Cho hình chóp S ABCD.. có đáy là hình thang vuông tại A và B với BC là đáy nhỏ.. Biết rằng tam giác SAB là tam giác đều có cạnh với độ dài bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với m
Trang 1I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH(7điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y x= 4−4(m−1)x2+2m−1 có đồ thị ( )C m
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi 3
2
2 Xác định tham số m để hàm số có 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình
2 4
2
1 tan
x
x
+
2 Giải hệ phương trình sau trên R:
3
+ + − =
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
2
2 0
4
x
−
∫
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thang vuông tại A và B với BC là đáy nhỏ Biết rằng tam giác SAB là tam giác đều có cạnh với độ dài bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SC a= 5 và khoảng cách từ D tới mặt phẳng (SHC) bằng 2a 2
(ở đây H là trung điểm AB) Hãy tính thể tích khối chóp theo a
Câu V(1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c+ + =3
Chứng minh rằng: 2 2 2
ab bc ca
a b b c c a
PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ chọn một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm).
1 Cho đường tròn (C) nội tiếp hình vuông ABCD có phương trình (x−2)2+ −(y 3)2 =10 Xác
định toạ độ các đỉnh A, C của hình vuông, biết cạnh AB đi qua M(-3; -2) và xA > 0
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
Câu VII.a (1,0 điểm)
Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: z = 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)20
B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là
giao điểm của đường thẳng d1 :x−y−3=0 và d2 :x+y−6=0 Trung điểm M của cạnh AD là giao
điểm của d1 với trục Ox Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC
Câu VII.b (1,0 điểm
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn hệ thức
2 z− = − +1 z z 2
-Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG LẦN II NĂM 2011
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC-CAO ĐẲNG LẦN II NĂM HỌC 2010 – 2011
I
1
Với m= 3/2 ta có y = x4 -2x2 +2 Tập xác định: Hàm số có tập xác định D R.=
• Sự biến thiên: y'=4x3−4x. Ta có 0 0
1
x y'
x
=
= ⇔ = ±
0.25
→−∞ = +∞ →+∞ = +∞
( )0 2 ( )1 1
• Bảng biến thiên:
x −∞ -1 0 1 +∞
y' − 0 + 0 − 0 +
y +∞ 2 +∞
1 1
0.25
• Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình
• Nhận xét: đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung Oy 0.25
2 • Ta có 3 ( ) ( 2 ( ) )
0 0
x y
=
′ = ⇔ = −
nên hàm số có 3 cực trị khi m > 1
0.25
• Với đk m > 1 hàm số có 3 điểm cực trị là:
(0 2 1) ( 2( 1) 4 2 10 5) ( 2( 1) 4 2 10 5)
4
2
0.5
So sánh với điều kiện có 3 cực trị ta suy ra 1 3 3
2
2
cos x≠ ⇔ ≠ +x π kπ
4
cos( x+π ) cos x s= − , −sin x= cos x s i−
0.25
3 4
0
sin x cos x sin x
0.25
0
4
x k
π π
π π
=
0.5
Trang 31
2
Vậy pt có 2 nghiệm:
4
x k
π
π π
=
= +
Đk: y≤1 Ta có x2−y4+9y x= (9+ −y y3) ⇔(x y x y− ) ( + 3− =9) 0 0.25
vì y≤1 và 31 + + x 1 − = y 2 nên 31 x + ≤ 2 ⇔x ≤ 7.Do đó 3
9
x y+ − ≤-1<0
Thế vào pt ban đầu ta được 31+ +x 1− =x 2.Đặt a=31+x b= 1−x (b>0) thì
3 2
2 2
a b
+ =
+ =
a + −a = ⇔a + −a a+ = ⇔ a− a + a− =
⇒ a=1; a= − +1 3; a= − −1 3
0.25
Từ đó tìm đựơc các nghiệm của hệ : x=y=0 và x= = − +y 11 6 3; x= = − −y 11 6 3 0.25
III
2
1 2 2
x
−
Tính
0
x
I = x e dx= xe − = +
Tính I2 bằng cách đặt t= 4−x2 được 2 16
3 3
3
3 3
e
IV
4a
2a 2
2a
2a
a a
a 5
C'≡C a
a
a a
a
45 °
45 °
H
C B
H
B
A
C
D S
Từ giả thiết suy ra SH ⊥(ABCD) và 2 3 3
2
a
Theo định lý Pythagoras ta có CH = SC2−SH2 =a 2
Do đó tam giác HBC vuông cân tại B và BC a= 0.25
Gọi E HC= ∩ADthế thì tam giác HAE cũng vuông cân và do đó suy ra
0.25
Trang 4Suy ra CE=2a 2 =d D HC( ; ) =d D SHC( ;( ) )y ra 1( ) 2
4 2
ABCD
(đ.v.d.t.) Vậy
3 D
a
V
VI.a
1
Ta có: 3(a 2 + b 2 + c 2 ) = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 )
= a 3 + b 3 + c 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca 2
mà a 3 + ab 2≥ 2a 2 b
b 3 + bc 2≥ 2b 2 c
c 3 + ca 2≥ 2c 2 a Suy ra 3(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 3(a 2 b + b 2 c + c 2 a) > 0
0.25
Suy ra VT a2 b2 c2 ab bc ca2 2 2
+ +
≥ + + +
+ +
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Đặt t = a 2 + b 2 + c 2 , ta chứng minh được t ≥ 3.
