Tia Bx vuông góc với đoạn thẳng AC.. b Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AE , CD.. Gọi I là trung điểm cảu MN.. Chứng minh rằng : Khoảng cách từ điểm I đến đoạn thẳng AC không đổi khi đ
Trang 1§Ò thi häc sinh giái M«n: To¸n 8
Thêi gian lµm bµi : 150 phót.
Phần I : Đ ề bài
Câu 1 (4 đ ): Phân tích đa thức thành nhân tử :
a) x2 + 6x + 5 b) x3 + y3 + z3 – 3xyz
c) (x2 – x + 1 )( x2 – x +2 ) – 12 d) 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13x + 6
Câu 2 (4 đ ): Giải các phương trình sau :
a) b) x3 – 4x2 + x + 6 = 0
c)
Câu 3 (2 đ ): Tìm x nguyên để biểu thức : là số nguyên
Câu 4 (5 đ ): Cho đoạn thẳng AC = m Lấy điểm B bất kì thuộc đoạn AC (không trùng
với A và C) Tia Bx vuông góc với đoạn thẳng AC Trên tia Bx lần luợt lấy các điểm D
và E sao cho BD = BA , BE = BC
a) Chứng minh rằng : CD = AE và CD AE
b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AE , CD Gọi I là trung điểm cảu MN Chứng minh rằng : Khoảng cách từ điểm I đến đoạn thẳng AC không đổi khi điểm B di chuyển trên đoạn thẳng AC
c) Tìm vị trí của điểm B trên đoạn AC sao cho tổng diện tích hai tam giác ABE và BCD có giá trị lớn nhất Tính giá trị đó
Câu 5 (3 đ ): Cho tam giác ABC, M là điểm bất kì trên cạnh BC Các đường thẳng song
song với AM vẽ từ B và C cắt AC và AB tại D và E Chứng minh :
Câu 6 (2 đ ): Tìm số dư trong phép chia của biểu thức:
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2009 cho x2 + 8x + 12
PhÇn II : §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm
Trang 2Đáp án Điể
m
C
âu 1:
a) x2 + 6x +5 = x2 + x + 5x + 5 = x( x + 1) + 5(x + 1) = (x + 1)(x + 5)
b) Ta có: (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy3 + y3
=> x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 + z3 – 3xy(x + y + z)
= (x + y + z) - 3xy(x + y +z)
= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – xz)
c) Đặt t = x2 – x + 1 Khi đó :
(x2 – x + 1)( x2 – x + 2) – 12 = t(t + 1) – 12 = t2 + t – 12 = (t – 3)(t + 4)
= (x2 – x – 2)( x2 – x + 5)
d) 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13x + 6 = 2x4 + 2x3 – 9x3 – 9x2 + 7x2 + 7x + 6x + 6
= 2x3(x + 1) – 9x2(x + 1) + 7x(x + 1) + 6(x + 1)
= (x + 1)(2x3 – 9x2 + 7x + 6) = (x + 1)(2x3 – 6x2 – 3x2 + 9x – 2x + 6)
= (x + 1)[2x2(x – 3) – 3x(x – 3) – 2(x – 3)] = (x + 1)(x – 3)(2x2 – 3x – 2)
= (x + 1)(x – 3)(2x + 1)(x – 2)
1 0,25 0,25
75 , 0
C
âu 2:
a) (PT)
b) (PT) (x + 1)(x – 2)(x – 3) = 0 x + 1 = 0 hoặc x – 2 = 0 hoặc x – 3 =
0
x = -1 ; x = 2 ; x = 3.Vậy PT có tập
c) ĐKXĐ :
(PT)
Khử mẫu ta đợc:(x – 8)(x – 2) = 7
(TMĐK)
Vậy PT có tập nghiệm S =
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
C
âu 3 : Ta có: A = x2 + 3x – 1 +
Vì x Z thì x2 + 3x – 1 Z nên để A là số nguyên thì Z hay
2x + 1 Ư(4)
+) Với 2x + 1 = -1 => x = -1 (t/m) +) Với 2x + 1 = 2
0,25
0,25
Trang 3=> x = (loại)
+) Với 2x + 1 = 1 => x = 0 (t/m) +) Với 2x + 1 = - 4
=> x = (loại)
+) Với 2x + 1 = -2 => x = (loại) +) Với 2x + 1 = 4
=> x = (loại)
Vậy giá trị x = thì giá trị A là số nguyên
Câu 4:
G
T
Cho AC = m Lấy B AC; Bx
AC
D,E Bx \ BD = AB; BE = BC
MA = ME (M AE);ND = NC (N
CD)
IM = IN (I MN)
KL a) C/m: AE = CD và AE CDb) K/c từ I đến AC không đổi
c) Tìm vị trí của B\ SABE +
SBCD lớn nhất
Bài giải:
a) Gọi K là giao điểm của CD và AE
C/m đợc ABE = DBC(c.g.c) => AE = CD
Lại có: Â1 = D2 = D1 mà Â1 + Ê1 = 900 nên D1 + Ê1 = 900.Do đó: DKE =
900 hay AE CD
b) Gọi M’,N’,I’ lần lợt là hình chiếu của M,N,I trên AC
Xét ABE ( ABD = 900) có BM là đờng trung tuyến => MA = ME = BM
= AE
Xét BCD ( CBD = 900) có BN là đờng trung tuyến => NC = ND = BN
= CD
Mà AE = CD (câu a) => BM = BN
Lại có : MBE cân tại M => E1 = MBD và NBD cân tại N => D2 =
NBD
Do đó: MBD + NBD = E1+ D2 = 900hay MBN = 900
C/m đợc BMM’ = NBN’(cạnh huyền_góc nhọn) => BM’ = NN’ và MM’
= BN’
=> MM’ + NN’ = BM’ + BN’ = AB + BC = AC = m (vì MAB và
NBC cân)
Xét hình thang MM’N’M có I I’ // MM’ // NN’ và IM = IN nên I I’ là đờng
0,5 0,5 0,5
0,5
Trang 4trung bình của hình thang => I I’ = (MM’ + NN’) = m (không đổi)
=> đpcm
c) Đặt AB = x => BE = m – x
Khi đó: SABE + SBCD = AB.BE + BD.BC = AB.BE = x(m – x) (vì AB = BD
và BE = BC)
Do đó: SABE + SBCD lớn nhất <=> x(m – x) lớn nhất Mà tích x(m – x) có
tổng x + m – x = m là không đổi nên để tích x(m – x) lớn nhất thì x =
m – x <=> x = m
Vậy để SABE + SBCD lớn nhất thì B là trung điểm của BC
Câu 5:
Ta có: BC = BM + MC <=>
<=>
Mà theo hệ quả định lí Ta-lét đối với BDC và BCE ta có:
<=> =>
đpcm
1
C
âu 6: Giả sử thơng trong phép chia là Q(x) và có d là ax + b.
Theo bài ra ta có: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 2009 = (x2 + 8x + 12).Q(x) +
ax + b
= (x + 2)(x + 6).Q(x) +
ax + b (*)
Do đẳng thức (*) đúng với mọi x nên:
0,5 0,5
Trang 5+ Víi x = -2 ta cã: (-2+1)(-2+3)(-2+5)(-2+7) + 2009 = -2a + b<=>-2a
+ b = 1994 (1)
+ Víi x = -6 ta cã: (-6+1)(-6+3)(-6+5)(-6+7) + 2009 = -6a + b<=>-6a
+ b = 1994 (2)
Tõ (1) & (2) suy ra : a = 0 vµ b = 1994
VËy sè d cña phÐp chia lµ: 1994
