Đề thi lớp 10 HK2

b Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.c Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.. b Viết phương trình đường tròn C ngoại tiếp tam giác ABC

1) Cho ba số dương a, b, c Chứng minh: a b c+ + ≥ ab+ bc+ ca

2) Giải các bất phương trình sau:

Câu 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(–1; 2), B(3; –5), C(–4; –9).

a) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC

b) Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 4: Cho ∆ABC có µA= 60 0, AC = 8 cm, AB = 5 cm

a) Tính cạnh BC

b) Tính diện tích ∆ABC

c) Chứng minh góc $ B nhọn

d) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC

e) Tính đường cao AH

-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD :

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

2) Giải các bất phương trình sau:

Vì tan 3 cos 0 2sin cos 2 tan 1 7

sin 2cos tan 2

Câu 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(–1; 2), B(3; –5), C(–4; –9).

a) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC

AB= (4; 7), − AC= − − ( 3; 11),BC = − − ⇒ ( 7; 4) AB2= 65, AC2= 130, BC2 = 65

AB 65,AC 130;BC 65

b) Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

• Diện tích tam giác ABC là S 1AB BC. 65.65 65

• Bán kính R = AC 130

2 = 2c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

• Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm I của AC ⇒ I 5 7;

p

10 3 310

a) Chứng minh biểu thức sau đây không phụ thuộc vào α .

A cot 22 2cos 22 sin 2 cos2

cot 2 cot 2

α α

b) Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn, biết tiếp tuyến song song vớiđường thẳng d có phương trình: 3x−4y+ =1 0

a) PT f(x) = 0 có 2 nghiệm trái dấu ⇔ ac< ⇔ 0 2m2+ 10m+ 12 0 < ⇔ ∈ − −m ( 3; 2)

α α

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1 : Cho phương trình: mx2 − 10x− = 5 0.

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt

Câu 2: Giải hệ bất phương trình: x

2

2

9 0 ( 1)(3 7 4) 0

 − <





Câu 3: Cho tam giác ABC có a = 5, b = 6, c = 7 Tính:

a) Diện tích S của tam giác

Câu 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho 3 điểm A(0; 8), B(8; 0) và C(4; 0)

a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua C và vuông góc với AB

b) Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC

c) Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đó

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1 : Cho phương trình: mx2 − 10x− = 5 0 (*)

a) (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ m m m { }

0 0 ( 5; ) \ 0' 25 5 0 5

P

m

0 5 0

10 ' 0 0 (1)0

(2) mâu thuẫn nên không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có hai

nghiệm dương phân biệt

b) Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC

• PT đường tròn (C) ngoại tiếp ∆ABC có dạng

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1: Giải các bất phương trình sau:

=

Câu 3:

= với 90 0 < <a 180 0 Tính cosa, tana.

c) Chứng minh: sin 4x− cos 4x= − 1 2 cos 2x

Câu 4: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5 Tính cosB = ?

Câu 5:

a) Viết phương trình đường tròn tâm I(1; 0) và tiếp xúc với trục tung

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x2+y2− 6x+ 4y+ = 3 0 tại điểmM(2; 1)

c) Cho tam giác ABC có M(1; 1), N(2; 3), P(4; 5) lần lượt là trung điểm của AB,

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1: Giải các bất phương trình sau:

a) • cos11π =cosπ− π = −cos π

 ÷ = −cos π π− = −cos cosπ π +sin sinπ π 

= với 90 0 < <a 180 0 Tính cosa, tana.

• Vì 900< <a 1800 nên cosa< 0 cosa 1 sin2a 1 9 7

cos 7

c) Chứng minh: sin 4x− cos 4x= − 1 2 cos 2x.

• Ta có sin4x− cos4x= (sin2x− cos )(sin2x 2x+ cos ) 1 cos2x = − 2x− cos2x= − 1 2 cos2x

Câu 4: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5 Tính cosB = ?

• Ta có BC2 =AB2 +AC2 ⇒ góc A vuông nên cosB=BC AB =35

Câu 5:

a) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(1; 0) và tiếp xúc với trục tung

• (C) có tâm I (1; 0) thuộc trục hoành và tiếp xúc với trục tung nên có bán kính R

= 1

Vậy phương trình đường tròn (C) là (x− 1)2+y2 = 1

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x2+y2− 6x+ 4y+ = 3 0 tại điểmM(2; 1)

• Tâm I(3; 2)− Tiếp tuyến tại M(2; 1) nhận IM ( 1;3) uur= − làm VTPT

⇒ phương trình tiếp tuyến là − − +(x 2) 3(y− =1) 0 ⇔ x− 3y+ = 1 0

c) Cho tam giác ABC có M(1; 1), N(2; 3), P(4; 5) lần lượt là trung điểm của AB,

AC, BC Viết phương trình đường thẳng trung trực của AB?

