BDT Lê Xuân Đại hay

Nắm vững các ph-ơng pháp cơ bản chứng minh BĐT nh-: PP biến đổi t-ơng đ-ơng; PP sử dụng BĐT Cô si; PP sử dụng đạo hàm… 3.. Chú ý: Có thể chứng minh BĐT trên bằng cách sử dụng BĐT véc tơ

Trang 1

tử không biết bắt đầu từ đâu để giải quyết bài toán về BĐT Bài viết này muốn hệ thống cho các bạn các ph-ơng pháp cơ bản và một số dạng bài tập về BĐT Hy vọng sẽ giúp các em học sinh lớp 12 đạt kết quả cao trong kì thi ĐH- CĐ sắp tới

Những lời khuyên bổ ích khi học về BĐT:

1 Nắm chắc các tính chất cơ bản của BĐT

2 Nắm vững các ph-ơng pháp cơ bản chứng minh BĐT nh-: PP biến đổi t-ơng

đ-ơng; PP sử dụng BĐT Cô si; PP sử dụng đạo hàm…

3 Đặc biệt chú trọng vào ôn tập các kỹ thuật sử dụng BĐT Cô si, luôn biết đặt và trả lời các câu hỏi nh-: khi nào áp dụng; điều kiện cho các biến là gì; dấu bằng xảy ra khi nào; nếu áp dụng thế thì có xảy ra dấu bằng không; tại sao lại thêm bớt nh- vậy…

4 Luôn bắt đầu với các BĐT cơ bản (điều này vô cùng quan trọng); học thuộc một số BĐT cơ bản có nhiều áp dụng nh-ng phải chú ý điều kiện áp dụng đ-ợc, chẳng hạn nh-:

* a2b2c2abbc ca (1) với mọi a,b,c

* (ab c) 23(abbc ca) (2) với mọi a,b,c

* (ab c) 23(a2b2c ) (3)2 với mọi a,b,c

ab ab abcab c với mọi a,b,c d-ơng

* a2x2 b2y2  (ab)2(xy) (5)2 với mọi a,b,x,y

A pdf writer that produces quality PDF files with ease!

Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents Compatible across

Trang 2

Tr-ớc hết xin đ-a ra 3 ph-ơng pháp thông dụng nhất để chứng minh BĐT

I Ph-ơng pháp biến đổi t-ơng đ-ơng:

1 Ph-ơng pháp chung

Để chứng minh AB ta th-ờng thực hiện theo một trong hai cách sau:

Cách 1: Ta chứng minh AB0 Để làm đ-ợc điều này ta th-ờng sử dụng hằng đẳng thức

để phân tích ABthành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm

Cách 2: Xuất phát từ một BĐT đúng nào đó ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh Đối với

cách này th-ờng cho ta lời giải không đ-ợc tự nhiên cho lắm và th-ờng sử dụng khi các biến

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi a, b   ta có: a2b22ab (1)

Giải: Ta có a2b22ab(ab)20a2b22ab (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b

Thật đơn giản phải không các bạn, nếu tinh ý thêm một chút thôi các bạn sẽ tìm ra những kết quả tổng quát hơn và niềm tin để v-ợt qua bài BĐT trong đề thi ĐH là hoàn toàn khả thi

Cụ thể là với ba số thực a,b,c bất kỳ ta có a2b22ab; b 2c 22bc và a 2c 22ac

Trang 3

(ab c) 3(a b c ) (4) với mọi a,b,c

Chúng ta sẽ nói thêm ứng dụng tuyệt vời của 3 BĐT (2), (3) và (4) ở những phần sau

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c   ta có: a4b4c4abc(abc)

Giải: áp dụng liên tiếp BĐT (2) trong ví dụ 1 ta đ-ợc:

Nh- vậy nếu đề thi hỏi các bạn một bài nh- sau:

“Cho 3 số a,b,c thoả mãn abc1 Chứng minh rằng: a4b4c4abc” thì chắc

các bạn đã có cơ hội cao để đạt điểm 10 rồi! (hãy cứ tự tin lên nào)

