THPT Ernst Thalmann Gv... THPT Ernst Thalmann Gv.. TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG THỨC.. Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng công thức: Bài 6... Tính đạo hàm của các hàm số sau: a.. Tính đạo hà
Trang 1THPT Ernst Thalmann Gv Lê Quốc Huy ☺
BÀI TẬP ĐẠO HÀM
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
( ) 'C =0 (C là hằng số) (U V+ −W ') = + −U V' ' W' Với U U= ( )x , V V= ( )x , ta có: ( )' 1x =
1 ( ) 'xα =n x α − (U V )'=U V U V' + ' (Uα) '=α.U Uα− 1 /
'=
x
2 x
/ ' − '
⎛ ⎞ =
2 U
/
2
⎛ ⎞ = −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )kU '=kU', (k hằng số) / /
2 1
⎛ ⎞ = −
⎝ ⎠V V
ĐẠO HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
(sinx)' cos= x (sinU) ('= cosU).U / (cosx)'= −sinx (cosU) (/ = −sinU).U/ (tanx)'= 12
tanU = U2
cos U
cos (cot )' 12
sin
= −
sin
== −
U
CÔNG THỨC TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG (C): y f x= ( ) tại điểm M0( , ) ( )x y0 0 ∈ C
II BÀI TẬP:
DẠNG 1 TÍNH ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM BẰNG ĐỊNH NGHĨA:
0
0
x x
0 0
( ) ( ) '( ) lim f x f x
=
x x
0 cho trước
x
Hãy dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại
Bài 1: a.y= −3x+10 tại x0 =1; b y= +7 4x tại x0 =2 ; c y=15x−8 0 =
11
tại x 3;
d y= − x+38 tại x0 =4; e.y= − −5x 2 tại x0 = −7; f y= −6 8x tại x0 = −2; g y=9x−3 tại
0 = −5
x y= − +3x 12 x0 = −6
Bài 2: a.y=2x2+3x+1 tại x0 = −3; b.y= −3x2−x tại x0 =2; c.y=4x2+2x−3 tại x0 = −5;
d.y= −2x2+1 tại x0 =5; e y= − + 4x2 x tại x0 =6; f y= −5x2+3x tại x0 = −2; g y= −10x2+3 tại
0 = −4
x
Bài 3 : a 1
2x+5
+
= x
y tại x0 = −5; b 3 2
4
− +
+
x
y tại x = −7; c 2 2
+
=
− +x
x
y tại x0 =3;
d y= 7
6 2− x tại x0 =4; e 3 5
7 +
−
y
x tại x0 = −4; f 2 3
10
−
= +
x y
x tại x0 = −8; g 1
7
y= tại x =5
x
Bài 4: a
2
5
x y x
+
= + tại x0 =4; b 23
5
y x
= + tại x0 = ; c.1 2 22 3 1
1 tại x0 = −2; d 22 5 4
y
y
+ +
=
− + +
= + + tại x0 = 0
Bài 5: a.y= x+ tại 1 x0 = ; b 8 y= 3x+1 tại x0 =5; c y= 30−x tại x0 = −6; d y= 14 5− x
tại x0 = −7; e.y= 14− x tại x0 = −2; f y= 10 5+ x tại x0 =3; g y= 29 2− x tại x0 =2
Trang 2THPT Ernst Thalmann Gv Lê Quốc Huy ☺
DẠNG 2 TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG THỨC
Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng công thức:
Bài 6 ( ) ' 0C = ,( )x = , ' 1 ( ) 'xα =n x α −1, ( ) 1
' 2
=
x
x ,
/ 2
⎛ ⎞ = −
⎜ ⎟
⎝ ⎠ , (sinx)' cos= x, (cosx)'= −sinx, (tanx)'= 12
sin
1 '= −
cot x
x a
5 3
2
−
5
c y=2x− 7+8 x+ −2 13
x ; d
2
−
x
7
6 12
x ; f y=3sinx ; g
y= −5cosx ; h y= −6sinx+7 cosx ; i y=11tanx ; j y=30cotx ; k y=5 tanx−9cotx
(U V )' U V' U V ',( )kU =kU
