Đề thi học sinh giỏi

2 Cho hình chóp .S ABCD , đáy là hình chữ nhật có AB a= và BC=2a, mặt phẳng SAB vuông góc với đáy, các mặt phẳng SBC và SCD cùng tạo với đáy một góc bằng nhau.. Gọi P là điểm sao cho tru

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Năm học: 2011-2012

Môn thi: TOÁN Lớp 12 THPT

Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012

Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề này có 01 trang, gồm 05 câu

Câu I (4,0 điểm)

Cho hàm số 1 3 2

2 3 13

y= − x + x − x+ 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Gọi f x( )=x3−6x2+9x− , tìm số nghiệm của phương trình: 3

[ ]3 [ ]2( ) 6 ( ) 9 ( ) 3 0

Câu III (4,0 điểm)

1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập các số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập Tính xác suất để lấy được số lớn hơn 2012

2) Cho hình chóp S ABCD , đáy là hình chữ nhật có AB a= và BC=2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với đáy một góc

bằng nhau Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng 2

6

a

a) Tính thể tích khối chóp S ABCD

b) Tính côsin góc giữa hai đường thẳng SA và BD

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

(Đề chính thức) Lớp 12 THPT

Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012 (Hướng dẫn gồm 04 trang)

1 3

−

Số nghiệm của (1) là số nghiệm của (3), với m nhận tất cả các giá trị thoả mãn (2)

Từ đồ thị (C), suy ra (2) có 3 nghiệm m, thoả mãn: 0< m < , 11 < m < và 33 < m< 4

(sin cos )d (sin cos )d3sin 4cos 3sin 4cos

(sin cos )d ( sin cos )d ( sin cos )d ( sin cos )d

ln

x x

16 8 2 16 4

2) 3,0 điểm

a) Gọi H là hình chiếu của S trên (ABCD , )

suy ra H∈AB (do (SAB) (⊥ ABCD))

CB⊥HB, suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBC và () ABCD là SBH )

Hạ HE⊥CD E( ∈CD), suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SCD và () ABCD là SEH )

Do đó SBH =SEH ⇒HB=HE=2a

Ta được BD//AE //(⇒BD SAE)d(SA BD, ) d( ,(B SAE)) d( ,(H SAE))

(do A là trung điểm HB )

2d( ,( ))

b)BD//AE, suy ra góc giữa hai đường thẳng SA và BD là SAE

Áp dụng định lý hàm số côsin cho tam giác SAE, với AE=SA= SH2+HA2 =a 5 và

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN – THPT chuyên

Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 3 (2,0 điểm) Giả sử n là một số nguyên dương sao cho 3 n+2n chia hết cho 7 Tìm số

dư của 2n+11n+2012n2 khi chia cho 7

Câu 4 (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD Gọi P là điểm sao cho trung trực của đoạn

thẳng CP chia đôi đoạn AD và trung trực của đoạn AP chia đôi đoạn CD Gọi Q là trung

điểm của đoạn thẳng BP

a) Chứng minh rằng đường thẳng BP vuông góc với đường thẳng AC

b) Chứng minh rằng BP=4.OE , trong đó E là trung điểm của AC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AQC

Câu 5 (1,0 điểm) Cho m, n (m> >n 4)là các số nguyên dương và A là một tập hợp con có đúng n phần tử của tập hợp S={1, 2,3, ,m} Chứng minh rằng nếu

- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay

- Giám thị không giải thích gì thêm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Lưu ý khi chấm bài:

-Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó -Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm -Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai

đó không được điểm

-Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau

-Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình không cho điểm -Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

23

Nội dung Điểm

2n+11n+2012n ≡ + + ≡1 1 6 1 mod 7 Vậy số dư cần tìm là 1

Câu 4 (3,0 điểm)

E O

Chứng minh tương tự, cũng được AQ⊥CP (2)

Từ (1) và (2) suy ra P là trực tâm của tam giác ACQ suy ra PQ⊥ AC hay BP⊥AC

Do P là trực tâm của tam giác AQC nên OA OC+ +OQ=OP

1

22

Nội dung Điểm

Thật vậy, ta xét các trường hợp sau:

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

AN GIANG Năm học 2012 – 2013

Môn : TOÁN (vòng 1) Lớp : 12 Thời gian làm bài : 180 phút

(Không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (3,0điểm)

Cho hàm số ( m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu lần lượt là và đồng thời tam giác cân tại với