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi a, b0 ta có:

a b a bab

Giải: Ta biến đổi a3b3a b2 ab2 (ab) (a2 b)0, suy ra đpcm

Nhận xét: BĐT trên thật đơn giản nh-ng cũng có khá nhiều ứng dụng với các bài toán khó

hơn, chẳng hạn ta xét 3 bài toán sau:

Bài 1 Cho a, b, c0 Chứng minh rằng:

a b abcb c abca c abcabc

H-ớng giải: Ta có a3b3a b ab2  2ab(ab)a3b3abcab(ab c)

Xin đ-a ra thêm hai hệ quả của bài toán trên (coi nh- bài tập cho các bạn luyện tập)

* Cho a, b, c0 thoả mãn abc=1 Khi đó: 3 13 3 13 3 13 1

a b 1b c 1a c 1

pdfMachine

Trang 4

* Cho a, b, c0 thoả mãn abc=1 Khi đó: 1 1 1 1

ab 1 b c 1  ac 1 

(che dấu bản chất hơn)

Bài 2 Cho a,b,c không âm thoả mãn abc2009 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P 4(a b ) 4(b c ) 4(a c )

H-ớng giải: Mới nhìn BĐT ta cảm thấy rất khó khăn vì có căn bậc 3 và điều quan trọng là

phải sử lí đ-ợc biểu thức trong dấu căn Bất đẳng thức a3b3a b2 ab2 cho ta một “manh

mối” để giải quyết bài toán, nh-ng nếu áp dụng nguyên si thì ch-a ổn Ta biến đổi một chút

BĐT này

a b a b ab 3(a b )3(a b ab ) 4(a b )(ab)

Nh- vậy ta có thu đ-ợc BĐT 4(a3b )3 (ab)3

Chắc các bạn cũng đồng ý với tôi rằng phép biến đổi đó rất tự nhiên

Bây giờ áp dụng BĐT vừa tìm đ-ợc ta có

P 4(a b ) 4(b c ) 4(a c ) (ab)(bc)(ca)2(abc)4018

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2009

H-ớng giải: Đây quả là một bài toán khó, ta hãy mò mẫm theo các đầu mối nhỏ nhé

* Thứ nhất: Ta đã có một đánh giá rất quen thuộc trong tam giác:

Trang 5

Vậy P1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A=B=C, tức là tam giác ABC đều

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với a, b, c là 3 cạnh một tam giác bất kỳ ta có:

abbccaa b c 2(abbcca)

Giải: BĐT bên trái đã chứng minh, để chứng minh BĐT bên phải ta xuất phát từ một BĐT

cơ bản trong tam giác là b c ab c

* Nếu sử dụng b c a thì ta biến đổi nh- sau:

a b c a2(b c) 2b2c22bca2b2c22bc

T-ơng tự b2 a2c22ac; c2 a2b22ab Cộng theo từng vế ba BĐT ta đ-ợc đpcm

* Nếu sử dụng abc thì ta biến đổi nh- sau:

+ Nếu abxy0 thì hiển nhiên (*) đúng

+ Nếu abxy0 thì (*)(a2x )(b2 2y )2 (abxy)2(bxay)20 (luôn đúng)

Vậy bài toán đ-ợc chứng minh Đẳng thức xảy ra khi bx=ay

pdfMachine

Trang 6

Chú ý: Có thể chứng minh BĐT trên bằng cách sử dụng BĐT véc tơ rất đơn giản nh- sau

(khi làm bài thi ĐH các bạn phải chứng minh BĐT này nếu muốn dùng nó, lúc đó các bạn hãy chọn một ph-ơng án chứng minh mà các bạn cho là hay và dễ nhớ nhất OK)

Nhận xét: BĐT Mincôpxki có rất nhiều ứng dụng hay và có thể giải quyết đ-ợc nhiều bài

BĐT hóc búa Xin đ-ợc minh hoạ điều này qua 3 bài toán sau đây:

Bài 1 Cho a,b không âm thoả mãn ab1

Trang 7

Bµi 5 Cho a, b > 0: a + b = 2 Chøng minh r»ng aba ba b

Bµi 6 Cho hai sè thùc a ,b tho¶ m·n a + b ≥ 2 Chøng minh r»ng : a4 + b4 ≥ a3 + b3

pdfMachine

Trang 8

Bµi 7 Cho ba sè a ,b ,c  [0;1] Chøng minh r»ng : a + b + c – ab – bc – ca  1

Bµi 8 Cho a,b,c tho¶ m·n abc1 Chøng minh r»ng:

Trang 9

 Đẳng thức xảy ra khi a=b

b) Cho a0, b0, c0 Khi đó a b c 3abc

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1a2  an

Chú ý: Với các bài thi ĐH- CĐ thông th-ờng chỉ cần áp dụng BĐT Côsi với 2 hoặc 3 số

Trang 10

Nhận xét: Hai BĐT trong ví dụ 1 có rất nhiều ứng dụng và cũng là con đ-ờng sáng tạo ra vô

vàn các BĐT hay Có thể nói phần lớn các BĐT trong đề thi ĐH- CĐ có gốc tích của hai BĐT này Nói ra các áp dụng hay của hai BĐT này thì nhiều vô kể và không biết sẽ tốn kém bao giấy mực, tôi xin chỉ dẫn chứng ra vài bài toán điển hình:

Bài 1 Cho a,b,c d-ơng Chứng minh rằng:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Có lẽ các bạn đã cảm thấy quá ấn t-ợng với lời giải của bài toán, kiến thức sử dụng ở

đây là rất đơn giản nh-ng hiệu quả Nếu tiếp tục áp dụng một lần nữa BĐT (3) ta đ-ợc BĐT sau:

Trang 11

Bài 3 Cho a,b,c d-ơng Chứng minh rằng:

Hệ quả: Nếu cho tổng ba số a,b,c thì tìm đ-ợc GTLN của biểu thức vế trái của (7)

Chẳng hạn ta đ-a ra bài toán khá hay sau:

* Cho x,y,z d-ơng thoả mãn x2y4z12 Chứng minh rằng:

6

x2y2y4z4zx Với bài toán này, các bạn chỉ cần coi ax;b2y;c4z thì abc 12 và BĐT cần chứng minh trở thành: ab bc ac

6

abbcac (đây chính là hệ quả của (7) rồi OK)

Bài 4 Gọi a,b,c là ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi tam giác đó Chứng minh rằng:

Điều này gợi ý ta dùng BĐT (1) cho hai số p-a và p-b Cụ thể là: pdfMachine

Trang 12

1 1 4 4

pa pb (pa)(pb) cCïng hai B§T t-¬ng tù ta ®-îc B§T (8) cÇn chøng minh

Bµi 5 Cho a,b,c d-¬ng Chøng minh r»ng:

Bµi 7 Cho x,y,z d-¬ng tho¶ m·n xyz1 vµ k lµ h»ng sè d-¬ng cho tr-íc

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc

Trang 13

ab bc ca 1(a b c)

pdfMachine

Trang 14

c b c

b a c b a

2 2

2

2 2 2 2 2 2

Bµi 3 Cho a, b, c > 0 tho¶ m·n: a + b + c = 2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña:T a3 b3 c3

Bµi 4 Cho x, y, z > 0: x + y + z = 1 T×m Min: Rx4 y4 z4

Bµi 5 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña mçi biÓu thøc sau:

Bµi 8 Cho a b , 1 Chøng minh r»ng: a b 1 b a 1 ab

Bµi 9 Cho ABC Chøng minh r»ng:

8

pa pb pc  abc

Trang 15



Bµi 19 Chøng minh r»ng nÕu x > - 3 th×

1 3

9 3

Bµi 20 Chøng minh r»ng nÕu a > b > 0 th× 4 2

pdfMachine

Trang 16

Bµi 22 Víi xyz = 1, x, y, z > 0 CMR:

2

3

2 2 2

y y z x

Bµi 23 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P =

a

b b

víi a, b lµ c¸c sè d-¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ab = 1

Bµi 24 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 2 3

 

