Tìm các số nguyên x để A có giá trị là số nguyên.. Gọi O là trọng tâm của ADE, EO cắt AB tại K, I là trung điểm của CD.. Tính các góc của OIB.. Đờng thẳng qua O song song với AB, cắt A
Trang 1UBND huyện Đông Hng Đề kiểm tra chọn nguồn HSG Môn Toán lớp 8
Phòng Giáo dục năm học 2005-2006
(Thời gian làm bài 90 phút)Thời gian làm bài 90 phút))
Đề bài
Câu 1(Thời gian làm bài 90 phút) 5điểm ) : Cho A [
9
7 : ) 3
9 )(
81
5 18
81
7 (
9
2 2
x
x x
x x
x x x
x x
x
a Rút gọn A
b Tìm các số nguyên x để A có giá trị là số nguyên
Câu 2 (6điểm ) Chứng minh rằng :
a Nếu abc2 = 3.(ab + bc +ca) thì a = b = c
b Nếu
c
z y x b
y x z a
x z
2
và (a ; b ; c ; 2b + 2c –a ; 2c +2a – b ; 2a + 2b – c đều khác 0)
Thì
c b a
z b
a c
y a
c b
x
2
Câu 3(Thời gian làm bài 90 phút) 3điểm) Giải phơng trình :
1 2006
20052005 2006
x
Câu 4(Thời gian làm bài 90 phút) 4điểm ) :
Cho ABC đều, trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho
BD = CE Gọi O là trọng tâm của ADE, EO cắt AB tại K, I là trung điểm của
CD
a Chứng minh : AOB KOI
b Tính các góc của OIB
Câu 5(Thời gian làm bài 90 phút) 2điểm) :
Cho hình thang ABCD(AB//CD) , Giao điểm hai đờng chéo là O Đờng thẳng qua O song song với AB, cắt AD và BC lần lợt tại M và N Chứng minh :
MN
CD
AB
2 1
1
đáp án , biểu điểm môn toán lớp 8 chọn nguồn HSG
Câu 1 (5điểm)
a.(2,5điểm) Rút gọn A
7 : 3
9 9
5 3
9 )
9 (
7 9
7
2
2 2
2 2
2 2
x
x x
x x
x x
x x
x
x
x
( 0,5diểm)
=
7 : 3 9
9 5 3
7 9
7
2 2
x
x x
x
x x x
x
x
x
(0,5điểm)
7 : 3
9
9 5 9
7 3
7
2 2
x
x x
x
x x x
x x
x
(0,25điểm)
Trang 2=
7 : 3
9
45 4 63
16 3
7
2
2 2
2
x
x x
x
x x x
x x
x
(0,5điểm)
7 : 3
9
3 2 3
7
2
2 2
x
x x
x
x x
x
(0,25điểm)
=
9 3
9
9 3
2 2
x
x x
x
x
x
(0,25điểm)
=
7
9
x
x
(0,25điểm)
b.(2,5 điểm) Tìm các số nguyên x để A có giá trị là số nguyên.
