TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN 2
Môn: TOÁN; Thời gian làm bài 180 phút
Câu 1:
( 2,0 điểm)
a) (1,0 điểm)
10 Tập xác định: D= R \ 1{ }
20.Sự biến thiên:
* Giới hạn, tiệm cận: Ta có
1
lim
x
y
-
®
= +¥ và
1
lim
x
y
+
®
= -¥ Do đó đường thẳng x = 1 là
tiệm cận đứng của đồ thị (H).
Vì lim lim 1
= = nên đường thẳng y = là tiệm cận ngang của đồ thị (H).1
* Chiều biến thiên: Ta có ' 1 2 0
( 1)
y
x
= >
- , với mọi x ¹ 1. Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-¥ ;1) , (1;+¥ )
* Bảng biến thiên:
y
30Đồ thị:
0,5
0,5
b) (1,0 điểm)
Ta có:
( )2
1 ' 1
y
x
=
- , với mọi x ¹ 1
Vì tiếp tuyến có hệ số góc k = nên hoành độ tiếp1 điểm là nghiệm của phương trình
( )2
1 1 1
x - = hay ( )2
1 1
x - = Û 0
2
x
x
=
é
ê = ë
*) Với x = ta có phương trình tiếp tuyến0 y= + x 2
*) Với x = ta có phương trình tiếp tuyến2 y= - x 2 Vậy có hai tiếp tuyến là: y= + vàx 2 y= - x 2
0,5
0,5
Câu 2:
( 1,0 điểm)
a) (0,5 điểm)
Rõ ràng cos a ¹ , chia cả tử số và mẫu số của 0 A cho 3
cos a ta được
0,5
b) (0,5 điểm)
2 1 2
i
i
-
1
z
i
+ + là số thực nên ta có b = 1 Khi đó z = Û + = Û 2 a i 2 a2+ = Û = ± 1 2 a 3
0,5
Đồ thị (H) cắt trục Ox tại (2 ; 0), cắt Oy tại (0 ; 2), nhận giao điểm I(1 ; 1) của hai
đường tiệm cận làm tâm đối xứng
Tham gia ngay Group: Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH -> www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
Trang 3Vậy số phức cần tìm là z = 3 + và i z = - 3 + i
Câu 3:
( 0,5 điểm)
Bất phương trình đã cho tương đương với
2
2 2x - x > 2x Û 23x+ - 1 x2 > 2x Û 3 x + - 1 x2 > x
2
Câu 4:
( 1,0 điểm)
*) Điều kiện 4- x2 ³ Û - £ £0 2 x 2
Phương trình đã cho tương đương với
x+ - x = x - x- x - x + (1)
x + - x = + x - x ³ , với mọi x Î - [ 2; 2]
x + - x ³ , với mọi x Î - [ 2; 2] (2) Dấu đẳng thức ở (2) xảy ra khi và chỉ khi x = ,0 x = ± 2
Đặt 3( x2- 2x)2 = Dễ dàng có được t t Î - [ 1; 2], với mọi x Î - [ 2; 2] Khi đó vế phải của (1) chính là 3 2
f t = - t t + , t Î -[ 1; 2]
0
3
t
f t t t
t
=
é
ê
= - = Û
ê = ë Hơn nữa, ta lại có f - = - ,( 1) 1 f (0)= ,2 f 4 22
3 27
æ ö
=
ç ÷
è ø
, f ( )2 = 2 Suy ra f t £ ( ) 2 với mọi t Î - [ 1; 2]
Do đó x2- 2x- 23( x2- 2x )2 + £ 2 2 với mọi x Î - [ 2; 2] (3) Dấu đẳng thức ở (3) xảy ra khi và chỉ khi x = ,0 x = ± 2
Từ (2) và (3) ta có nghiệm của phương trình (1) là x = 0, x = ± 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0, x = ± 2
0,5
0,5
Câu 5:
( 1,0 điểm)
Chú ý rằng x ln 3 ( x + ³ , với mọi 0 1 ) 0 £ £ Khi đó diện tích hình phẳng cần x 1
1
0
S = ò x x + dx
Đặt u = ln 3 ( x + , 1 ) dv = xdx Suy ra du 3
3 x 1 dx
=
2 1 2
v = x
Theo công thức tích phân từng phần ta có
2
0
x
1 2
0
æ
0,5
0,5
Câu 6:
( 1,0 điểm)
Gọi H là trung điểm BC Từ giả thiết suy ra
C H ^ ABC Trong DABC ta có
2 0
.sin120
ABC
a
S = AB AC =
2 2 2 2 cos1200 7 2
BC = AC + AB - AC AB = a
7
Trang 4Þ ' 'C2 2 3
2
a
C H = C - CH = Thể tích khối lăng trụ
3
3 '
4
ABC
a
V = C H S =
Hạ HK ^ AC , Vì C H' ^ ( ABC )Þ đường xiên '