Bài 7 / /; a y x x= ; b y x= 5 x; c y=(3x−10) x ;
d ; e ; f y= +(1 3 )x x+1000; g y=(3sinx+2)(4 cos )− x
(5 tan 1)(cot 2)
;
Bài 8
2
/
⎟
⎠
, ⎜⎝
⎜ ⎟
1
+
= +
x y
11 2
=
y
x ; c
+
=
− +
x y
x ; d 5
5
=
y
x ; e 9
5 2
−
=
y
x ;
=
+
y
3 5x
y
−
=
−
x
6
4 −1
y
x ; j 2
2
y=
1
x − ; k
3sin 1 cos +2
+
y
l =sinx+cos
cos +1
x y
x ; m
3 ta
=
y
n x; n
4
−
=
y
cot x; o
tan 1 cot 1
+
=
−
x y
x ; p
cot 1 tan 2
+
=
+
x
; q 3sin 2
y
+
=
−
x y
/
Bài 9 (Uα) '=α.U U ; a α− 1 ( 2)5
5 3
= −
y x x c
4 2
3 3
= −⎜ + ⎟
x ; d
3 2 3
=⎜ + ⎟
⎝ x ⎠ ;
e
2 4 3
2
2
7 6
5 2
5 12
7 10
6
x
x
5
cos
= x; k =tan7 x; l =cot9 x; m =sin12x; n =cos−6 x; o =tan−3x; p =cot−2
j
Bài 10 ( ) 1 /
2
=
U ; a y= 9 8− x ; b y=15 3x5+7x; c y= −6 2x3−11x ; d = 2 5−
3 +1
x y
x ;
e y= 2−6x−3 2
x x ; f
2 5− +
3 1
−
= +
x
; i y=7 2 5− x x ; j.− 2 y= sinx ;
y
x
y
k = cosx ; l y= tanx ; m y= cotx ; n y= 3sinx−2cosx ; o y= 3tanx+2cotx
=
U
Bài 11 (sin ) (cosU U ; a ) y=sin( )−x ; b sin 5
5
π
d
sin 6 11
sin 2 1
y x ; e y sin 2= x2+5; f y=sin (2⎡⎣ x+1) 1 3− x ; g ⎤⎦ =sin2x+10
3x−1 ( )5
sin 1 2
sin 5 3
sin 7 2
sin 7 5
x ; j =sin3x; k =sin 34
i
Bài 12 ( ) (/ ) /
cosU = −sinU U ; a y=cos 3(− x); b y=cos 8 4( − x); c y=cos 5( x7+113);
Trang 3THPT Ernst Thalmann Gv Lê Quốc Huy ☺
cos 3π 7
= − y=cos 7 22( − x); m =cos 5 24( − )2
i y x 2; j y=cos2x; k y=cos 23 x ; l y x
Bài 13 ( )/ /
tanU = U2
cos U ; a y=tanx ; b y=tan 6x ; c tant( 3 )
4
π
y x ; d y=tan( 7− x4+8);
e tan(siny= x); f y=tan(sin 5 )x ; g y=tan(cos )x ; h y=tan(cos4 )x ; i y=tan 1 3+ x ; j.2 ;
k
7 tan(3 5)
4
tan
= x; l y=tan (25 x+1); m y=tan( 2− +x 1)6; n tan(cot )
Bài 14 ( )/ /
cotU == − U2
sin U ; a y=cotx ; b y=cot 3x ; c y=cot(2x+1); d y=cot( 2− x5+π);
e y=cot(sin )x ; f y=cot(sin 3 )x ; g y=cot(cos )x ; h y=cot(cos3 )x ; i.y=cot π+2x2 ;
j y=cot(2x−3)4; k y=cot3x; l y=cot (34 x+1); m y=cot(tan )x ; n y=cot(3 2 tan )− x
BÀI TẬP TỔNG HỢP:
Bài 15 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
5
4
y= x − x + x x ; b y 35 2x3 1 1
3
= − + − ; c.y=3x5(8 3− x ; d.2) ( 7 2)5 3
e
2
2
y
x
=
2 ( 1)
=
−
x y
x ; g.
3
4 (1 )
1+
=
−
x y
x ; i
5
x y
= + ; k.y x3
2
7 x
= +
Bài 16 Tính đạo hàm của các hàm số:
a.y sin 3
5
= ; b.y=sin x2+ ; c.1 sin
2
⎝ ⎠; d.y= 5 cos(x3− ; e.1) cos( 7 2 3 2)
7
3 cos x
y
x
=
+
−
; g sin 3
cos 2
x y
x
= ; h.y=tan 3( x2+5)7; i tan
2
⎜
⎝ ⎠⎟ ; j.y=tan cos3( x);
k cos5x
sin 3
y
x
= ; l.y=cot 3( x2+5); m.y=cot 33( x−1); n y=cot sin2( x); p y= cos(2x− 1)
Bài 17 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a 5siny= x−3cosx ; b sinx cos
sin cos
x y
+
− y x= cotx; d
3
y ; e
sin x
sin 3
y
f y= 1 2 tan+ x; g y=sin 1+x2 ; h cos x
x
+ ; i.