Bài 2: (3,0 điểm)

Giải phương trình :

Bài 5 : (3,0 điểm)

Tìm tọa độ các đỉnh của một hình thang cân ABCD biết rằng CD=2AB, phương trình hai đường chéo , các tọa độ hai điểm A, B đều dương và hình thang có diện tích bằng 36

Bài 6: (4,0 điểm)

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc hợp bởi đường cao SH của hình chóp và mặt bên bằng , cho a cố định, thay đổi Tìm để thể tích khối chóp S.ABCD là lớn nhất

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12

Bài 2

Giải phương trình

 Nhận xét: Nếu viết phương trình trên lại là

thì phương trình có nghiệm khi do vế phải dương

 Đặt phương trình trở thành

3,0 điểm

 Lại đặt phương trình trở thành

ạ

 Với

vậy là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có hai nghiệm

Cách khác: + Nhận xét không là nghiệm của phương trình + Nếu phương trình trên viết lại là :

So với điều kiện phương trình có hai nghiệm

Bài 3

 TXĐ:

 Đặt

Vậy

 Xét hàm số

3,0 điểm

Như vậy số bộ ba số cần tìm chính là số các cách sắp xếp hai chữ số 0 và

2012 chữ số 1 vào 2013 vị trí sao cho hai số 0 không đứng cạnh nhau và

không được đứng đầu và đứng cuối

 Để sắp xếp các số như trên ta thực hiện

* Sắp xếp 2012 chữ số 1 có 1 cách sắp xếp

* Sắp xếp số 0 đầu tiên vào giữa 2012 số1 có 2011 cách sắp xếp (trừ đi vị trí

đầu và cuối)

* Sắp xếp số 0 thứ hai vào giữa 2013 số trên có 2010 cách sắp xếp ( không

sắp đầu và cuối và không sắp bên trái, bên phải số 0 vừa sắp)

* Vì hai số 0 có thể đổi chổ cho nhau nên có các bộ số cần tìm

Ta có nhận xét 2012 không chia hết cho 3 nên phương trình không có ba

nghiệm bằng nhau

 Ta đếm các nghiệm trong đó

Để có nghiệm loại này ta thấy mỗi cặp có duy nhất một số nguyên

với để chọn nghiệm loại này ta thực hiện

* Chọn một số nguyên thuộc vào hai vị trí có 1005 cách

Bài 5

* Gọi M là giao điểm hai đường chéo hình thang, tọa độ M là nghiệm của hệ

* Ta có nhận xét hai đường thẳng vuông góc nhau CD=2AB suy ra hình thang cân có hai đáy là AB; CD * Vậy diện tích hình thang cân ABCD là:

* Ta lại có Vậy

Vậy tọa độ điểm A là (loại) Với do

*

Ta lại có

Vậy tọa độ B là (loại)

Với do

Vậy tọa độ các đỉnh của hình thang là

3,0 điểm Bài 6 * Do hình chóp đều nên H là giao điểm của AC và BD Gọi M là trung điểm của CD dể thấy CD (SHM) nên (SHM) (SCD) hay SM là hình chiếu của SH lên mặt phẳng (SCD) vậy ớ

* Đặt

* Tam giác SHM vuông tại H ta được

* Đặt ớ

4,0 điểm

M H

A

D S

Xét hàm số :

Bảng biến thiên

+ -

+ Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

+ Điểm từng câu có thể chia nhỏ đến 0,25 và không làm tròn

Môn thi: TOÁN - Cấp THPT

Thời gian làm bài: 180 phút

(Không kể thời gian phát đề)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

f(x) = 3sinxcosx - sin3x - cos3x

Bài 3 (3,0 điểm).

Tìm tất cả các số tự nhiên A có 3 chữ số sao cho A

2 là một số chính phương và A

3 là lập phương của một số tự nhiên.

Bài 4 (5,0 điểm).

Trên đường tròn tâm O, bán kính R cho hai điểm B, C cố định (BC không

phải là đường kính) và điểm A di động Gọi H là trực tâm của tam giác ABC,

trên cung không chứa điểm A lấy điểm M bất kỳ Gọi D và E lần lượt là

các điểm đối xứng của M qua AB và AC.

a) Chứng minh ba điểm D, H, E thẳng hàng.

b) Khi M đối xứng với A qua O, hãy xác định vị trí của điểm A sao cho tam giác MDE có diện tích lớn nhất.