VT t
−
≥ + = + + − ≥ + − = ⇒ VT ≥ 4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
0.5
ptđt AB đi qua M(-3;-2) có dạng ax+by+3a+2b=0 Đuờng tròn (C) có tâm I(2;3) và bán
kính R= 10 nên 10 | 2a 3b2 3a2 2 |b 10(a2 b2) 25(a b)2
+ + +
⇔ (a+3 )(3b a b+ = ⇔ = −) 0 a 3b hay b= − 3a
TH1: AB: x- 3y-3 = 0, gọi A(3t+3; t)⇒t>-1 và do IA2=2.R2=20⇒ t = 1, t = -1 (loại)
TH2: AB: 3x-y+7=0, gọi A(t; 3t+7)⇒t>0 và do IA2=2.R2=20⇒ t = 0, t = -2 (không thoả
2
+ ) Ta có: uuurAB=(2; 2; 2),− uuurAC=(0; 2; 2) Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực
của AB, AC là: x y z+ − − =1 0,y z+ − =3 0 0.25
+) Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là nr=uuur uuurAB AC, =(8; 4; 4).− Suy ra (ABC):
+) Giải hệ:
+ − = ⇒ =
− + + = =
Suy ra tâm đường tròn là I(0; 2;1) 0.25
Bán kính là R IA= = − −( 1 0)2+ −(0 2)2+ −(1 1)2 = 5 0.25
VII.a
21
20 (1 ) 1
i
+ −
10
(1 )+i =(1 )+i (1 ) (2 ) (1 )+ =i i + = −i 2 (1 )+i
0,25
10
10 10
2 (1 ) 1
i
i
Vậy: phần thực −210 , phần ảo: 210+1 0,25
Ta có: d1 ∩d2 =I Toạ độ của I là nghiệm của hệ:
Trang 51
=
=
⇔
=
− +
=
−
−
2 / 3 y
2 / 9 x 0 6 y x
0 3 y x
Vậy
2
3
; 2
9 I
M là trung điểm cạnh AD ⇒M=d1∩Ox Suy ra M( 3; 0)
0.25
2
3 2
9 3 2 IM 2 AB
2 2
=
+
−
=
=
2 3
12 AB
S AD 12
AD AB
Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d1 ⇒d1 ⊥AD
Đường thẳng AD có PT: 1(x−3)+1(y−0)=0⇔x+y−3=0 Lại có:
2 MD
0.25
Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT:
= +
−
=
− +
2 y
3 x
0 3 y x
2 2
±
=
−
−
=
⇔
=
− +
−
+
−
=
⇔
= +
−
+
−
=
⇔
1 3 x
x 3 y 2 ) x 3 ( 3 x
3 x y 2 y 3 x
3 x y
2 2
2 2
=
=
⇔
1 y
2 x
hoặc
−
=
=
1 y
4 x
Vậy A( 2; 1), D( 4; -1)
0.25
2
3
; 2
9
I là trung điểm của AC suy ra:
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
2 1 3 y y 2 y
7 2 9 x x 2 x
A I C
A I C
Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4)
Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)
0.25
2
Ta có uuurAB=(2; 3; 1),− − uuurAC= − − − ⇒ =( 2; 1; 1) nr (2; 4; 8)− là 1 vtpt của (ABC) 0.25 Suy ra pt (ABC) là (x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = 0 hay x + 2y – 4z + 6 = 0 0.25
M(x; y; z) MA = MB = MC ta có + +22x x y z−3y z− − =2 0=0
0.25
M thuộc mp: 2x + 2y + z – 3 = 0 nên ta có hệ, giải hệ được x = 2, y = 3, z = -7 0.25
VII.
b
Đặt z x yi= + x, y( ∈¡ Ta có )
− = − +
⇔ + − = + − + +
0.5
2 2 0 0 2
x x
=
⇔ =
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là 2 đường thẳng x=0,x=2
0.5