tóm tắt lí thuyết và bài tập đạo hàm, giải tích 11

Bài tập minh họa Dạng toán 1.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C Loại 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị Ctại một điểm M0 ∈ C Phương pháp Thạc sỹ Trần Văn Khánh... Viết p

Mục lục

5.1 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm 6

5.1.1 Định nghĩa đạo hàm 6

5.1.2 Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa 6

5.1.3 Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm 6

5.1.4 ý nghĩa hình học của đạo hàm 7

5.1.5 ý nghĩa vật lí của đạo hàm 7

5.2 Quy tắc tính đạo hàm 12

5.2.1 Các công thức 12

5.2.2 Phép toán 12

5.2.3 Đạo hàm của hàm số hợp 12

5.3 Đạo hàm của hàm số lượng giác 15

5.3.1 Các giới hạn cần nhớ 15

5.3.2 Các công thức 15

5.4 Vi phân 17

5.4.1 Định nghĩa 17

5.5 Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao 18

5.5.1 Định nghĩa 18

5.5.2 ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai 19

Chương 1

Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

2

Chương 2

Tổ hợp -xác suất

3

Chương 3

Dãy số Cấp số cộng và cấp số nhân

4

Chương 4

Giới hạn

5

Bước 1: Với ∆x là một số gia của đối số tại x0, tính ∆y = f (x 0 + ∆x) − f(x 0 );

Bước 2: Lập tỉ số ∆y

∆x;Bước 3: Tính lim

∆x→0

∆y

∆x.

a) Hàm số f (x) có đạo hàm tại x0 thì hàm số f (x) liên tục tại x0;

b) Hàm số f (x) liên tục tại x0 thì chưa hẳn f (x) có đạo hàm tại x0

6

5.1.4 ý nghĩa hình học của đạo hàm

Nếu tồn tại, f 0 (x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại

M0(x 0 ; f(x 0 )) Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M0 là

y = f 0 (x 0 )(x − x 0 ) + f(x 0 ).

v (t) = s 0 (t) là vận tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t

B Bài tập minh họa

Dạng toán 1 Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0

Phương pháp

Bước 1: Cho x0 một số gia là ∆x; tính ∆y = f (x 0 + ∆x) − f(x 0 );

Bước 2: Lập tỉ số ∆y

∆x;Bước 3: Tính lim

7 − 2x tại x0 = 3

Giảia) Cách 1

Cho x0= 1 một số gia là ∆x; ∆y = f (1 + ∆x) − f(1) = (∆x)2

Dạng toán 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)

Loại 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)tại một điểm M0 ∈ (C)

Phương pháp

Thạc sỹ Trần Văn Khánh

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M0 là

y = f 0 (x 0 )(x − x 0 ) + f(x 0 ).

Bài 5.2 Cho hàm số y = x3− 3x + 1 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 = 3

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(1;-2)

Giảia) Với ∆x là một số gia của đối số tại x = 1, ta có

∆x→0

∆y

∆x = −5.

Vậy y 0 (1) = −5

b) Phương tình tiếp tuyến y = −5x + 3.

Loại 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)biết hệ số góc k

Phương pháp

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm Khi đó f 0 (x 0 ) = k ⇒ x 0, tính y (x 0 ) = f(x 0 )

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = k (x − x 0 ) + y (x 0 )

Bài 5.4 Cho hàm số y = x3− 3x + 1 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.

GiảiGọi x0 là hoành độ tiếp điểm Khi đó f 0 (x 0 ) = 9 ⇔ 3x20 − 3 = 9 ⇔ x 0 = ±2

Với x0 = 2 ⇒ y (2) = 3 Phương trình tiếp tuyến là y = 9x − 15.

Với x0 = −2 ⇒ y (−2) = −1 Phương trình tiếp tuyến là y = 9x + 17

Thạc sỹ Trần Văn Khánh

Bài 5.5 Cho hàm số y = x2− 2x + 3 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị (C):

a) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x − 2y + 5 = 0;

b) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 4y + 5 = 0

Giảia) Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm Khi đó f 0 (x 0 ) = 2 ⇔ 2x 0 − 2 = 2 ⇔ x 0 = 2

x0= 2 ⇒ y (2) = 3 Phương trình tiếp tuyến là y = 2x − 1

b) Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm Khi đó f 0 (x 0 ) = 4 ⇔ 2x 0 − 2 = 4 ⇔ x 0 = 3

x0= 3 ⇒ y (3) = 6 Phương trình tiếp tuyến là y = 4x − 6.