ĐK : x 9 ; x 3 ; x 7 (0,5điểm)
A =
7
9
x
x
= 1 +
7
2
Để A nguyên thì
7
2
x nguyên => Do x là số nguyên => x + 7 là ớc của 2 ; 2 = ( 1 ; 2
)
(0,5điểm)
số nguyên (0,5điểm)
Câu 2 (6điểm)
a.(Thời gian làm bài 90 phút)2,5 điểm) Chứng minh rằng : Nếu abc2 = 3.(ab + bc +ca)
Thì a = b = c
abc2 = 3.(ab + bc +ca) (0,5điểm)
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 + 4ab + 4bc + 4ca = 6ab + 6bc + 6ca (0,5điểm) => 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab – 2bc – 2ca = 0 (0,5điểm)
b.(Thời gian làm bài 90 phút)3,5 điểm) Chứng minh rằng nếu
c
z y x b
y x z a
x z
2
Và a ; b ; c ; 2b + 2c –a ; 2c +2a – b ; 2a + 2b – c đều khác 0
Thì
c b a
z b
a c
y a
c b
x
2
Đặt :
c
z y x b
y x z a
x z
2
c
z y x b
y x z a
x z
y
2
2 4 4 2
2 4
4
(0,25điểm)
c b a
z y x y x z x z
y
2 2
2 2 2 4 4 2 4
4
(0,25điểm)
c b
a
z
2
2
9
=>
9 2
2
k c b a
z
b
y x z a
x z y c
z y x
2
(0,25điểm)
b
y x z a
x z y c
z y
x
2
2 4 4 2
2 4
4
(0,25điểm)
Trang 3E D
K
O
I
b a c
y x z x z y z y
x
2 2
2 2 2 4 4 2 4
4
(0,25điểm)
b a
c
y
2
2
9
=>
9 2
2
k b a c
y
Tơng tự ta có :
9 2
2
k a c b
x
Từ (*) ; (**) ; (***) =>
c b a
z b
a c
y a
c b
x
Câu 3(Thời gian làm bài 90 phút) 3đ) : Giải phơng trình x 20052005 x 20062006 1
x = 2005 ; x = 2006 Giá trị vế trái bằng giá trị vế phải và bằng 1 Vậy nghiệm của phơng trình là x1 = 2005 ; x2 = 2006 (0,5điểm)
Ta xét các trờng hợp sau :
* Nếu x < 2005 thì x 2005 > 0 và x 2006 > 1
2006
2005
* Nếu x > 2006 thì x 2005 > 1và x 2006 > 0
2006
* Nếu 2005 < x < 2006 thì 0 < x – 2005 < 1
-1 < x – 2006 < 0
=> 2005
2005
x < x 2005 = x – 2005
2006
2006
2006
2005
Vậy Phơng trình chỉ có hai nghiệm là x1 = 2005 ; x2 = 2006 (0,5điểm)
Câu 4(Thời gian làm bài 90 phút) 4đ ) : Cho ABC đều, trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E
sao cho BD = CE Gọi O là trọng tâm của ADE, EO cắt AB tại K, I là trung điểm của CD
a Chứng minh : AOB KOI
b Tính các góc của OIB
ABC (AB = BC = CD)
D AB ; E AC
BD = CE ; O – trọng tâm của ADE
EO x A = K ; ID = IC
a Chứng minh : AOB KOI
b Tính các góc của OIB
(Vẽ hình , ghi GT + KL đúng cho 0,5 điểm)
a ) Chứng minh : AOB KOI(Thời gian làm bài 90 phút)2 điểm)
Chứng minh KI là đờng trung bình của tam giác ADC => KI//AC (0,5 điểm)
=>I KˆE K EˆA300 O AˆK. (3) và KI=
2
1
AC=
2
1
AB (4) (0,5
điểm)
30
ˆK
A
2
1
OA (5) (0,5 điểm)
Từ (3), (4), (5) có OAB đồng dạng với OKI (c,g,c) (0,5 điểm)
b) Tính các góc của OIB(Thời gian làm bài 90 phút)1,5 điểm)
Từ OAB đồng dạng với OKI=> A OˆBK OˆI và
OB
OI OA OK
Trang 4Từ đó chứng minh đợc: K OˆAB OˆI và
OB
OA OI
OK
=> KOA đồng dạng với IOB (c,g,c) (0,5 điểm) => Tính đợc O IˆB 90 0 ;O BˆI 30 0 ; B OˆI 60 0 (0,5 điểm)
Câu 5(Thời gian làm bài 90 phút)2điểm)
ABCD(AB//CD) A B
GT AC x BD = O M N
KL
MN CD
AB
2 1 1
D C
(Vẽ hình, ghi GT + KL đúng cho 0, 5 điiểm)
Chứng minh :
MN CD AB
2 1 1
MN // AB //CD = > Theo Đ/Lý TaLét ta có :
AD
AM
CD
MO
;
DA
DM AB
MO
AD
AD AD
DM AM AD
DM AD
AM AB
MO CD
MO
(0,5 điểm)
Tơng tự : 1
AB
NO CD
NO
(0,25 điểm)
Vậy
CD
NO
MO
+
AB
NO
MO
= 2 <=> 2
AB
MN CD
MN
(0,5 điểm)
Chia cả 2 vế cho MN =>
MN CD AB
2 1 1
Điều phải chứng minh (0,25 điểm)