• Đường trung trực của AB qua M(1; 1) và vuông góc với NP nên có VTPT là

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–3; 0), C(2; 3)

a) Viết phương trình đường cao AH và trung tuyến AM

b) Viết phương trình đường tròn có tâm A và đi qua điểm B

c) Tính diện tích tam giác ABC

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f x( ) =(x+ 3 5) ( −x) với

   = −sinx+sinx+cosx+cosx=2 cosx

Câu 4: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 7, BC = 8 Tính độ dài đường trung

Câu 1: Cho f x( ) ( = m− 1)x2− 4mx+ 3m+ 10.

a) Giải bất phương trình: f(x) > 0 với m = – 2.

b) Tìm m để phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt.

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 3), B(2; 7), C(–3: 8)

a) Viết phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A

b) Viết phương trình đường tròn có tâm A và đi qua điểm B

c) Tính diện tích tam giác ABC

1 0

4 ( 1)(3 10) 0

4 01

3 10 0 1

cos tan cos sin cos sin sin 1 sin 1

1 sin 1 sin cos (1 sin ).cos (1 sin ).cos cos

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1: Định m để phương trình sau có nghiệm: (m− 1)x2+ 2mx m+ − = 2 0

Câu 2: Cho a, b, c là những số dương Chứng minh: (a b b c c a+ )( + )( + ≥) 8abc.

Câu 3 : Cho tam giác ABC biết A(1; 4); B(3; –1) và C(6; 2).

a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, CA

b) Lập phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM

Đề số 7

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1: Định m để phương trình sau có nghiệm: (m− 1)x2+ 2mx m+ − = 2 0 (*)

Kết luận: PT luôn có nghiệm với mọi m.

Câu 2: Cho a, b, c là những số dương Chứng minh: (a b b c c a+ )( + )( + ≥) 8abc

Câu 3: Cho tam giác ABC biết A(1; 4); B(3; –1) và C(6; 2).

a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, CA

• uuurAB= (2; 5) − ⇔ pt AB: 5(x− + 1) 2(y− = ⇔ 4) 0 5x+ 2y− = 13 0

•uuurAC= (5; 2) − ⇔ pt AB: 2(x− + 1) 5(y− = ⇔ 4) 0 2x+ 5y− 22 0 =

b) Lập phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM

• Trung điểm của BC là 9 1;

• a b a b a b a a b b a b

1 1 5 tan tan 2 3 6

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1: Giải các bất phương trình sau:

Câu 2: Cho phương trình: mx2− 2(m− 1)x+ 4m− = 1 0 Tìm các giá trị của m để:

a) Phương trình trên có nghiệm

b) Phương trình trên có hai nghiệm dương phân biệt

b) Biết sinα +cosα = 2, tính sin 2α =?

Câu 4: Cho ∆ABC với A(2, 2), B(–1, 6), C(–5, 3)

a) Viết phương trình các cạnh của ∆ABC

b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của ∆ABC

c) Chứng minh rằng ∆ABC là tam giác vuông cân

Câu 5: Cho đường thẳng d có phương trình 3x−4y m+ =0, và đường tròn (C) cóphương trình: (x− 1)2+ − (y 1)2 = 1 Tìm m để đường thẳng d tiếp xúc với đường

tròn (C) ?

-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD :

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1: Giải các bất phương trình sau:

m thì phương trình đã cho có nghiệm

b) (*) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔

a m

m S m m P m

2

0

3 1 0 2( 1) 0

b) Biết sinα +cosα = 2, tính sin 2α =?

• Ta có (sin α +cos ) α 2 = ⇔ + 2 1 2sin cos α α = ⇔ 2 sin 2 α = 1

Câu 4: Cho ∆ABC với A(2; 2), B(–1; 6), C(–5; 3)

a) Viết phương trình các cạnh của ∆ABC

b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của ∆ABC.

• Đường cao AH đi qua A(2; 2) và có một VTPT là BCuuur= − − ( 4; 3)

⇒ Phuơng trình đường cao AH là: −4(x− −2) 3(y− = ⇔2) 0 4x+3y−14 0=

Hoặc trình bày như sau :

( 3; 4)

0 ( 4; 3)

uuur

uuur uuur uuur ⇒ ∆ABC vuông tại B ⇒ đường cao AH cũng làcạnh AB

c) Chứng minh rằng ∆ABC là tam giác vuông cân

uuur uuur uuur

Câu 5: Cho đường thẳng d: 3x−4y m+ =0, và đường tròn (C): (x− 1) 2 + − (y 1) 2 = 1

a) sin(A B+ ) sin= C b) sin A B cosC

3) Tính giá trị biểu thức A= 8sin 452 0− 2(2 cot 300− 3) 3cos90 + 0

Câu 3: Có 100 học sinh tham dự kỳ thi học sinh giỏi môn toán, kết quả được cho

trong bảng sau: (thang điểm là 20)