Loại 3: Quan hệ giữa hàm số liên tục và đạo hàm

Phương pháp

+ Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K là điều kiện đủ để hàm số liên tục trênkhoảng K hay nói cách khác là hàm số liên tục điều kiện cần để hàm số có đạo hàm.Chú ý: Hàm số f (x) liên tục tại x0 thì chưa hẳn f (x) có đạo hàm tại x0

Bài 5.6 Chứng minh rằng hàm số f (x) =

( (x − 1)2, x ≥ 0 (x + 1)2, x < 0

không có đạo hàm tại x = 0 nhưng hàm số liên tục tại đó

Giảia) Ta có f (0) = 1

không có đạo hàm tại x = 0

Bài 5.8 Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số:

a) y = f(x) = 2x2− 3x + 1 tại x0= 1;

b) y = f(x) = 4x − 3

2 − 3x tại x0= −1;c) y = f(x) = √

5 − 2x tại x0 = 2;d) f(x) =

Bài 5.11 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số sau:

Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P ):

a) Tại điểm A(-2;4);

b) Tại giao điểm của (P ) với đường thảng y = 3x − 2

Hướng dẫn

a) -4;

b) 2 và 1

Bài 5.13 Cho hàm số y = x3 có đồ thị (C)

a) Tại những điểm nào của (C) thì tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng 1;

b) Liệu có tiếp tuyến nào của (C) mà tiếp tuyến đó có hệ số góc âm?

√ 3

3 ; −

√ 3 9

!

;b) Không có

Bài 5.14 a) Cho hàm số y = x+ 1

x − 1 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −2x + 1;

b) Cho hàm số y = x+ 2

x − 2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)

biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x + 2;

c) Cho hàm số y = −1

3x

3 + 3x2− 5x + 1 có đồ thị (C) Tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớnnhất của đồ thị (C)

Thạc sỹ Trần Văn Khánh

Hướng dẫn

a) Có hai phương trình tiếp tuyến y = −2x − 1, y = −2x + 7;

b) Có hai phương trình tiếp tuyến y = −x − 1, y = −x + 7;

c) Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm, y 0 (x 0 ) ≤ 4 Từ đó suy ra hệ số góc lớn nhất k = 4

ứng với x0 = 3, y(3) = 4. Vậy phương trình tiếp tuyến y = 4x − 8.

Bài 5.15 Chứng minh rằng hàm số y = |x − 2| không có đạo hàm tại x = 2 nhưngliên tục tại điểm đó

B Bài tập minh họa

Dạng toán 1 Tính đạo hàm của hàm số y = f(x)

Phương pháp

Vận dụng các công thức và các phép toán để tính đạo hàm

Thạc sỹ Trần Văn Khánh

Bài 5.16 Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y = f(x) = x4− 3x3+ 5x2− 4x + 1;

b) y = f(x) = 1

x2 −x13;c) y = f(x) = x3+ 2
(x + 1);

d) y = f(x) = x− 4

3x + 5;e) y = f(x) = x

2 + x + 1 2x − 3 .

Giảia) y 0 = f 0 (x) = 4x3− 9x2+ 10x − 4;

2

− 6x − 5 (2x − 3)2 .

Bài 5.17 Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y = 4x3− 2x2− 5x

x2− 7x

;b) y = 2

x + 3x

 ( √

x − 1);c) y = −x2+ 2x + 3

x3− 2 ;

d) y = (x − 2)√x2+ 1.

Giảia)

x 2 + x + 1;c) y =

Bài 5.21 Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y = (9 − 2x) 2x3− 9x2+ 1

;b) y = x2+ 1

x3+ 1
2

x4+ 1
3

;c) y =

x2+ 1

x3+ 1
2

;c) y 0 = −4

sin2x.Thạc sỹ Trần Văn Khánh

B Bài tập minh họa

Dạng toán 1 Tính đạo hàm các hàm số lượng giác

x;c) y = √

x cot 2x;

d) y = 3sin2xcosx + cos2x

Giảia) y 0 = 3cos3x − 1

Bài 5.24 Tính các đạo hàm của các hàm số sau:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x ∈ (a; b) Giả sử

∆x là một số gia của x sao cho x + ∆x ∈ (a; b).

Tích f 0 (x)∆x hay y 0 ∆xđược gọi là vi phân của hàm số f (x) tại x, ứng với số gia ∆x,

kí hiệu là df (x) hay dy

Chú ý

Vì dx = ∆x nên dy = df(x) = f 0 (x)dx.

B Bài tập minh họa

Dạng toán 1 Tìm vi phân của hàm số

Giảia) Ta có y 0 = x sin x, do đó dy = x sin xdx;

ở đây kí hiệu f(0)(x) = f(x); f(n)(x) là đạo hàm cấp n của hàm số f(x).

Đạo hàm cấp hai f 00 (x) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t

B Bài tập minh họa

Dạng toán 1 Tính đạo hàm cấp hai của hàm số

2

√

1 + x 2 ⇒ y 00 = x 3 + 2x

2
(1 + x 2 ) √

1 + x 2;b) y 0 = 1

y(n) = n!

(1 − x)n+1 Chứng minh bằng phương pháp quy nạp;

b)y(n) = (−1)nn !

(1 − x)n+1 Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Bài 5.32 Cho n là số nguyên dương Chứng minh rằng:

a)(sin x)(n) = sinx + nπ

2



;b)(cosx)(n) = cosx + nπ

2



Thạc sỹ Trần Văn Khánh

Bài tập cuối chương

Bài 5.33 Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = tan x tại x0∈ D f