HDG CÁC BTVN PHẦN CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC
3
f x = x − − a x + +c a x+ đạt cực trị tại
x x thảo mãn điều kiện: 1, 2 2 2
1 2 1
x +x =
2 4(1 sin )a 4(1 cos2 ) 0a
′
⇔ ∆ = − − + >
2
1
3
a
⇔ − − >
⇔ < − Với đk (*) thì f’(x) có 2 nghiệm phân biệt x x , và hàm đạt cực trị tại 1, 2 x x Théo viet ta có: 1, 2
1 sin ;
4
x + = −x a x x = +
1 2 1 1 2 2 1 2 1
x +x = ⇔ x +x − x x =
2
2
2
sin
2
sin
2
a
a
a
+
=
⇔ − − = ⇔
=
So sánh đk (*) ta suy ra
2
π
−
a
1 Tìm a để hàm số luôn đồng biến
2 Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x x thỏa mãn điều kiện 1, 2 2 2
1 2 1 2
x + =x x +x
4
a
f x′ =x − a c a x+ +
1 Hàm số luôn đồng biến ⇔ f x′( ) 0,≥ ∀ ∈x R
Trang 2
2
1
2 5
⇔ ∆ = + − ≤
⇔ − ≤ ⇔ ≥
⇔ + ≤ ≤ +
2 Hàm số có CĐ, CT ⇔ f x′( ) 0= có 2 nghiệm phân biệt
⇔ ∆ > ⇔0 a không thỏa mãn (1)
Với đk trên thì f’(x) có 2 nghiệm phân biệt x x , và hàm đạt cực trị tại 1, 2 x x Théo viet ta có: 1, 2
3sin2
4
a
x + =x a+ a x x =
Điều kiện x1+ =x2 x12+x22 ( )2
1 2 1 2 2 1 2
⇔ + = + − ( )2 3sin2
2
a
4
t = a+ a= c π −a
÷
2 sin 2a t 1
1
t − < ⇔ ≤t
Khi đó (2) trở thành:
2 3( 2 1) 2 2 3 0 1
3 2
t
t
=
= − − ⇔ + − = ⇔ = −
So sánh đk suy ra chỉ có t = 1 thỏa mãn, nên
2 1
2
a k
π
π π
=
− = = ⇒
2
m
f x = −x x +m có các CĐ và CT nằm về hai phía của
đường thẳng y = x
Lời giải : Hàm số có CĐ và CT ⇔ f x′( ) 3= x2−3mx=0 có 2 nghiệm phân biệt⇔ ≠m 0
Khi đó f’(x) có 2 nghiệm phân biệt x1=0;x2 =m
⇒ tọa độ 2 điểm CĐ, CT là:
3
2
m
Hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng y = x hay x – y = 0 khi và chỉ khi:
Trang 3
m m m
− − + < ⇔ − < , luôn đúng với m≠0
Vậy ĐS: m≠0
Bài 4: Tìm m để hàm f x( )=x4−4x3+ +x2 mx−1 có cực đại, cực tiểu
Lời giải : Hàm f(x) có cực đại, cực tiểu ⇔ f x′( ) 4= x3−12x2+2x m+ =0 có 3 nghiệm phân biệt
3 2
6
6
x
x
−
=
′ = − + = ⇔
+
=
Từ đó ta vẽ được bbt của hàm g(x) trên R (hs tự vẽ)
Vậy g(x) = -m có 3 nghiệm phân biệt ⇔ đồ thị hàm g(x) cắt đường thẳng y = - m tại 3 điểm phân biệt
⇔ ÷÷< − < ÷÷
⇔ − ÷÷< < − ÷÷
6 10 30 6 10 30
⇔ − < < +
Bài 5: Cho hàm số f x( )=x4+2x3+mx2 Tìm m để hàm chỉ có cực tiểu mà không có
cực đại
f x′ = x + x + mx=
2
2
0
x
⇔ + + =
=
⇔ = + + =