P

x y víi x, y lµ c¸c sè d-¬ng tháa m·n x+y=1

Bµi 25 Cho x, y, z > 0 Chøng minh r»ng

26 ) ( 16 ) ( 9 ) (

z

x y y

z x x

z y

Bµi 26 Cho x + y = 1, x, y > 0 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:

xy y x

Trang 17

Bài 37 Cho a,b,c d-ơng thoả mãn abc=1 Chứng minh rằng:

Để các bạn có thêm kỹ thuật khi áp dụng BĐT Côsi tôi xin giới thiệu một chút về

ph-ơng pháp chọn điểm rơi côsi Đây có thể nói là một “tuyệt chiêu” độc đáo giúp các em

nhanh chóng tìm ra lời giải bài toán

III Ph-ơng pháp thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi

Từ việc dự đoán đ-ợc dấu bằng xảy ra (điểm rơi Côsi), thêm bớt các số hạng cho phù hợp và sử dụng khéo léo bất đẳng thức Côsi ta có thể đạt đ-ợc những kết quả không ngờ Để

có một định h-ớng đúng chúng ta thực hiện các b-ớc phân tích bài toán nh- sau:

1 Dự đoán dấu bằng xảy ra hay các điểm mà tại đó đạt đ-ợc GTLN, GTNN

2 Từ dự đoán dấu bằng, kết hợp với các BĐT quen biết, dự đoán cách đánh giá (tất nhiên là thêm một chút nhạy cảm và khả năng toán học của mỗi ng-ời) cho mỗi bài toán Chú ý rằng mỗi phép đánh giá phải đảm bảo nguyên tắc “dấu bằng xảy ra ở mỗi b-ớc này phải giống nh- dấu bằng mà ta đã dự đoán ban đầu”

Để làm rõ điều này tôi xin phân tích cách suy nghĩ tìm ra lời giải trong các ví dụ sau:

Ví dụ 1 Chứng minh rằng với a, b, c0 ta có:

pdfMachine

Trang 18

* Tr-ớc hết ta nhận thấy nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Cô si cho 3 số thì không ra

đ-ợc kết quả mong muốn

* Bây giờ ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi nào, dễ nhận thấy đó là khi a = b = c

Khi đó

2

ab

b  Vì vậy ta thêm b vào phần tử đại diện

ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3 Cho x, y, z là các số d-ơng thỏa mãn xyz = 1 Chứng minh rằng:

x3 + y3 +z3  x + y + z

Phân tích bài toán:

* Dự đoán dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1

* Ta muốn đạt hai mục đích là đánh giá giảm bậc từ bậc 3 xuống bậc 1 và đảm bảo dấu bằng khi x=1, nh- vậy phải sử dụng BĐT côsi với 3 số, đó là điều dễ hiểu Vậy thì phải

Trang 19

19

Lời giải: áp dụng BĐT Côsi cho 3 số d-ơng ta đ-ợc

3

x   1 1 3x; y3  1 1 3y; z3  1 1 3zCộng từng vế 3 BĐT ta đ-ợc :x3y3z3 3(xyz)6

Mặt khác xyz3 xyz3 3 nên 3(xyz)6xyz

Vậy bài toán đ-ợc chứng minh

Ví dụ 4 Cho a, b, c d-ơng thoả mãn abc=1 Chứng minh rằng:

dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 Lúc đó thì

Vì vậy ta có cách chứng minh sau:

Lời giải: áp dụng BĐT Côsi cho 3 số d-ơng ta đ-ợc

Điều phải chứng minh

Ví dụ 5 Cho a, b, c d-ơng Chứng minh rằng:

(a b c)b(ca)c(ab)a(bc)  2  

Trang 20

Cùng hai BĐT t-ơng tự ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 6 Cho a, b, c d-ơng thoả mãn abc3 Tìm giá trị lớn nhất của

* Bây giờ với một tham số m>0 nào đó, ta viết

Vấn đề bây giờ là ta chọn m bằng bao nhiêu thì phù hợp?

