TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỶ

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN I-Nguyên hàm các hàm hữu tỷ 1/Nguyên hàm các hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất và công thức nguyên hàm các hàm số thường gặp để tính

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN

I-Nguyên hàm các hàm hữu tỷ

1/Nguyên hàm các hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất và công thức nguyên hàm các hàm số

thường gặp để tính

Ví dụ 1 : Tính I = =

2/Nguyên hàm các hàm số phân thức :Ta tìm cách tính các nguyên hàm dạng

I = Trong đó h(x) , g(x) là các đa thức biến số x

*1.Nếu bậc của tử thức cao hơn hay bằng bậc mẫu thức thì chia đa thức ,tách hàm số thành tổng hai hàm số

: một hàm số đa thức và một hàm phân thức có bậc của tử thức nhỏ hơn bậc mẫu thức ,hoặc tử thức là hằng số :

= q(x) + .Trong đó q(x) , r(x) là các đa thức Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số.Hàm số

y = nếu có thể được thì biến đổi y = = + với bậc p(x) bé hơn bậc r(x) họăc p(x) là hằng

Như vậy ta chỉ cần phải nghiên cứu cách tính các nguyên hàm I = , I = Bậc r(x) , bậc p(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) p(x) là hằng số

*2 Tính các nguyên hàm I = Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số

Ví dụ2 : I = = = ln(5x+3) + C

Ví dụ3 : I = = = + C

+ Dạng III: với a , h(x) là nhị thức bậc nhất hoặc là hằng số

I3 = .Tùy vào sự có nghiệm hay vô nghiệm của g(x) = ax2+bx+c Ta chỉ

cần xét với a = 1 Vì nếu a thì ở mẫu thức lấy a làm nhân tử ,đưa hằng số ra ngoài dấu tích

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN

phân.Có I3 = = Với b1 = , c1 =

Xét I3 =

a -Nếu x2+bx+c = (x- x1)(x- x2) Thì dùng phương pháp “hệ số bất định” tìm 2 số A , B sao

cho : = +

Do đó : I3 = = A + = Aln(x-x1)+Bln(x-x2) + C

Ví dụ 4: I = = - = ln + C

Vídụ 5: I = = dx =

b -Nếu x2+bx+c = (x- x0)2 (x0 là nghiệm kép của mẫu thức )

Hai trường hợp :

* Trường hợp h(x) là hằng số a,ta có : I3 = = = - + C

(Dạng I2 khi = 2 Dạng đặc biệt,hay gặp ,nên nhớ)

*Trường hợp h(x) = px+ q là nhị thức bậc nhất (Với p 0)

Biến đổi: = = + Do đó ta có:

= - 8 = 3.ln + + C

c -Nếu x2+bx+c = 0 vô nghiệm

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN

Ta biến đổi: = = +

= + C + (q - )

Nguyên hàm : J = dạng I = , với u = x + và a =

Nguyên hàm I = Đặt u = atant ,Thì: du = a(1 + tan2t)dt và u2+a2 = a2(1 + tan2t) Ta có:

I = = = = + C

+ Dạng IV : I4 = Trong đó h(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn 3 hoặc h(x) là hằng số

a-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c có 3 nghiệm phân biệt , x3

+ax2+bx+c = (x – x1)(x – x2)(x – x3) Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho :

= + + Do đó :

b-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x- x1)(x- x0)2 với x1 x0 (1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn)

Thì bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = +

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN

= A.ln + ln + (Bx0-C) + D

c-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x- x1)(x2+px + q) , trong đó x2+px+q = 0 vô nghiệm

Thì Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho :

= +

= A.ln + .ln + (C - ) + D

Nguyên hàm : J = = (Đã nói rõ ở Dạng III:c-Nếu mẫu thức vô nghiệm)

d-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x – x0)3 Bằng phương pháp hệ số bất định tìm các số A B,

C sao cho : = + + Do đó ta có :