Ta có: ∆ = −g 9 8m
8
∆ ≤ ⇔ ≥ thì ( ) 0,g x ≥ ∀x Suy ra f(x) triệt tiêu và đổi dấu từ - sang +
Trang 4TH 2: Nếu 0 9
8
∆ > ⇔ < thì g(x) có 2 nghiệm phân biệt Đk để hàm chỉ có cực tiểu
mà không có cực đại là: g 0 0 ( ) = ⇔ =m 0 (thỏa mãn)
Vậy các giá trị cần tìm của m là:
0 9 8
m m
=
≥
Bài 6: CMR hàm số f x( )=x4−6x2+4x+6 luôn có 3 cực trị đồng thời gốc tọa độ O là
trọng tâm của tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm cực trị
f x′ = x − x+ Hàm f’(x) liên tục trên R, ngoài ra ta có: ( 2)f′ − = −4; (0) 4; (1)f′ = f′ = −4; (2) 12f =
( 2) (0) 0; (0) (1) 0; (1) (2) 0
⇒ − < < <
⇒ f’(x) có 3 nghiệm phân biệt − < < <2 x1 0 x2< < <1 x3 2
Vậy f(x) có 3 cực trị, gọi 3 điểm cực trị là A x y B x y C x y( , ); ( , ); ( , )1 1 2 2 3 3
Ta thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) được:
( ) 1 ( ) (3 2 4 6)
4
f x = f x′ − x − x−
Suy ra y k = −3x k2+4x k +6;k =1, 2,3
Áp dụng viet cho f’(x ) ta có: 1 2 3
1 2 2 3 1 3
0
+ + =
+ + = −
Nên y1+ +y2 y3 = −3 ( x1+ +x2 x3)2−2( x x1 2+x x2 3+x x1 )3 +4(x1+ +x2 x3) 18+
6.( 3) 18 0= − + =
Do đó 3 đỉnh A, B, C nhận O là gốc tọa độ
Bài 7: CMR: f x( )=x4+px q+ ≥ ∀ ∈ ⇔0, x R 256q3 ≥27p4
4
p
f x′ = x + = ⇔ =p x −
, từ đó ta vẽ được bbt của hàm f(x)
Từ bbt suy ra ( ) 0,f x ≥ ∀ ∈x R
Trang 5
3
4
3 4
4
0
x R
p
∈
−
− −
⇔ ÷÷ + + ≥
f x =mx + m− x + − m có đúng 1 cực trị
2
0
x
=
′ = + − = ⇔ = + − =
- Nếu m = 0 thì g(x) vô nghiệm, khi đó f(x) có 1 cực đại
- Nếu m = 1 thì g(x) có nghiệm kép x = 0, khi đó f(x) chỉ có 1 cực tiểu
- Nếu 0 < m < 1 thì g(x) có 2 nghiệm phân biệt khác 0, khi đó f(x) có 3 cực trị
- Nếu m < 0 hoặc m > 1 thì g(x) vô nghiệm, khi đó f(x) có 1 cực trị
Vậy các giá trị cần tìm của m là: 0
1
m m
≤
≥
Bài 9: CMR hàm số f x( )=x4− −x3 5x2+1 có 3 điểm cực trị nằm trên một parabol
Lời giải : Ta có f x′( ) 4= x3−3x2 −10x=0
2
0 5 2 2
x x x
⇔ − − =
=
⇔ =
=
Suy ra f(x) luôn có 3 điểm cực trị, ta chia f(x) cho f’(x) được:
( ) 1 1 ( ) 43 2 5 1
f x = x− f x′ +− x − x+
Do hoành độ 3 điểm cực trị là nghiệm của f’(x), suy ra tọa độ 3 điểm cực trị sẽ thỏa mãn
43 2 5
1
y=− x − x+
Vậy 3 điểm cực trị nằm trên một parabol 43 2 5
1
y=− x − x+
……….Hết……….
Nguồn: hocmai.vn