Dễ thấy dấu bằng xảy ra khi a b 1

3

1 2009(a b c) 6.2009

32009

Đây là bài toán mà các vai trò của các biến không nh- nhau Tuy nhiên ta vẫn dự

đoán đ-ợc P đạt GTNN khi a=c Vấn đề là bằng bao nhiêu thì ch-a thể nói ngay đ-ợc Để biết điều đó ta xét hai tham số   , 0 và viết P nh- sau:

Trang 21

Mọi thứ thế là ổn Các bạn hãy tự viết lại lời và “nâng nâng” trong niềm vui chiến thắng

nhé

Nhận xét: Nếu ta bỏ giả thiết a+b+c=3 thì ta có thể thu đ-ợc BĐT sau:

Cho a,b,c không âm Chứng minh rằng

289(a 64b c ) 64(a b c) Lời giải của bài toán này dành cho bạn đọc (gợi ý là có thể chuẩn hoá để đ-a về bài toán ở trên)

Ví dụ 8 Cho a,b,c d-ơng thỏa mãn xyyzxz1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Trang 23

23

IV ph-ơng pháp sử dụng đạo hàm

1 Nội dung ph-ơng pháp

a) Các kiến thức liên quan:

1 Hàm f(x) đồng biến trên D khi và chỉ khi f '(x)0 x D

2 Hàm f(x) nghịch biến trên D khi và chỉ khi f '(x)0 x D

3 Cho hàm f(x) đồng biến trên D, khi đó với u, vD ta có: uvf (u)f (v)

4 Cho hàm f(x) nghịch biến trên D, khi đó với u, vD ta có: uvf (u)f (v)

b) Ph-ơng pháp giải: Để chứng minh BĐT bằng PP đạo hàm, ta khảo sát sự biến thiên

của một hàm số f(x) nào đó có liên quan tới cấu trúc của BĐT cần chứng minh Từ sự biến thiên của hàm số f(x) ta suy ra BĐT cần chứng minh Chú ý là các biến bị ràng buộc theo giả thiết của bài toán

Để các bạn có thể hiểu ngay t- t-ởng của ph-ơng pháp này tôi xin đ-a ra một bài toán đơn giản sau:

f (x) x

 với x>0

Trong các đề thi vào ĐH- CĐ th-ờng xuất hiện hai dạng bài toán sau:

Dạng 1: Bất đẳng thức cần chứng minh chỉ có một biến

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi x0 ta có: ex  1 x (1)

Giải Xét hàm f (x)ex x 1 với xpdfMachine 0 Ta có f '(x)ex  1 0 với mọi x0

Trang 24

Suy ra hàm f(x) đồng biến trên 0;  f (x)f (0)0 Vậy ex  1 x

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=0

Nhận xét: Bằng việc xét đạo hàm hai lần và sử dụng ví dụ 1 ta có kết quả sau:

 (5)

3xf(x) sin x x

Ví dụ 3: Cho x2 Chứng minh rằng x 1 5

(6)

Giải Nếu bạn nào ch-a thạo về việc sử dụng BĐT Côsi để giải bài toán này thì PP sử dụng

hàm số là một “vũ khí” để lấp lỗ hổng đó Thật đơn giản khi ta xét hàm số  1

Trang 25

25

Do đó f (x)f (2)5

2 (đpcm)

Dạng 2: Bất đẳng thức cần chứng minh có nhiều biến

Ví dụ 1: Cho a,b,c d-ơng Chứng minh rằng:

3 3

 

 , khi đó theo BĐT Côsi thì t 3

Ta cần chứng minh t 110

t 3 với t 3

Đến đây thì bài toán đ-ợc giải hoàn toàn t-ơng tự với việc chứng minh BĐT (6)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Ví dụ 2: Cho a,b,c d-ơng thoả mãn a2b2c2 1 Chứng minh rằng:

Điều này thì thật dễ dàng bằng cách xét hàm x(1x )2  2

3 3 trên khoảng (0;1)

Ví dụ 3 (Khối A-2003): Cho x,y,z d-ơng thoả mãn xyz1 Chứng minh rằng:

Định dạng
Số trang	43
Dung lượng	390,46 KB