-Nếu h(x) là hằng số A thì : = = A = + C

Do đó: I4 = = + .Với p1= p- ; q1= q -

Nguyên hàm dạng : j = đã nêu rõ ở trên

Bài tập: Tính nguyên hàm

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN

b/ Tính nguyên hàm của f(x) = 1:( ) .Chú ý:

c/ I = Chú ý: = (2x-1)(x2+4x+4)

d/ I = Chú ý: = (3x-2)(x2+2x+3)

g/ I= Chú ý: = (x-2)(x2+4x+4)

b/ I = Chú ý: = (2x-1)(x2+4x+4)

c/ I = Chú ý: =(x-1)(x-2)(x-3)

d/ I = Chú ý : = (x+1)(x2-x+1)

Hướng dẫn : Tìm các số A,B,C,D,E để = + +

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN

11 I = I = I = I =

II.Nguyên hàm các hàm số Lượng giác

1.Nguyên hàm hàm hợp

1/ I = = = sin(ax+b) +C

2/ I = = = - cos(ax+b) +C

3/ I = = = tan(ax+b) + C

4/ I = = = cot(ax+b) + C

2 Nguyên hàm của hàm số f(x) = cos m

x.sin n x Trong đó m,n là các số nguyên dương

1/ Nếu số mũ của cosx lẻ (m là số lẻ) thì đặt sinx = t Ngược lại nếu số mũ của sinx lẻ

(n là số lẻ) thì đặt cosx = t.(Nếu m và n đều là số lẻ thì đặt cosx = t hoặc sinx = t đều được)

- Đặt sinx = t Ta có I = = = - + C

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN

- Chú ý :Có thể hạ bậc biến đổi tích thành tổng đưa nguyên hàm của f(x) = cosmx.sinnx về nguyên hàm hàm hợp.Chẳng hạn ví dụ 1 ở trên ta giải cách 2:

= = - cos3x - cosx + C

Ví dụ 2 : I =

- Đặt sinx = t Ta có I = = I = = =

Ví dụ 3 : I = (Mặc dù đặt sinx = t cũng được nhưng cosx ở mẫu thức ,đặt cosx = t)

-Đặt cosx = t.Ta viết I = = I = = I =

= = t2 - ln +C

Ví dụ 4 : I = = = - = - ln + C (Đã đặt cosx = t)

2/ Nếu số mũ của cả cosx và sinx đều là số chẵn (m và n đều chẵn)

*Nếu f(x) = cos m

x.sin n x Trong đó m và n đều là số tự nhiên chẵn thì hạ bậc biến đổi tổng thành tích đƣa

về nguyên hàm hàm hợp

= -

= x + sin2x - sin4x - sin6x - sin2x + C

= x + sin2x - sin4x - sin6x + C

*Nếu f(x) = , đặt tanx = t ;Nếu f(x) = Đặt cotx = t (Với m và n đều là sỗ chẵn )

Ví dụ 6 : I =

= - = tanx – x + C (Đã đặt tanx = t)

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN

Ví dụ 7 : I = (Vì mẫu thức là sin2x,chính là mẫu thức của cot2x nên ta đặt cotx = t)

-Ta có : I = = I = = - d(cotx) = - cot3x + C

(Thực chất đã đặt cotx = t nhưng viết tắt cho gọn thôi)

Ví dụ 8 : I = (Vì mẫu thức là cos2x,chính là mẫu thức của tan2x nên ta đặt tanx = t)

= tanx + sin2x - x + C

3 Nguyên hàm của hàm số f(x) = Với h(x) và g(x) là các biểu thức bậc nhất của sinx,cosx

*Nếu thay cosx bởi (-cosx) mà hàm số đổi dấu thì đặt sinx = t

*Nếu thay sinx bởi (-sinx) mà hàm số đổi dấu thì đặt cosx = t

*Nếu thay cosx bởi (-cosx) và sinx bởi (-sinx) mà hàm số không đổi thì đặt tanx = t hoặc cotx = t -Có những bài dùng phương pháp liên kết