Bài 5 (3,0 điểm).

Cho a1, a2,…, an là n số thực thoả mãn điều kiện a12a22  a2n1 Hãy

tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a1a2 + a2a3 + … + an-1an

Bài 6 (2,0 điểm).

Cho 4 xã có trung tâm của mỗi xã nằm ở vị trí là đỉnh của một hình vuông

có cạnh bằng a Hãy xây dựng một mạng lưới giao thông có độ dài ngắn nhất

nối 4 trung tâm của các xã đó.

HẾT BC

-Câu 1 (5,0 điểm) Cho hàm số 3 2  

MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013

================

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2012 - 2013

MÔN THI : TOÁN – LỚP 12 – THPT

Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013

với đường thẳng d có phương trình x5y  1 0

3.0

TXĐ: , y'3x22x

Hệ số góc của d là 1

5

  Hệ số góc của tiếp tuyến là k  5 1.0

Gọi M x y là tiếp điểm  0; 0

 cắt đồ thị hàm số  1 tại ba điểm phân biệt A B C , ,  phương trình (*) có

hai nghiệm phân biệt khác 0

5

4 5 0

(**)4

m m





  

Kết hợp điều kiện (**) ta có m thỏa mãn yêu cầu bài toán 0

Biến đổi được     2   

1  sinxcosx 1 2sin 2 x  2 sin 4x cosxsinx

2 sin 3 2 sin 4

3 24

28 7

k x

f x   x Lập BBT, từ đó suy ra phương trình (4) có nhiều nhất hai

nghiệm Mà f  2  f  4  0  4 có hai nghiệm x2; x 4

Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm        x y; : 8;7 ; 2;1 ; 4;3





0.5

  đi qua A 1;1 và nhận AI  4;5 là véc tơ pháp tuyến

Vậy phương trình đường thẳng : 4x 1 5 y   1 0 : 4x5y  9 0 0.5

S x  y  z  Chứng minh rằng hai mặt cầu trên cắt

nhau theo giao tuyến là một đường tròn Tính bán kính đường tròn đó

Do đó hai mặt cầu trên cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn Đường tròn

đó là giao tuyến của măt cầu  S và mặt phẳng 1 ( )P : 6 x2y4z  11 0

Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng 1 Gọi M N là hai điểm ,

thay đổi lần lượt thuộc cạnh AB CD sao cho mặt phẳng , SMN luôn vuông góc 

với mặt phẳng ( ABC ) Đặt AM x AN,  Chứng minh rằng y x y 3xy, từ

đó tìm ,x y để tam giác SMN có diện tích bé nhất, lớn nhất

9 2

  Lập bảng biến thiên hàm số   2

x y

x y

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LÀO CAI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

2 Cho hình chóp tam giác đều S ABC , có cạnh đáy bằng a Gọi  là góc giữa mặt bên và

mặt đáy,  là góc giữa hai mặt bên kề nhau Tính thể tích của hình chóp S ABC và chứng minhrằng: 2

2

4tan

 Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Môn thi: Toán Lớp: 12 THPT

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)

Câu I (4,0 điểm)

Cho hàm số y x= −3 (m+1)x2− −(4 m x2) − −1 2m ( m là tham số thực), có đồ thị là ( C m).1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m= − 1

2) Tìm các giá trị của m để đồ thị ( C m) có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Câu II (6,0 điểm)

1) Giải phương trình: cos 2x+cos3x−sinx−cos 4x=sin 6 x

2) Giải bất phương trình: 6(x2−3x+ +1) x4 +x2 + ≤1 0 (x∈ )

3) Tìm số thực a để phương trình:9 x + =9 a3 cos(x πx), chỉ có duy nhất một nghiệm thực

.Câu III (2,0 điểm) Tính tích phân:

2

3 0

sin

.sin 3 cos

Câu IV (6,0 điểm)

1) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1 Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đặt

AM = x, AN = Tìm ,y x y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất 2) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng Δ:x y− + = và hai elíp 5 0

2 2 1

25 16

E + = , ( ) :E2 x22 y22 1 (a b 0)

a +b = > > có cùng tiêu điểm Biết rằng ( )E2

đi qua điểm M thuộc đường thẳng Δ Tìm toạ độ điểm M sao cho elíp ( )E có độ dài 2