Điểm9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19Tần

số

1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 N=100

a) Tính số trung bình và số trung vị

b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn

Câu 4: Cho hai đường thẳng ∆: 3x+2y− =1 0 và ∆′: − +4x 6y− =1 0

a) Chứng minh rằng ∆ vuông góc với ∆ '

b) Tính khoảng cách từ điểm M(2; –1) đến ∆ '

Câu 5:

a) Cho tam giác ABC có A(3; 1), B(–3; 4), C(2: –1) và M là trung điểm của AB

Viết phương trình tham số của trung tuyến CM

b) Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2+y2− 4x+ 6y− = 3 0 tạiM(2; 1)

-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD :

WWW.TOANCAPBA.NET ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học

1) A sin3 cos3 sin cos (sin cos )(1 sin cos ) (sin cos )

' 3.( 4) 2.6 12 12 0 '

| 4(2) 6( 1) 1| 15 ( , ')

52 ( 4) 6

Câu 5:

a) Cho tam giác ABC có A(3; 1), B(–3; 4), C(2: –1) và M là trung điểm của AB

Viết phương trình tham số của trung tuyến CM

• Đường tròn (C) có tâm I(2; –3), uuurIM = (0; 4)

⇒ Phuơng trình tiếp tuyến của (C) tại M là: y 1 0− =

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1: Giải bất phương trình:

a) Hai nghiệm phân biệt

b) Hai nghiệm dương phân biệt

c) Chứng minh biểu thức sau đây không phụ thuộc vào α ?

A=(tan α + cot α) (2− tan α − cot α)2

Câu 4 : Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ( ) :d  = − +x y 6 316 4t t (t R∈ )

 = − +



a) Tìm tọa độ các điểm M, N lần lượt là giao điểm của (d) với Ox, Oy.

b) Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác OMN.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M

d) Viết phương trình chính tắc của Elip đi qua điểm N và nhận M làm một tiêuđiểm

Câu 5: Cho tam giác ∆ABC có b =4 ,5 cm , góc µA= 30 0 , µC= 75 0

Câu 2: Cho phương trình: − +x2 (m+ 2)x− = 4 0 (*)

a) (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ (m+ 2) 2 − > ⇔ 16 0 m2 + 4m− > 12 0

c) A=(tan α + cot α) (2− tan α − cot α)2= (tan 2 α + cot 2 α + − 2) (tan 2 α + cot 2 α − = 2) 4

Câu 4 : Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ( ) :d  = − +x y 6 316 4t t (t R∈ )

b) Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác OMN

∆OMN vuông tại O nên tâm đường tròn (C) là trung điểm I của MN và bán kính

• MIuuur= (4;3), tiếp tuyến đi qua M(–8; 0) nhận MI uur làm VTPT nên có phương trìnhlà: 4(x+ +8) 3(y− = ⇔0) 0 4x+3y+32 0=

d) Viết phương trình chính tắc của Elip đi qua điểm N và nhận M làm một tiêuđiểm

• Diện tích tam giác ABC là 1 1 2 0 1 2 1

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1: Giải các bất phương trình sau :

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(1; 4), B(–7; 4), C(2; –5).

a) Chứng tỏ A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác

b) Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm A, B, C

c) Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC

Câu 5: Cho ∆ABC có a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm.

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1: Giải các bất phương trình sau :

2sin 3cos 2 tan 3 4 3 1

2 cos 5sin 2 5tan 2 10 12

b) B = 1 2sin2 2 cos2 1 cos2 sin2 cos2 sin2

cos sin cos sin cos sin cos sin

= cos α − sin α + cos α + sin α = 2 cos α

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(1; 4), B(–7; 4), C(2; –5).

a) Chứng tỏ A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác

• AB uur = − ( 8;0), AC uuur= − (1; 9) ⇒ AB AC uur uuur, không cùng phương ⇒ 3 điểm A, B, C tạothành một tam giác

b) Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm A, B, C

• Gọi I(a; b), R là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta

• R2 =AI2 = − − ( 3 1) 2 + − − ( 1 4) 2 = 41

• Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (x+ 3) 2 + + (y 1) 2 = 41

c) Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC

• Đường cáo AH đi qua A(1; 4) và nhận 1 1(9; 9) (1; 1)

9 uuurBC= 9 − = −

làm VTPT nênphương trình đường cao AH là 1(x− − 1) 1(y− = ⇔ − + = 4) 0 x y 3 0

Câu 5: Cho ∆ABC có a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm.