1/ Nếu thay cosx bởi (-cosx) mà hàm số đổi dấu thì đặt sinx = t

= - = … (Nguyên hàm Hàm số hữu tỷ)

2/ Nếu thay sinx bởi (-sinx) mà hàm số đổi dấu thì đặt cosx = t

= -2 =…

3/Nếu thay cosx bởi (-cosx)và sinx bởi(-sinx) mà hàm số không đổi thì đặt tanx = t hoặc cotx = t

Ví dụ11: I = (Đặt tanx = t thì dx = , sinx = cosx = )

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN

= = (Dạng Với u = 1 + tanx)

4/Nếu không thỏa mãn một trong 3 dấu hiệu trên thì đặt t = tan Ta có dt = (1+ tan2 ).dx

Nên dx = , và có sinx = , cosx =

Ví dụ 12 : Tính nguyên hàm I =

Đặt t = tan Ta có : dt = (1+ tan2

).dx Nên dx = , và có sinx = ,cosx =

Do đó :

5/Tính nguyên hàm : I =

-Tách tử thức thành một tổng: có một số hạng là đạo hàm của mẫu thức Ta viết :

Tính : J = .dx xét các dấu hiệu như đã trình bày ở trên Nếu không thỏa mãn

dấu hiệu nào(trong 1/ , 2/ , 3/) thì đặt t = tan

6/ Nguyên hàm của f(x) = cosax.cosbx , f(x) = cosax.sinbx , f(x) = sinax.sinbx :

-Biến đổi tích thành tổng , đưa về nguyên hàm của hàm hợp

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN

=

= =

= - .cos9x + cos7x - cos3x + cosx + C

******************************************************************************

Bằng cách đổi biến số, đưa nguyên hàm của hàm số vô tỷ về nguyên hàm hàm số hữu tỷ hoặc hàm số lượng giác.Ta tiến hành với một số dạng sau đây

1.Nguyên hàm của hàm số chỉ chứa x và một căn thức :

- Thông thường: Đặt căn đó là t hoặc biểu thức trong căn là t

Ví dụ 1 : I = .dx

- Đặt = t Ta có x + 2 = t2 nên dx = 2t.dt và = (t2 – 1).t

Do đó : I = .dx = I = = 2

Cách 2 : Đặt (x+2) = t thì dx = dt , (x + 1) = (t – 1)

Do đó : I = = = - + C

Ví dụ 2 : I =

-Đặt = t , x + 1 = t2 nên dx = 2t.dt và =

-Do đó : I = 2 = 2 = …(Đây là nguyên hàm của hàm hữu tỷ)

2.Nguyên hàm của hàm số phân thức chứa nhiều căn,bậc khác nhau :bậc m, n …mà biểu thức trong căn giống nhau : Đặt căn bậc r là t với r là BSCNN của m,n …

Ví dụ 4 :

I = Đặt = t , ta có x + 1 = t6 nên dx = 6 t5dt, = t3, = t2

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN

Do đó : I = = 6 (đây là nguyên hàm hàm hàm số hữu tỷ)

3.Nguyên hàm của hàm số phân thức chỉ chứa x và

với a,b,c R , a 0:

-Đổi biến số đưa về nguyên hàm của hàm số Lượng giác (Đã nói trên)

-Ta có = Gọi (x + ) = u và = =

Hai trường hợp :

2/Nếu < 0 : = (a > 0 , vì < 0 nên a > 0 căn thức mới có nghĩa ) Như vậy , bao giờ cũng đưa được về một trong 3 trường hợp sau :

*1 Hàm số chứa u và , đặt u = tant

*2 Hàm số chứa u và , đặt u =

*3Hàm số chứa u và , đặt u = .sint

Đưa về nguyên hàm các hàm số Lượng giác đã nói ở trên

Một số trường hợp riêng :

1/ Tính I1 = Đặt t = x + + (không quan tâm tới dấu dương ,âm )

-Ta sẽ có : I = =

Cách 2 : Tính : I =

Đặt x +1 = 2.tant Ta có : dx = 2.(1 + tan2

t).dt và = Do đó

I = = (1+ tan2t).dx =

= A + (B - ) = A +(B - )I1

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN

(Trong đó: I1 = Đặt t = x + + nói ở trên )

(Tính Xem ví dụ 5 ngay phía trên)

3/Tính I3 = Đặt (x – d ) = đưa về dạng I1nói trên

Ví dụ 7 : Tính : I =

Đặt x-2 = thì dx = - dz , (x -2) = . =

Do đó : I = = = - (Giả sử z > 0,Nếu z <0 thì?)

