Đề và cách giải về tiếp tuyến hàm đa thức

Bài 1: Tiếp tuyến hàm ña thức - Khóa LT ðảm bảo - Thầy Phan Huy Khải Vậy diện tích ∆IAB không ñổi.

Bài 1: Tiếp tuyến hàm ña thức - Khóa LT ðảm bảo - Thầy Phan Huy Khải

Bài 1 Cho ñồ thị (C m):y= x3+mx2−m− Viết phương trình tiếp tuyến của 1 (C m) tại các ñiểm cố ñịnh mà (C m) ñi qua

Lời giải: Gọi M x( 0;y0) là ñiểm cố ñịnh mà (C m) ñi qua

2

1,

1 0



− − =



Do ñó có 2 ñiểm cố ñịnh mà (C m) ñi qua là M1(1; 0) và M2(− −1; 2)

Ta có: y′ =3x2+2mx

- Phuơng trình tiếp tuyến tại M1 là: y= y′(1)(x−1)=(2m+3)x−(2m+3)

- Phuơng trình tiếp tuyến tại M2 là: y= y′( 1)(− x+1) 2− = −( 2m+3)x−(2m−1)

Bài 2 Tìm ñiểm M∈( )C :y=2x3+3x2−12x− sao cho tiếp tuyến của (C) tại ñiểm M ñi qua gốc tọa 1

ñộ

Lời giải: Gọi M x( 0;y0) là ñiểm cần tìm ⇒ y0=2x03+3x02−12x0− (1) 1

PTTT của (C) tại M là:

( ) :d y=y x′( )(x−x )+y = 6x +6x −12 x+y − 6x +6x −12 x

Vì (d) ñi qua gốc tọa ñộ nên ( 2 )

0 6 0 6 0 12 0

y = x + x − x (2)

2x 3x 12x 1 6x 6x 12 x

2

Vậy M −( 1;1; 2)

Bài 1: Tiếp tuyến hàm ña thức - Khóa LT ðảm bảo - Thầy Phan Huy Khải

Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị ( )C :y=x3−3x2+2 biết tiếp tuyến ñó vuông góc với ñường thẳng: 5y−3x+ = 4 0

Lời giải: Tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng: 5y−3x+ =4 0 có phương trình dạng:

(d):y 5 x a

3

= − +

ðiều kiện ñể (d) và (C) tiếp xúc nhau là: hệ

2

5

3 5

3









có nghiệm

3







Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán: ( 1) : 5x 29

3 27

d y = − + và ( 2) : 5x 61

3 27

Bài 4 Viết phương trình tiếp tuyến ñi qua A(0; 1− ) ñến y=2x3+3x2− 1

Lời giải: Phương trình ñường thẳng ñi qua A có dạng d: y=kx – 1

d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

2

2

0

4 0

x

x k

k







=





 = −



=





= −  + − = −



Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là: y= − và 1 y 9x-1 hay 9x+8y+8=0

8

Bài 5 Viết phương trình tiếp tuyến ñi qua A −( 1; 2) ñến y=x3−3x2+ 2

Lời giải: Phương trình ñường thẳng ñi qua A có dạng d: y=k(x+1) + 2

Bài 1: Tiếp tuyến hàm ña thức - Khóa LT ðảm bảo - Thầy Phan Huy Khải

2

0

3 2

0

x

x

y k







=









=

=

= +



Vậy có 3 tiếp tuyến cần tìm là: y= và 2 y=(1 2 3± ) (x+1)+ 2

Bài 6 Cho ( )C :y=2x3−3x2−12x− Viết phương trình tiếp tuyến biết 5

a, Tiếp tuyến ñó song song với ñường thẳng y=6x− 4

b, Tiếp tuyến ñó vuông góc với ñường thẳng 1 2

3

y= x+

c, Tiếp tuyến tạo với ñường thẳng 1 5

2

y= − x+ góc 45

Lời giải: a, Tiếp tuyến song song với ñt: y=6x− có dạng 4 ( )d :y=6x b+ với b ≠ −4

ðK ñể ( )d và ( )C tiếp xúc là hệ sau có nghiệm:

2







1 13 2

1 13 2

x

x

 − +

=





 − −

=





x

b= x − x − x− = x − x− − x − x− − x− = − x−

x=− + ⇒ = −b − + − = − + ⇒y= x− +

1 13 2

1 13 2

x

x

 − +

=





 − −

=





Bài 1: Tiếp tuyến hàm ña thức - Khóa LT ðảm bảo - Thầy Phan Huy Khải

x= − − ⇒ = −b − − − = − − ⇒y= x− −

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là: ( )1 : 6 3 13 13

2

d y= x− + và ( 2): 6 3 13 13

2

d y= x− −

b, Tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng 1 2

3

y= x+ sẽ có hệ số góc k = −3

Phương trình hoành ñộ tiếp ñiểm là:

1

2

2

2

x

x

=





=





x

b= x − x − x− = x − x− − x − x− − x− = − x−

- PTTT tại 1 1 7

2

x = + là: 3 16.1 7 5 3 (13 8 7)

2

y= − x− + − ⇒y= − x− +

- PTTT tại 1 1 7

2

x = − là: 3 16.1 7 5 3 (13 8 7)

2

y= − x− − − ⇒y= − x− −

c, Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm Theo giả thiết ta có:

2 1 2

2

k k

k

k

= −

 +



- Với k = −3 ta có pt hoành ñộ tiếp ñiểm:

1

2

2

2

x

x

=





=





- PTTT tại 1 1 7

2

x = + là: 3 16.1 7 5 3 (13 8 7)

2

y= − x− + − ⇒ y= − x− +

- PTTT tại 1 1 7

2

x = − là: 3 16.1 7 5 3 (13 8 7)

2

y= − x− − − ⇒y= − x− −

- Với k = 1/3 ta có pt hoành ñộ tiếp ñiểm:

Bài 1: Tiếp tuyến hàm ña thức - Khóa LT ðảm bảo - Thầy Phan Huy Khải

1

2

3 315

6

x

x

=





=





x

b= x − x − x− = x − x− − x − x− − x− = − x−

PTTT tại 1 3 315

6

x = + là 1 1333 402 201

PTTT tại 1 3 315

6

x = − là 1 1333 402 201

Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán

Bài 7 Tìm các ñiểm trên trục hoành mà từ ñó kẻ ñược 3 tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số ( )C :y=x3+3x2

trong ñó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau

Lời giải: Lấy M m( , 0) bất kì thuộc trục hoành Ox ðường thẳng ñi qua M với hệ số góc k có phương trình

y=k x−m =kx−km tiếp xúc với ( )C ⇔ hệ

2





Thế (2) vào (1) ta có: x3+3x2=(3x2+6x) (x−m)

2

2

0

x

=



⇔



ðể từ M kẻ ñược 3 tiếp tuyến ñến ( )C trong ñó có 2 tiếp tuyến vuông góc thì phương trình

2

g x = x + − m x− m= phải có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2 khác 0 sao cho k k = −1 2 1 (k xác ñịnh theo x trong (2))

1







Bài 1: Tiếp tuyến hàm ña thức - Khóa LT ðảm bảo - Thầy Phan Huy Khải

1

27

m

> − ∨ < − > − ∨ < −

sVậy ñiểm thỏa mãn là: 1 ; 0

27

 

Bài 8 Cho ñồ thị ( ): 3 1

3

x

x

+

=

− và ñiểm M bất kì thuộc ( )C Gọi I là giao của 2 tiệm cận Tiếp tuyến tại

M cắt 2 tiệm cận tại A, B CMR:

a, M là trung ñiểm của AB

b, Diện tích tam giác IAB không ñổi

Lời giải:

a, ðồ thị ( )C có TCN: ( )d1 : y = 3 và TCð: (d2): x = 3⇒ tọa ñộ ñiểm I(3;3)

Lấy ñiểm bất kì M 3 m;3 10 ( )C ,m 0

m

  Tiếp tuyên tại M có dạng:

( )d :y y(3 m) (x (3 m) ) 3 10 y 102 x 3 20 302

′

Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của ( )C và ( )d là:

3

x

−

Dễ thấy pt trên có 2 nghiệm phân biệt x1< x2 Gọi A x y( 1; 1) và B x( 2;y2) Ta có:

1 2 2

2

m

+

y1 y2 102(x1 x2) 2 3 20 302 6 20 2y M

Vậy m là trung ñiểm của AB (ñpcm)

b, Do tam giác IAB vuông tại I, mà có M là trung ñiểm của AB nên ta có:

Bài 1: Tiếp tuyến hàm ña thức - Khóa LT ðảm bảo - Thầy Phan Huy Khải

Vậy diện tích ∆IAB không ñổi

……….Hết………