Chứng minh rằng a Ba đường phân giác ngoài nằm trên một mặt phẳng; b Hai đường phân giác trong và một đường phân giác ngoài nằm trên một mặt phẳng.. Điểm O được gọi là gốc toạđộ; các trụ
Trang 1CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Trần Anh Tuấn
Vĩnh Phúc, năm 2009-2010
Trang 21 Vectơ trong không gian 4
1.1 Tâm tỉ cự 4
1.2 Các vectơ đồng phẳng 4
2 Toạ độ của vectơ và điểm 5 2.1 Toạ độ của vectơ 6
2.2 Toạ độ của điểm 6
3 Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ 6 3.1 Tích vô hướng 7
3.1.1 Biểu thức toạ độ 7
3.1.2 Ứng dụng 7
3.2 Tích có hướng 7
3.2.1 Định nghĩa 7
3.2.2 Tính chất 7
3.2.3 ứng dụng 8
4 Phương trình tổng quát 9 5 Phương trình tham số 9 6 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng 11 7 Chùm mặt phẳng 11 8 Khoảng cách 12 9 Phương trình tổng quát 14 10 Phương trình tham số và phương trình chính tắc 14 11 Vị trí tương đối của hai đường thẳng 16 11.1 Góc giữa hai đường thẳng 16
11.2 Hai đường thẳng đồng phẳng 16
11.3 Hai đường thẳng chéo nhau 17
12 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 18 13 Khoảng cách 22 13.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 22
13.1.1 Cách xác định khoảng cách từ A đến d 23
13.1.2 Công thức 23
13.2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng 23
13.2.1 Cách xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 23
13.2.2 Công thức 23
Trang 314.3 Hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng 27
3
Trang 41 Vectơ trong không gian
Khái niệm vectơ và các phép toán vectơ trong không gian được định nghĩa hoàn toàngiống như trong mặt phẳng Vì vậy, các phép toán vectơ trong không gian cũng có cáctính chất như trong mặt phẳng
1.1 Tâm tỉ cự
Cho n điểm A1, A2, , An và n số a1, a2, , an sao cho a = a1 + a2+ · · · + an 6= 0 Khi
đó tồn tại duy nhất điểm G sao cho
a1−−→GA
1+ a2−−→GA
2+ · · · + an−−→GA
n =−→0 (*)Thật vậy, lấy một điểm O cố định ta có
a) Chứng minh rằng G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi
−→
GA+−−→GB
+−→GC+−−→GD
=−→0 b) Cho tứ diện ABCD và một số dương k Tìm quỹ tích các điểm M thoả mãn
Trang 5Chú ý i) A, B, C thẳng hàng ⇔−→AB và −→AC cùng phương ⇔ ∃k :−→AB = k−→AC.
B nằm giữa A và C ⇔ ∃k ∈ [0; 1] :−→AB = k−→AC.
ii) A, B, C, D đồng phẳng ⇔−→AB,−→AC,−−→AD đồng phẳng.
Ví dụ 2 Cho góc tam diện Oxyz Xét các đường phân giác trong và phân giác ngoài của
ba góc xOy, yOz, zOx Chứng minh rằng
a) Ba đường phân giác ngoài nằm trên một mặt phẳng;
b) Hai đường phân giác trong và một đường phân giác ngoài nằm trên một mặt phẳng
Ví dụ 3 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 Hai điểm M và N lần lượt nằm trênhai cạnh B0C0 và CD sao cho B0M = CN Chứng minh rằng
Bài 2 Cho hai vectơ −→AB = −→u và −−→CD = −→v Gọi C0 và D0 là hình chiếu của C và D trên
AB Vectơ −→v0 =−−→
C0D0 được gọi là hình hciếu của vectơ −→v trên đường thẳng AB Chứngminh rằng −→u −→v = −→u −→v0
Bài 3 Cho M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ diện ABCD Lấy
P trên BC sao cho BP = kP C (k cho trước) Tìm Q trên cạnh AD sao cho M, N, P, Qđồng phẳng
Bài 4 Cho hình chóp SABC có SA = a, SB = b, SC = c, [ASB = α, [BSC = β, [CSA= γ
và G là trọng tâm của ∆ABC Tính SG
Bài 5 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm củacác cạnh AB, B0C0, DD0
a) Chứng minh rằng A0C⊥ (MNP );
b) Tìm cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng MP và AC0
Bài 6 Cho I là trung điểm của đường cao AH của tứ diện đều ABCD, K là hình chiếucủa I trên AD và G là trọng tâm của ∆ABC Chứng minh rằng G, I và K thẳng hàng
2 Toạ độ của vectơ và điểm
Trong không gian, cho ba trục x0Ox, y0Oy, z0Oz đôi một vuông góc với nhau và −→i ,−→j ,−→k
là các vectơ đơn vị tương ứng trên mỗi trục Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ toạ độDescartes (Đề - các) vuông góc Oxyz hay hệ toạ độ Oxyz Điểm O được gọi là gốc toạđộ; các trục Ox, Oy, Oz lần lượt được gọi là trục hoành, trục tung và trục cao; các mặtphẳng Oxy, Oyz, Ozx đôi một vuông góc được gọi là các mặt phẳng toạ độ
Trang 62.1 Toạ độ của vectơ
Với mọi vectơ −→v, tồn tại duy nhất bộ ba số (x; y; z) sao cho −→v = x−→i + y−→j + z−→k Bộ ba
số (x; y; z) được gọi là toạ độ của −→v , kí hiệu là −→v(x; y; z) hay −→v = (x; y; z).
Cho hai vectơ −→a(x1; y1; z1) và−→
=
z1 x1
z2 x2
=
y1 z1
y2 z2
;
z1 x1
z2 x2
...
x2 y2
=
2.2 Toạ độ điểm
Với điểm M hệ toạ độ Oxyz, toạ độ vectơ −−→OM gọi toạ độ củađiểm M Như vậy, −−→OM = x−→i + y−→j... y−→j + z−→
k hay −−→OM = (x; y; z) ba số (x; y; z)được gọi toạ độ điểm M, kí hiệu M(x; y; z) hay M = (x; y; z)
3 Tích vơ hướng tích có hướng hai vectơ... 7
3.1 Tích vơ hướng
3.1.1 Biểu thức toạ độ
−
→a−→b = x1x2+