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1: Giải các bất phương trình sau:

Câu 2: Cho bất phương trình: (m+ 3)x2+ 2(m− 3)x m+ − > 2 0

a) Giải bất phương trình với m = –3.

c) Xác định m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của x ?

Câu 3: Chứng minh bất đẳng thức: a b c+ + ≥ ab+ bc+ ca với a, b, c ≥ 0

Câu 4: Chứng minh rằng:

a) cot 2x− cos 2x= cot cos 2x 2x

b) ( sinx a y− cos )a 2+ ( cosx a y+ sin )a 2 =x2+y2

Câu 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho 3 điểm A(–2; 1), B(1; 4), C(3; –2)

a) Chứng tỏ rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác

b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và song song với BC

c) Viết phương trình đường trung tuyến AM của ΔABC

d) Viết phương trình của đường thẳng đi qua trọng tâm G của ΔABC và vuônggóc với BC

b) Với m = –3 thì (*) có nghiệm (theo câu a).

Với m ≠ –3 thì (*) vô nghiệm ⇔ f x( ) ( = m+ 3)x2+ 2(m− 3)x m+ − ≤ ∀ ∈ 2 0, x R

b) (d) đi qua A(–2; 1) và nhận BC (2; 6) uuur= − làm VTCP.

⇒ Phương trình đường thẳng (d): x 2 y 1 3x y 5 0

2 6

−c) M là trung điểm của BC ⇒ M(2; 1) Trung tuyến AM đi qua M và nhận

AM (4;0)=

uuur

làm VTCP ⇒ Phương trình AM: 0(x+ +2) 4(y− = ⇔ − =1) 0 y 1 0d) Toạ độ trọng tâm G 2 ;1

B ÷

a) Chứng minh rằng OAB∆ vuông tại O;

b) Tính độ dài và viết phương trình đường cao OH của OAB∆ ;

c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp OAB∆

Đáp án Điểm Câu 1:

4 Vậy m = 0 không thoả mãn bài toán

+ Nếu m ≠ 0, bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ⇔

2

4 ( 2) ( 3) 0 4 0 4

112 113 114 115 116 117

1 3 4 5 4 2 1

5 15 20 25 20 10 5 n=20 100 b) Số trung bình:

*Số trung vị: Do kích thước mẫu n = 20 là một số chẵn nên số trung vị là trung

bình cộng của hai giá trị đứng thứ vµ 1

0,75

0,25 0,5đ

1,0

0,75

0,5đ 0,5đ

0,25đ

Vậy tam giác OAB vuông tại O.

b) Tính độ dài và viết phương trình đường cao OH:

OA.OB 2 17 85 OH

Do tam giác OAB vuông tại O, nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là

trung điểm I của cạnh AB, ta có:

y y 7 y

0,25 0,25

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: R AB 85

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1: Giải các bất phương trình và hệ bất phương trình sau:

8 3 2 5 2

Câu 2: Cho bất phương trình sau: mx2− 2(m− 2)x m+ − > 3 0

a) Giải bất phương trình với m = 1.

b) Tìm điều kiện của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc R.

Câu 3: Tìm các giá trị lượng giác của cung α biết: sin 1

5

2

π α π < <

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(–1; 0), B(1; 6), C(3; 2).

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB

b) Viết phương trình tổng quát của đường cao CH của tam giác ABC (H thuộcđường thẳng AB) Xác định tọa độ điểm H

c) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm là điểm C và tiếp xúc với đườngthẳng AB

Câu 5 : Chiều cao của 45 học sinh lớp 5 (tính bằng cm) được ghi lại như sau :

102 102 113 138 111 109 98 114 101

103 127 118 111 130 124 115 122 126

107 134 108 118 122 99 109 106 109

147 104 141 103 108 118 113 138 112

a) Lập bảng phân bố ghép lớp [98; 103); [103; 108); [108; 113); [113; 118);[118; 123); [123; 128); [128; 133); [133; 138); [138; 143); [143; 148]

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1: Giải các bất phương trình và hệ bất phương trình sau:

Câu 2: Cho bất phương trình sau: mx2− 2(m− 2)x m+ − > 3 0

a) Giải bất phương trình với m = 1.

• Với m = 1 ta có BPT: 2

2 2 0 ( ; 1 3) ( 1 3; )

b) Tìm điều kiện của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc R.

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(–1; 0), B(1; 6), C(3; 2).

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB

• 1 (1;3) : 1 ,

3 2

b) Viết PTTQ của đường cao CH của ∆ABC (H thuộc đường thẳng AB)

• Đường cao CH đi qua C(3; 2) và nhận uur AB (2;6)= làm VTPT

b) Tính số trung bình cộng c) Tính phương sai và độ lệch chuẩn