tempfile_105110.doc Thái MinhTích phân hàm số vô tỷ dạng đơn giản 1.
Trang 1tempfile_105110.doc Thái Minh
Tích phân hàm số vô tỷ dạng đơn giản
1 Dạng : R[x;n1(axb)m1;n2 (axb)m2 , ]dx đặt ax + b = ts trong đó s là BCNN(n1;n2;…)
Ví dụ: Tính:
C x
x x x C t
t t t
C t
dt t
t t dt t t t dt t
t dt
t t
t I
dt t dx t
x đăt x x
dx I
| 1
| ln 6 6 3 2
| 1
| ln 6 6 3 2
1 6 6 2 6 3 6 ) 1
1 1 (
6 1 6 6
6 :
6 6
3 2
3
2 3 2
3 2
3 5
5 6
3
2 Dạng:
bx c ax
dx
2 đưa tam thức bậc hai về dạng bình phương đúng rồi đưa về các tích
k x
dx C
a
x x
a
dx
2 2 arcsin ; 2 ln| 2 |
x
dx x
dx
13ln| 32|
3
2 3
1 2
3 Dạng:
;
2 dx
c bx ax
B Ax
Ta tách tử số ra đạo hàm của mẫu trong căn và phân tích thành
tổng hai tích phân thuộc các dạng đã biết
c bx ax
dx a
Ab B c bx ax
c bx ax d a
A dx c bx ax
a
Ab B b ax a
A dx
c bx
ax
B Ax
2 2
2 2
2 ( ) (
2 2
) 2 ( 2
;
Ví dụ:
C x
x x
x x
dx x
x
x x
dx x
x
x x d dx x x
x dx
x x
x
I
4
1 ) 2
5 ( 2
5
| ln 2
9 6 5
1 6
4
25 ) 2
5 ( 2
9 6 5
1
6 5 2
9 6 5
) 6 5 ( 2
1 6 5
5 4 5 2 2
1 6 5 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
4 Dạng:
k ax bx c x
dx
2 )
t
1
đưa tích phân này về dạng đã biết
Ví dụ:
C x
x C
t t t
dt I
dt t
dx t x đăt
x
x
dx
1 : 1 1 ; 1 ln| 1 ln|1 12 1|
2 2
2 2
5 Dạng:
dx c bx ax
x
P n
2 ) (
trong đó Pn(x) là đa thức bậc n Sử dụng đồng nhất thức sau:
dx λ
c bx ax x Q dx c bx
ax
x
P
n n
2
2 1
x x
x x x
22 2324
2 3
2 2 2
2 )
( 2
2
4 3 2
2 2
2 2
2 3
x x
dx λ
x x c bx ax dx x
x
x x x
Lấy đạo hàm cả hai vế:
1
Trang 2-tempfile_105110.doc Thái Minh
λ x c bx ax x
x b ax x
x
x
x x
λ x x
x c bx ax x
x b ax x
x
x x
x
) 1 )(
( ) 2 2 )(
2 ( 4 3 2
2 2
1 2
2
1 )
( 2 2 )
2 ( 2 2
4 3 2
2 2
2
3
2 2
2 2
2
2
3
Đồng nhất hệ số ta có:
2
5
; 6
7
; 6
1
; 3
1
b c λ a
x x
x x x
2 3
}
|
|
ln 2
2 x x k C k
x dx
6.Dạng: x m(abx n)p dx Trong đó m;n;p là các số hữu tỷ
+ Nếu p là số nguyên đặt x = ts , với s là BSCNN của các mẫu số các phân số m; n đưa được tích phân
về dạng tích phân hữu tỷ
+ Nếu
n
m 1
là số nguyên, đặt a + bxn = ts với s là mẫu số của p
n
m
1
là số nguyên Đặt ax-n + b = ts, với s là mẫu số của p
Ví dụ:
C x x
C t t dt t t tdt
t t dx x x
x
I
tdt dx x t
x Đăt
Z có
dx x x
dx x
x I
3 3 5
3
3 5 2
4 2
2
1 3
1 3
1
3
2
3
2 2
3 1
2
1 3
1 3
1 3
3
) 1 ( 2 ) 1
(
5
6
3
6 5 6 ) (
6 2 ) 1 ( 3 )
1 (
.
2 3
1
; 1
:
2 3 1
1 3
1 :
; ) 1 (
1
.
Bài tập
1
x
x x
I
1
1 1
4
2 2
1 )
1 ( ) 2
2
2 x x
dx
2 3 )
3
2
x
dx I
x
x
I
n n
2
1
).
).
1 )
1 ( ).
6
2
2 x x
xdx I
2 ).
7
2 x
x
xdx
x x
xe I
x
2 2
arctan 1 ) 1 ( )
x
x I
1
1 ).
9
x x
x I
1 8 2
3 5 ).
10
1 ).
11
2
4 x x
dx I
x
x
).
12
dx x x x
I 3 2
).
2 0
2 sin 1 ).
14 I x dx xπ
2