⎩

SỞ GD & ĐT THANH HOÁ

Ngày thi: 24 - 3 - 2011

Với 1,m= − ta được hàm số y x= 3−3x+ 1

Tập xác định: Giới hạn tại vô cực: lim , lim

y < ⇔ ∈ −x Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;1).−Điểm cực đại của đồ thị ( 1;3),− điểm cực tiểu của đồ thị (1; 1).−

0,5 0

) 3 cos )(sin

1 3 sin 2

ππ

ππ

ππ

π

k x

k x

k x

k x

x x

x

4

2 8

3

2 18 5

3

2 18

2 cos 3 cos

2

1 3 sin

(k∈ )

0,5

0,5

Tập xác định: . BPT⇔6 2(( x2− + −x 1) (x2+ +x 1))+ 6(x2− +x 1)(x2+ + ≤ x 1) 0

1

x x t

Kẻ DH ⊥MN , do (DMN) ⊥ (ABC) suy ra DH ⊥ (ABC)

Mà ABCD là tứ diện đều, nên suy ra H là tâm của tam giác đều ABC 0,5

Ta có: SAMN =

2

1.AM.AN.sin600 = xy

4

3

; SAMN = SAMH + SANH

= 2

1.AM.AH.sin300+

2

1.AN.AH.sin300 =

3

3.4

1(x+y)

Suy ra xy

4

3

=3

3.4

1(x+y)⇒ x+y= 3xy (0 ≤ x,y≤ 1 )

0,5

1)

2,0đ

Diện tích toàn phần của tứ diện DAMN:

S = SAMD + SAND + SDMN + SAMN

= 2

1AD.AM.sin600+

2

1AD.AN.sin600

+ 2

1 DH.MN +

2

1AM.AN.sin600

GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa

1

.9

0,5

Ta có: , ,a b c là ba nghiệm thực của phương trình (x a x b x c− )( − )( − = ) 0

Từ đồ thị hàm số y x= 3−3x+ suy ra pt (3) có ba nghiệm thực , ,1, a b c

khi và chỉ khi 1− ≤abc+ ≤ ⇔ − ≤1 3 2 abc≤ 2

abc = − , khi trong ba số a, b, c có hai số bằng 1 và một số bằng -2 2 abc = , khi trong ba số a, b, c có hai số bằng -1 và một số bằng 2 2

0,5

6 6 6 3( )2

P a= +b +c ⇒ −P abc

=(a2+b2+c a2)( 4+b4+ −c4 a b2 2−b c2 2 −c a2 2).=(a2+b2+c2 3) −3(a2+b2+c2)(a b2 2+b c2 2+c a2 2) 216 18.9 54= − =

Họ và tên thí sinh:……… ………… Chữ ký giám thị 1:

CHÍNH THỨC

y y

−

⇒cot (x + y ) [tan x tan y+ ]= 1- tanx.tany (0,25đ)

⇒tanx.tany + tany cot ( x + y ) + tanx cot ( x + y ) = 1 ( 2 )

t anx tan cot( )

tan tan cot ( ) 1.

t anx tan cot( )

3 1 cot( )

3 1 cot( )

= uuur uuur+ + uuur uuur+

= AB2 +BC2 +CD2 +DE2 + 2AB.BC+ 2CD.DE (1,0đ)

Vì 2AB.BC= − 2BA.BC= − 2ab cos ABC

= 2abcos AEC (vì ABC AEC+ = 1800)

=abCE (vì CE = AE.cos AEC = 2 cos AEC) (1,0đ)

mà CE > CD = c nên 2AB BC> abc

Họ và tên thí sinh:……… ………… Chữ ký giám thị 1:

Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn a2 +b2+c2 = Chứng minh rằng: 3

Cho tập hợp M ={1;2;3; ;2011} Hỏi trong tập hợp M có bao nhiêu phần tử

chia hết cho ít nhất một trong ba số 2, 5 và 11?

SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012

* Môn thi: TOÁN (BẢNG A)

* Ngày thi: 05/11/2011

* Thời gian: 180 phút HƯỚNG DẪN CHẤM

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1 (1,0đ)

CHÍNH THỨC

Gọi A là tập hợp các phần tử trong M chia hết cho 2

Gọi B là tập hợp các phần tử trong M chia hết cho 5 (1,0đ)

Gọi C là tập hợp các phần tử trong M chia hết cho 11

Ta cần tính A∪B∪C

Áp dụng công thức:

C B A C A C B B A C B A C

B

Theo giả thiết ta có:

1005 2

JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG

(1,0đ)

(0,5đ)