2 tan
y= x; j y= −cotx2; k y=cos3x2 1
Bài 18 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a y=sin 2x; b sin 3 3cosx tan
5
y= x− + x ;c y=sin(x2−5x+ ; d 1) y sin 12
x
= ; e y= xcot 2x ;
f.y=3sin cos2x x+cos2x ; g y= tan3x; h
( );i
2
sin x
y
2
; j y= 1 2 tan+ x ; cos
π
=
k y=cot 1+x2 ; l y= 1 tan+ 2x ; m y=sin 1+x2 ; n cos
1
x
; o.y=tan2x−cotx2;
x
+
p y=(2−x2)cosx+2 sinx x ;q y=sin cos( 2x)+cos s( in2x);r tan x cot
x
y= − ; s y= 1
sin(3x+5);
sin
y
tan x
= ; w.y=tan(cot )x
Trang 4THPT Ernst Thalmann Gv Lê Quốc Huy ☺
DẠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG CONG ( ) :C y f x= ( ) TẠI ĐIỂM M0( , )x y0 0
'( )( )
:
y f x x x = − + y
0, , '( )0 0
x
còn gọi là hệ số góc k)
1 Tiếp tuyến tại điểm M x y 0( , )0 0
Ví dụ: Viết pt tiếp tuyến với ( ) :C y f x= ( )=x3+x2 +1 tại M0( 2; 3)− − .(Nhận xét: thiếu f x'( )0 )
'( ) 3x = x2+2x⇒ f x'( )0 = f'(− =2) 8
f
Giải: y
y PTTT là : y f x x x= '( )(0 − 0)+y0⇔ =y 8(x+ −2) 3⇔ =y 8x+13
Bài 19 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm tương ứng:
a ( ) :C y x= 3+x2+1, (1;3)A ; b ( )C y ); c
3
C y= − x + x+ D C y: = −2x3−4x2+3, (0;3)E C y: =4x3−2x2 +5x−3, F(1;4)
3 2 : =2x +x +7x−2, ( 2; 30B − − ( ) :C y=3x3+x2−7, C(2;21)
2 Tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ 0 x 0
Ví dụ: Viết pt tiếp tuyến với
2 4 5 ( ) :C y= x + x+
2
x+ tại điểm M có hoành độ 0 x =0 0 (Thiếu y f x0, '( )0 )
Giải: y
/
'( )
f x
3
3 '( ) '(0)
4
f x f
y
0
0
4 5 0 4.0 5= =
x x y
x
=
+ + 5 ⇒M0(0; )5
2
y PTTT là: y f x x x= '( )(0 − 0)+y0 3( 0) 5
y x
0
M
Bài 20.Viết phương trình tiếp tuyến vói đồ thị (C) và điểm có hoành độ tương ứng:
a ( ) :C y x= 3+x2+1, 1x0 = ; b ( ) ; c
3
3 2
0
C y= x +x + x− x
3
2
3 2
0 ( ) :C y=3x +x −7,
d ( ) :C y= −2x +5x+15, x0 = ; e ( ) :C y= −2x −3, 3x0 = ; f ( ) :C y=4x3+5x−3, 2x0 =
3 2
;
0
C y x= − x+ x = − ( ) :C y=3x3−x2−3, 5x0 = C y: =4x −2x +5x−3, 0x0 = ;
3 Tiếp tuyến tại điểm có tung độ y 0
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến với (C):y x= 3+ tại điểm 1 M có tung độ bằng 0 y =0 28
Giải: y y =0 28⇒x03+ =1 28⇒x03 =27⇒x0 =3⇒M0(3;28)
0
= x + = x ⇒ f x = f '(3) 3.3= 2 =27 '( ) (
f x
y PTTT là : y f x x x= '( )(0 − 0)+y0⇔ =y 27(x−3)+28 ⇔ =y 27x−53
0
M
Bài 21.Viết phương trình tiếp tuyến vói đồ thị (C) và điểm có tung độ tương ứng: y0
0 ( ):C y x= −6x +11 3, yx− =3 3 2
0 ( ) :C y x= −2x −x, y = −2; c 3 2
0 ( ) :C y= − −x x +4x+2, y = −2 0
d ( )C y x: = 3−x2+ +x 3, =4; e ( )C y x: 3 3x
0
y 0
= − + = ; f ( )C y x: = 3−3x−2, y0 =0;
g ( ) :C y 6x+18, y0 0
2 10 ( ) :C y= − x+ , y = 2
2x 1
49 ( ) :C y 1 , y 8
3x 1
j
2
3x + +x 14
0
3 2
C y
x
2
6x 7x 14
0
3 2
C y
x
3 7
C y x
x
4
+
Trang 5THPT Ernst Thalmann Gv Lê Quốc Huy ☺
