giải tích 1 lê xuân đại 4 tích phân suy rộng sinhvienzone com

Tích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa tích phân −∞Định nghĩaNếu hàm số f x xác định trên R và khả tích trên mọi đoạn [a, b] thì ∀c ∈ R tích phân suy rộng loại hai tích phân ở vế phải đều

Trang 1

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Bài giảng điện tử

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Trang 2

Tích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa tích phân dạng a f (x )dx

f (x ) trên [a, +∞) và được ký hiệu là

Trang 3

Tích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa tích phân dạng a f (x )dx

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 3 / 64

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Trang 4

Ý nghĩa hình học

là diện tích của hình phẳng vô hạn được gới hạnbởi x = a, trục Ox và đồ thị hàm f (x )

SinhVienZone.Com

Trang 6

Tích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa tích phân dạng −∞f (x )dx

f (x ) trên (−∞, b] và được ký hiệu là

Trang 7

Tích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa tích phân dạng −∞f (x )dx

SinhVienZone.Com

Trang 8

là diện tích của hình phẳng vô hạn được gới hạnbởi x = b, trục Ox và đồ thị hàm f (x )

SinhVienZone.Com

Trang 9

Tích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa tích phân −∞

Định nghĩaNếu hàm số f (x ) xác định trên R và khả tích trên

mọi đoạn [a, b] thì ∀c ∈ R tích phân suy rộng loại

hai tích phân ở vế phải đều hội tụ không phụthuộc lẫn nhau

SinhVienZone.Com

Trang 10

Công thức Newton-LeibnitzCho hàm số f (x ) có nguyên hàm là F (x ) trên[a, +∞) và khả tích trên mọi đoạn [a, b] Tíchphân suy rộng loại 1

Trang 12

khi tồn tại giới hạn hữu hạn lim

Trang 13

Ví dụTính tích phân suy rộng I =

Trang 14

Như vậy, tích phân I hội tụ

SinhVienZone.Com

Trang 15

Vậy, tích phân I hội tụ

SinhVienZone.Com

Trang 16

Ví dụTính tích phân I =

SinhVienZone.Com

Trang 17

Ví dụKhảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng

Trang 19

Cho f (x ) khả tích trên mọi đoạn[a, b] ⊂ [a, +∞) và c > a Khi đó tích phân

Trang 21

Dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng của hàm

có dấu không đổi được xác định theo tiêu chuẩn

tuyệt đối của tích phân suy rộngĐịnh lý

Nếu hàm f (x ) và |f (x )| khả tích trên mọi đoạn[a, b] ⊂ [a, +∞) và tích phân suy rộng

Trang 23

Định nghĩa

rộng

+∞

R

a

SinhVienZone.Com

Trang 24

Dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng loại 1

Trang 25

Định lýCho f (x ) và g (x ) khả tích trên mọi đoạn[a, b] ⊂ [a, +∞) sao cho 0 6 f (x) 6 g (x),

Trang 26

Ví dụKhảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng

Trang 28

SinhVienZone.Com

Trang 29

Ví dụKhảo sát sự hội tụ của tích phân

SinhVienZone.Com

Trang 30

SinhVienZone.Com

Trang 31

Ví dụKhảo sát sự hội tụ của tích phân I =

SinhVienZone.Com

Trang 33

Trang 34

SinhVienZone.Com

Trang 35

SinhVienZone.Com

Trang 36

2dx phân kỳ nên I phân kỳ

SinhVienZone.Com

Trang 37

Ví dụKhảo sát sự hội tụ của tích phân I =

x 1+a 1

x a lnβx 1

x 1+a hội tụ ⇒ I hội tụ

SinhVienZone.Com

Trang 38

Trường hợp 2: Nếu α < 1 thì α = 1 − 2a, a > 0 Khi đó 1

x α lnβ x =

1

x 1−a 1

x −a lnβ x Xét1

x 1−a 1

x −a lnβx 1

x 1−a phân kỳ ⇒ I phân kỳ

Trường hợp 3: Nếu α = 1 thì đặt t = ln x Khi đó

Vậy nếu β > 1 thì I hội tụ, nếu β 6 1 thì I phân kỳ.