(Tính Ví dụ 5 ở phía trên)

4/ Tính I4 = Trong đó Pn(x) là đa thức biến số x , có bậc n

Cách giải : Đưa về dạng I = Qn-1(x) + I1

Giả sử : I4 = = Qn-1(x) + (*)

Với Qn-1(x) là đa thức biến số x ,bậc (n-1) và là số thực bất kỳ

Lấy vi phân hai vế của (*) và đồng nhất các hệ số của những đa thức do vi phân có được, ta sẽ tìm được các hệ

số của đa thức Qn-1(x) và hệ số Cuối cùng chỉ cần phải tính I1 =

(đặt t = t = x + + như đã nói rõ ở trên )

Ví dụ 8 :

Tính tích phân I = (Ở đây P2(x) = x2-1 Vì n = 2, Q1(x) = ax + b )

Lời giải:

Gỉa sử : = (ax+b) +

- Ta phải tìm các hệ số: a, b,

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN

- Lấy đạo hàm hai vế …… (Đã nói ở trên)

8/* (Tp từng phần) ; ; .sinxcos3x.dx ; .cos2x.dx

10/ ; (Với a,b dương) ; Chứng minh + = 1(Với tana>0)

11/Cho y=f(x) xác định ,liên tục trên , có f(0)>0 và >0 Chứng minh phương trình f(x) = sinx

Có ít nhất một nghiệm trên đoạn

13/ .cos22x.dx ; .cos22x.dx ; dx;

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN

14/ ; ; Tìm nguyên hàm của f(x) = ; cos4x.dx

15/ -sinxcosx-co x).dx ; ; dx ;

16/Chứng minh rằng : < dx < 2 ;Tính: ,

BÀI TẬP VỀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ

1/Chứng minh rằng : Nếu y = f(x) là hàm số chẵn , a > 0 thì = 2

Bài giải :

Xét I = Đặt t = -x thì : dx = -dt Do f(x) là hàm chẵn nên f(-x) = f(x) tức là f(t) = f(x)

Vậy f(x)dx = - f(t)dt Khi x = - a thì t = a , Khi x = 0 thì t = 0

Suy ra : = = =

Vì thế = + = + = 2 (đpcm)

2/Chứng minh rằng : Nếu y = f(x) là hàm số lẻ , a > 0 thì: = 0

Bài giải :

Xét I1 = Đặt t = -x thì : dx = -dt Do f(x) là hàm lẻ nên f(-x) = -f(x) tức là f(x) = -f(t)

Vậy f(x)dx = f(t)dt Khi x = - a thì t = a , Khi x = 0 thì t = 0

Suy ra : = = - = -

Vì thế = + = - + = 0 (đpcm)

Áp dụng : Tính I1 = (Hàm chẵn) Tính I2 = (Hàm lẻ)

3/Chứng minh rằng : Nếu y = g(x) là hàm số chẵn ,a > 0 thì : .dx= dx

Bài giải :

Xét I1 = .dx Đặt t = -x thì : dx = -dt Vì g(x) là hàm chẵn nên g(-x) = g(x) Tức là g(t)=g(x)

Vậy g(x)dx = - g(t)dt Ta có : = = Khi x = -a , t = a Khi x = 0 , t = 0

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN

Suy ra : I1 = .dx = .dt = = dx

= (đpcm)

Áp dụng : Cho g(x) = sinx.sin2x.cos5x Tìm họ nguyên hàm của y = g(x) Tính I =