dùng công thức tính đạo hàm các hàm số sau: 1.. Chứng minh hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc vào x: VII... dùng định nghĩa đạo hàm để tính các giới hạn sau: 1.. Viết phơng trình
Trang 1'( ) lim
x
f x x f x
f x
x
∆ →
+ ∆ −
=
∆
Bài tập phần đạo hàm
I dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại x 0 :
1 f(x) = x2 − 5x+ 7 x0 = -1 (-7) 2 f(x) = cos 2x x0 ∈ R (-2sin2x)
3
1
| 1
| ) (
+
−
=
x
x x
f x0 = 1 (ko∃) 4 f x x x( ) = ( 1)( 2) ( 2008)( 2009) − x− x− x− x0 = 0 (-2009!)
5
2 2 1 ( )
4 5 1
f x
= − ∀ <
2 2
sin 0 ( )
x x
x x x
∀ >
=
x0 = 0 (1)
III dùng công thức tính đạo hàm các hàm số sau:
1
d cx
b ax y
+
+
5 4
3 2 +
+
=
x
x
n mx
c bx ax y
+
+ +
1
1
2
−
+
−
=
x
x x y
5 = ( − )2
1
x y
x 6 y=sin23x.cos32x 7 y= cos x2 8 1
1
x y x
+
=
−
1
x y
x
+
=
2
4 3
x y x
+
=
tan
y= x 12 y= sin 1 3( −x)
13 12
cos
y
x
sin cos
y
+
=
− 15 y = −(1 x)20 16
+
=
−
1 1
x y
x
17 = − +
2007
+
2
2 2
x y
+ sin
x y
x cosx 20 y= cot x2 − +x 1
3
y cosx cos x 22 y= tant
t 23 y= sin(2sin )x 24 y cos x= 4 5
25 sin4 3
6
y= π − x
2
cos 2
3
y= x−π
2
sin ( 3 )
y cos x 28 cot 3 5
4
y= π − x
4
f x x cos x g x cos x CMR: f’(x) = g’(x) Giải thích.
VI Chứng minh hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc vào x:
VII Tính '( ); '( )π π
f f biết ( ) =
2
cosx
f x
cos x.
mx mx
1) Tìm m để: a) f x'( ) 0 > ∀x b) f x có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.'( ) 2) Chứng minh rằng trong trờng hợp f x có hai nghiệm phân biệt thì các nghiệm này thoả mãn '( )
hệ thức độc lập với m
Ix Chứng minh rằng:
1 Nếu y = 1 x− 2 thì: (1 - x2)y’’ - xy' + y = 0
2 Nếu
x
x x
2
sin 1
cos )
(
+
4 ( ' 3 ) 4
f
0
lim
x→
'
y
''
y
Trang 2x tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
y
x
=
1
2 − +
=
x x
9
x y x
=
−
4 y= sin 5x 5 y= sin 2 2 x 6 y= sin sin 5x x
xI dùng định nghĩa đạo hàm để tính các giới hạn sau:
1
x
x x
1 1
0
+
− +
π
π
− +
x x
x
2 cos 2 sin lim
2
(-1/2)
xii tiếp tuyến:
1 Cho hàm số: y = 2x3 − 3x2 (C)
Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết:
b) Tiếp tuyến có hệ số góc k = 12 (y = 12x+7, y = 12x - 20) c) Tiếp tuyến đi qua điểm ; 0 )
2
3 (
4
27 2
9x− )
2 Cho hàm số:
1
2 3
−
−
=
x
x
Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết:
a) Tung độ của tiếp điểm bằng
2
5
(
4
9 4
1 +
−
b) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = −x+ 3 (y = −x+ 2 ,y= −x+ 6) c) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = 4x+ 4
4
9 4
1 +
−
4
17 4
1 +
−
y
d) Tiếp tuyến đi qua điểm A(2; 0) (y = −x+ 2 ,y= −x+ 18) e) Tiếp tuyến tạo với trục hoành góc 450 (y = −x+ 2 ,y= −x+ 6)
3 Cho hàm số:
x
x
2 +
Chứng minh rằng qua điểm M(-2; 0) kẻ đợc 2 tiếp tuyến tới (C), đồng thời 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
4 Cho hàm số:
1
1
2
−
+
−
=
x
x x
a) Chứng minh rằng qua A(1; 1) không kẻ đợc tiếp tuyến nào tới (C)
b) Tìm trên Oy các điểm từ đó kẻ đợc ít nhất 1 tiếp tuyến đến (C) A(0; m), m≥ 1
5 Cho hàm số: y = −x3 + 3x2 − 2 (C)
d) Chứng minh rằng: Trong tất cả các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến tại điểm U(1; 0)
có hệ số góc nhỏ nhất
e) Tìm trên đờng thẳng y = 2 những điểm từ đó kẻ đợc 3 tiếp tuyến tới (C)
(A(a; 2), a < -1; a > 5/3; a ≠ 2) f) Tìm trên đờng thẳng y = 2 những điểm từ đó kẻ đợc 3 tiếp tuyến tới (C), sao cho
có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau (A ; 2 )
27
53
y= x − x Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ
7 Cho hàm số: 2 3
1
x y x
−
=
− ( )C Tiếp tuyến bất kì tại M∈ ( )C cắt 2 đờng thẳng x= 1 và 2
y= tại A B, Chứng minh rằng M là trung điểm AB