SinhVienZone.Com

Trang 40

Trang 42

SinhVienZone.Com

Trang 43

Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau

Trang 44

Tìm α để tích phân sau hội tụ

Trang 45

Tích phân suy rộng loại 2 Định nghĩa dạng f (x )dx trên [a, b)

Cho hàm số f (x ) xác định trên nửa khoảng [a, b)

và không bị chặn khi x → b Giả sử f (x ) khả tíchtrên mọi đoạn [a, η] ⊂ [a, b) Khi đó trên [a, b)

tích phân suy rộng loại 2 trên [a, b)

Trang 46

Tích phân suy rộng loại 2 Định nghĩa dạng f (x )dx trên [a, b)

Định nghĩaNếu giới hạn lim

và hữu hạn thì tích phân suy rộng loại 2 hội tụ,

SinhVienZone.Com

Trang 47

là diện tích của hình phẳng vô hạn được gới hạnbởi x = a, x = b trục Ox và đồ thị hàm f (x ),

SinhVienZone.Com

Trang 48

Tích phân suy rộng loại 2 Định nghĩa dạng f (x )dx trên (a, b]

Cho hàm số f (x ) xác định trên nửa khoảng (a, b]

và không bị chặn khi x → a Giả sử f (x ) khả tíchtrên mọi đoạn [ξ, b] ⊂ (a, b] Khi đó trên (a, b]

tích phân suy rộng loại 2 trên (a, b]

Trang 49

Tích phân suy rộng loại 2 Định nghĩa dạng f (x )dx trên (a, b]

Định nghĩaNếu giới hạn lim

và hữu hạn thì tích phân suy rộng loại 2 hội tụ,

SinhVienZone.Com

Trang 50

là diện tích của hình phẳng vô hạn được gới hạnbởi x = a, x = b trục Ox và đồ thị hàm f (x ),

SinhVienZone.Com

Trang 51

Tích phân suy rộng loại 2 Định nghĩa tích phân f (x )dx , c ∈ [a, b] là điểm gián đoạn

c ∈ (a, b) thì tích phân suy rộng

Trang 52

Tích phân suy rộng loại 2 Định nghĩa tích phân f (x )dx , c ∈ [a, b] là điểm gián đoạn

Định nghĩaTích phân suy rộng

SinhVienZone.Com

Trang 53

Công thức Newton-Leibnitz

nhưng có nguyên hàm là F (x ) trên mọi đoạn[a, η] ⊂ [a, b) Tích phân suy rộng loại 2

Trang 54

nhưng có nguyên hàm là F (x ) trên mọi đoạn[ξ, b] ⊂ (a, b] Tích phân suy rộng loại 2

Trang 55

có nguyên hàm là F (x ) trên đoạn [a, c] và nguyênhàm G (x ) trên đoạn (c, b] f (x ) khả tích trên mọiđoạn [a, η] ⊂ [a, c) và [ξ, b] ⊂ (c, b] Ngoài ra,

tồn tại giới hạn hữu hạn lim

Trang 56

1

R

0

dxx

Như vậy, tích phân I phân kỳ

SinhVienZone.Com

Trang 57

SinhVienZone.Com

Trang 58

b

R

a

dx(b − x )α, (a < b)

Trang 59

SinhVienZone.Com

Trang 60

Định lýCho hàm f (x ) và |f (x )| khả tích trên mọi đoạn

Tương tự đối với trường hợp hàm f (x ) và |f (x )|

SinhVienZone.Com

Trang 61

Định nghĩaNếu tích phân

SinhVienZone.Com

Trang 62

Dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng loại 2

(a, b]) thì ta xét sự hội tụ của hàm |f (x )|

SinhVienZone.Com

Trang 63

Định lýCho hàm số f (x ) và g (x ) khả tích trên mọi đoạn

Ngoài ra, với x ∈ [a, b) luôn có

0 6 f (x) 6 g (x)

Trang 64

SinhVienZone.Com

Trang 65

√

1 − x 2 = lim

x →1 −

cos2x 3

√

1 + x.

1 (1 − x ) 1/3 = ∞ nên x = 1 là điểm kỳ dị.

cos2x 3

√

1 − x 2 = cos

2 x 3

√

1 + x.

1 (1 − x ) 1/3 ∼ cos

2 1 3

√

2 .

1 (1 − x ) 1/3 , khi x → 1− Ta có α = 1

3 < 1 nên I hội tụ.

SinhVienZone.Com

Trang 66

Ví dụKhảo sát sự hội tụ của I =

SinhVienZone.Com

Trang 67

Khảo sát sự hội tụ của tích phân

SinhVienZone.Com

Trang 68

Tìm α để tích phân sau hội tụ

Trang 69

THANK YOU FOR ATTENTION

SinhVienZone.Com

Định dạng
Số trang	69
Dung lượng	1,01 MB