4 Tiếp tuyến có hệ số góc:
Ví dụ: Lập pttt của (C)
2 2
tt
biết hệ số góc của tiếp tuyến là k =3
2x 1
− +
Giải:
2 ( )
( 2 1)
x
x
− +
( 2x x 10) ( 2x 1) ( 2x 1) ( 2x x 10
y f − − + − + − − + − − + ) 4x2 − 4x 19
2
( 2x 1)
+
=
− +
0
tt
1
2
x
x
=
*
2 2( 1) ( 1) 10
x = − ⇒ y = f x = − − − − +
3 f x/( ) 3 2( 1) 1
Phương trình tiếp tuyến: y= f x x x− +y0 ⇔ =y 3(x−( 1)) 3− + ⇔ =y 3(x+ + ⇔ =1) 3 y 3x + 6
*
2 2(2) (2) 10
x = ⇒ y = f x = − − +
0 f x/( ) 3 2(2) 1
y
Phương trình tiếp tuyến: = f x x x− )+y0 ⇔ y= x− + ⇔ =y x− ⇔ y= x−
Bài 22.: Lập phương trình tiếp tuyến với (C): y= f x( )biết hệ số góc của tiếp tuyến là k tt
a x2+3x+20
x
2 2 5
2
3x 11 tt
− + 85
d y= f x( )= −3x3−4x−1,k tt e y= f x( )= −2x3+5x+1,k tt f y= f x( )= − +x3 2x+5,k tt
g y= f x( )=3x+11,k = 3
3x 7 tt −
4 11
2x 1 tt
− +
3x 10 tt
−
− +
5 Tiếp tuyến song song với đường thẳng cho trước
Ví dụ: Lập pttt của (C)
2 2
biết tiếp tuyến song song với đthẳng d: 6− +x 2y+ =1 0
2x 1
− +
Giải:
2
( )
( 2 1)
x
2 ( 4 − − − + − − −x 1)( 2x 1) ( 2)( 2x − +x 10)
( 2 − +x 1)
2
2
)
x
=
− +
−
0
1
2
tt
x
x x
0
=
* 0 1 0 ( 0 2( 1)2 ( 1) 10
2( 1) 1
x = − ⇒ y = f x = f − = − − − − + =
Phương trình tiếp tuyến: y= f x x x− +y0 ⇔ =y 3(x−( 1)) 3− + ⇔ =y 3(x+ + ⇔ =1) 3 y 3x + 6
* x0 = ⇒2 y0 = f x( )0 = (2) −2(2)2−(2) 10+
0 f x/( ) 3 2(2) 1
y= f x x x− +y ⇔ =y x− + ⇔ =y x− ⇔ =y x−
Bài 23.: Lập phương trình tiếp tuyến với (C): y= f x( )biết tuyến song song với đường thẳng d
Trang 6THPT Ernst Thalmann Gv Lê Quốc Huy ☺
1
x
+ b
2 2 5
1
x
c
2
3x 11
3
y= f x = − x − x− d x y+ + =
e y= f x( )= −2x3+5x+1, :19d x y+ + =2 0 f y= f x( )=x3+2x+5, : 10d − x+2y+ = 3 0
g y= f x( )=3x+11, : 6d x+2y+ =1 0
4 11
2x 1
− +
− +
6 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước
Ví dụ: Lập pttt của (C)
2 2
= = biết tiếp tuyến vuông góc với đthẳngd: 2x+6y+ =1 0
2x 1
− +
Giải:
*
/ / ( 2 10) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 10)
2
4x − 4x 19
2
( 2x 1)
+
=
− +
*k d −A −2 −1
B
3
d
k
= − ⇒ = = − ⎜ ⎟= ⇒ =
⎝ ⎠
0
tt
0
1
2
x
x
=
*
2 2( 1) ( 1) 10
2( 1) 1
Phương trình tiếp tuyến:y= f x x x− +y0 ⇔ =y 3(x−( 1)) 3− + ⇔ =y 3(x+ + ⇔ =1) 3 y 3x+ 6
*
2 2(2) (2) 10
2(2) 1
y
Phương trình tiếp tuyến: = f x x−x )+y0 ⇔ y= x− + ⇔ =y x− ⇔ =y x−
Bài 24.Lập phương trình tiếp tuyến với (C): y= f x( )biết tuyến vuông góc với đường thẳng d
a x2+3x+20
1
x
2 2 5
1
x
c
2
0
=
3 11
x
3
y= f x = − x − x− d − +x y+ = ;
e y= f x( )= −2x3+5x+1, :d x−19y+ =2 0 ; f y= f x( )= − +x3 2x+5, : 2d x−10y+ = ; 3 0
g y= f x( )=3x+11, : 2d x−6y+ =1 0
4 11
2x 1
− +
"Ngủ dậy muộn th˜ ph˝ mất cả ngšy, ở tuổi thanh ni˚n mš kh“ng học tập th˜ ph˝ mất cả cuộc ₫ời."
(Ngạn ngữ Trung Quốc)