C K^ AC Þ ( ( ABC) ( , ACC A' ') ) = C KH ·' (1) (D C HK ' vuông tại H nên · C HK < ' 900)
Trong tam giác HAC ta có 2 3
2
HAC ABC
HK
AC AC
tanC KH' C H 1
HK
= = Þ · C KH = ' 450 (2)
Từ (1) và (2) suy ra ( ( ABC) ( , ACC A ' ') )= 450
Ghi chú: Thí sinh có thể tính độ dài AH và suy ra DAHC vuông tại A để suy ra K º A
0,5
Câu 7
(1,0 điểm)
Gọi M là trung điểm BC Phương trình GE hay
AM là 4 x- 7y = 0 Û 3 7
2 4
= +
ì
í
= + î
Gọi M( 3 7 ; 2+ m + 4m ) Ta có
( 7 2; 4 4)
IM = m+ m +
uuur
; FM = ( 7m- 6; 4m + 3)
uuuur
Vì IM ^ FM nên IM FM = uuur uuuur 0
Û( 7m+ 2 7)( m- 6) ( + 4m+ 4)( 4m + 3)= 0
Û m = 0 Suy ra M( 3; 2) Giả sử A( 3 7 ; 2+ a + 4a ) Vì GAuuur = - 2GM uuuur
ta được a = - 1, suy ra A - - ( 4; 2) Suy ra phương trình BC x: + 2y - = Þ 7 0 B( - 2b+ 7;b)Î BC ( điều kiện b < 2)
Vì IB= IA nên ( ) ( 2 )2
2b 6 b 2 25
- + + + = Û 1
3 (loai)
b
b
=
é
ê = ë Suy ra B ( )5;1 Þ C( )1; 3 (Vì M là trung điểm BC).
0,5
0,5
Câu 8
(1,0 điểm)
Đường thẳng D có vtcp u uur D = ( 1; 1; 2- )
và A ( 2;1;1)Î D Þ MA = uuur ( 4; 0;1)
Þ vtpt n P = éu MA D , ù = - ( 1;7; 4)
ë û
uur uur uuur
Suy ra ( ) : 1P - ( x+ 2) + 7( y- + 1) 4z = Û 0 x- 7y- 4z + =9 0
N Î D Þ N t( + - + 2; t 1; 2t + 1) Khi đó ( ) 2 2 ( )2
MN = t+ + - t + t + =
Û6t2+ 12t+ = Û = - Suy ra 6 0 t 1 N ( 1; 2 1- )
0,5
0,5
Câu 9
(0,5 điểm)
Số cách lấy hai viên từ hộp là 2
C12 =66
Số cách lấy ra hai viên bi gồm 1 viên màu xanh, 1 viên màu đỏ và khác số là 4.4 =16
Số cách lấy ra hai viên bi gồm 1 viên màu xanh, 1 viên màu vàng và khác số là 3.4=12
Số cách lấy ra hai viên bi gồm 1 viên màu đỏ, 1 viên màu vàng và khác số là 3.3 = 9 Như vậy số cách lấy ra hai viên từ hộp vừa khác màu vừa khác số là 16 + 12 + 9 = 37
Suy ra xác suất cần tính là: 37 0,5606
66
P = »
0,5
Tham gia ngay Group: Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH -> www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
Trang 51,0 điểm) Giả sử z = min{ x y z , , } Đặt 0
2
x+ = ³ ,u 0
2
y+ = ³ Khi đó ta cóv
2
2
z
x + z £ æ ç x+ ö ÷ = u
è ø ,
2
2
z
y + z £ æ ç y+ ö ÷ = v
è ø
(1)
x + y £ æ ç x+ ö ÷ + æ ç y+ ö ÷ = u + v
è ø è ø Chú ý rằng với hai số thực dương u v ta luôn có,
u+ ³ v u+ v và 2 2 ( )2
u + v ³ u+v (2)
Từ (1) và áp dụng (2) ta được
x + y + y + z + z + x ³ u + v + u + v
2
Mặt khác ta có
( x + 1 )( y + 1 )( z + = 1 ) xyz + ( xy + yz + zx ) ( + x + + y z ) + 1
2
Từ (3) và (4) suy ra
5 2
Đặt x + + = > Xét hàm số y z t 0 ( ) 102 5 , 0
2
t
2
t
Suy ra f t '( ) = Û = , 0 t 2 f t '( ) > Û > , 0 t 2 f t '( ) < Û < < 0 0 t 2
2
2
P ³ Dấu đẳng thức xảy ra khi x = = y 1, z = hoặc các 0
hoán vị Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 25
2 .
0,5
0,5
Tham gia ngay Group: Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH -> www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan Truy c p ngay http://dethithu.net đ download thêm các đ thi th Đ i H c - THPT Qu c Gia đ y đ các môn c a các trư ng THPT và trung tâm luy n thi đ i h c trên c nư c đư c DeThiThu.Net
sưu t m và c p nh t h ng ngày t i website