Vậy

16

S

3

=

(đvdt)

14) Tung độ giao điểm 2

y 1 3

4 y

= é ê

= - £ < Û ê =ê

3 3

ç

= … Vậy

3

S 1

6

p

=

(đvdt)

15) Tung độ giao điểm 2 2

y 2

y = 8- y Û =

ç

= … Vậy S 2 1

12

p

= -

(đvdt)

16)

3

2

2

S (2 cosx) sin x dx

p

p

= ò +

3 2

2

(2 cosx) sin xdx (2 cosx) sin xdx

p p

2

2cosx cos2x 2cosx cos2x

p p

= 3(đvdt)

17) Hoành độ giao điểm x 1+x2 = Û0 x=0

S x 1 x dx x 1 x dx

0 0

1 1 x d(1 x ) 1 (1 x )

Vậy

2 2 1

S

3

-=

(đvdt)

18)

[ ]

ln x ln x ln x

Đặt t =ln x Þ x =et Þ dx=e dtt

x = Þ1 t =0, x= Þe t =1

1 t 1

t t

te dt

2 e

1

0

- Vậy S= -2 e (đvdt).

19)

1 ln x 1 ln x

Đặt

t 1 ln x t 1 ln x 2tdt

x

x = Þ1 t =1, x= Þe t = 2

2 2 2

2 3

1

2

S t.2tdt 2t dt t

3

Vậy

4 2 2

S

3

-=

(đvdt)

20)

e 2

S= ò ln x dx= òln xdx= x ln x - òdx

Vậy S= -2 2ln2.

21) 2 2

cos x sin x

p ép pù

= Û = Î êë úû

3

2 2 6

cos x sin x

p

p

cos x sin x cos x sin x

cos x sin x cos x sin x

tgx cotgx tgx cotgx

Vậy

8 3 12

S

3

-=

(đvdt)

22) Tọa độ giao điểm

2 2

y 0

y 4x

î

Ta có:

2 2

y x

1

2

ìï =

Vậy

8

S

3

=

(đvdt)

23)

2

2

S x(x 1)(x 2) dx

= çç - - ÷÷ + çç - - ÷÷ + çç - - ÷÷

Vậy

37

S

6

=

(đvdt)

24)

S xe dx xe dx xe dx

x 1 e x 1 e

Vậy

3

e 2e 2

S

e

+

-=

(đvdt)

25)

4

ìï

ì =

ï - + = ï =

1y y 1 y 2 4

2

2 0

1

S y (y 1) dy

4

0 0

1 y 4y 4 dy 1 y 2y 4y

ç

= ò - + = ççè - + ÷÷ø

Vậy

2

S

3

=

(đvdt)

26)

0 0

- Vậy

5

S

4

=

Bài 2

1)

( )

0

8 x

3

p

Vậy

8

V

3

p

=

(đvtt)

2) Ta có

2

2

x

2

4

2

Þ = pò = pò = p

Vậy V =12p (đvtt)

3) Ta có (x- 1)3 = Û0 x=1

1

(x 1)

V y dx (x 1) dx

4

-Þ = pò = pò - = p

Vậy V

4

p

=

(đvtt)

4) Ta có

( )

2 2

0 2

8y y

ç

Þ = pò - = pççè - + ÷÷ø

Vậy

512

V

15

p

=

(đvtt)

5) Tung độ giao điểm (C) : x2 +(y- 4)2 = và Oy:4

2 y 4 2 y 6 (y 4) 4

2

y

3

ç

Þ = pò = pò - - = p -ççè + - ÷÷ø

Cách khác:

Hình khối tròn xoay là hình cầu bán kính R = 2 nên

3

4 2 V

3

p

=

Vậy

32 V

3

p

=

(đvtt) 6) Hoành độ giao điểm

2 2

16+ 9 = và Ox là x = ± 4

Ta có: x2 y2 2 9( 2)

16+ 9 = Û =16

0

Þ = pò = ò - = ççè - ÷÷ø

Vậy V =48p (đvtt)

7) Tung độ giao điểm

2 2

16+ 9 = và Oy là y = ± 3

x2 y2 1 x2 16(9 y2)

16+ 9 = Û = 9

0

Þ = pò = ò - = ççè - ÷÷ø

Vậy V =64p (đvtt)

8) Hoành độ giao điểm x2 + = -2 4 x2 Û x= ±1

1

1

2

0 0

x

3

æ ö÷ ç

= pò - = p ççè - ÷÷ø

Vậy V =16p (đvtt)

9) Hoành độ giao điểm x2 = x Û x4 =x Û x= Ú =0 x 1

0

ç

Þ = pò - = p ò - = p ççè - ÷÷ø

Vậy

3

V

10

p

=

(đvtt)

10) Hoành độ giao điểm

2

2 x 2

3

2 3

x

9

0 0

2 36 3x x dx 2 36x 3x x

Vậy

28 3

V

5

p

=

(đvtt)