Đồ thị hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng... Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số.. Chứng minh rằng trên C ta tìm được hai điểm tại đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tại M vớ
Trang 1ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC 3
(Trung tâm Luyện thi đại học Vĩnh Viễn)
Giả sử : y = ax 3 + bx 2 + cx + d với a ≠ 0 có đồ thị là (C) y’ = 3ax 2 + 2bx + c, y” = 6ax + 2b
1) y” = 0 ⇔ x = −ab (a ≠ 0 )
x = −ab là hoành độ điểm uốn Đồ thị hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
2) Để vẽ đồ thị 1 hàm số bậc 3, ta cần biết các trường hợp sau :
i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm)
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 với x 1 < x 2
⇒ hàm số đạt cực đại tại x 1 và đạt cực tiểu tại x 2
Ngoài ra ta còn có :
+ x 1 + x 2 = 2x 0 với x 0 là hoành độ điểm uốn.
+ hàm số tăng trên ( −∞ , x 1 )
+ hàm số tăng trên (x 2 , + ∞ )
+ hàm số giảm trên (x 1 , x 2 )
iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 với x 1 < x 2
⇒ hàm đạt cực tiểu tại x 1 và đạt cực đại tại x 2 thỏa điều kiện x 1 + x 2 = 2x 0 (x 0 là hoành độ điểm uốn) Ta cũng có :
+ hàm số giảm trên ( −∞ , x 1 )
+ hàm số giảm trên (x 2 , + ∞ )
+ hàm số tăng trên (x 1 , x 2 )
3) Giả sử y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y = k(Ax + B)y’ + r x + q với k là hằng số khác 0; thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y = r x + q
4) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
⇔
<
=
0 ) 2 x ( y ).
1
(
y
2 x , 1 biệt ân nghiệm ph 2
có 0
'
y
5) Giả sử a > 0 ta có :
i) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt > α
⇔
<
<
α
<
<
α
=
0 ) 2 x ( y ).
1
(
y
0 )
(
y
2 1 thỏa biệt ân nghiệm ph 2
có 0
'
y
ii) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt < α
⇔
<
>
α
α
<
<
=
0 ) 2 x ( y ).
1
(
y
0 )
(
y
2 x 1 thỏa biệt ân nghiệm ph 2
có 0
'
y
Tương tự khi a < 0
6) Tiếp tuyến : Gọi I là điểm uốn Cho M ∈ (C).
Nếu M ≡ I thì ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.
Nếu M khác I thì ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M.
Trang 2Biện luận số tiếp tuyến qua 1 điểm N không nằm trên (C) ta có nhiều trường hợp hơn.
7) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y(x 0 ) = 0 (x 0 là hoành độ điểm uốn)
8) Biện luận số nghiệm của phương trình : ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (1) (a ≠ 0) khi x = α là 1 nghiệm của (1).
Nếu x = α là 1 nghiệm của (1), ta có
ax 3 + bx 2 + cx + d = (x - α )(ax 2 + b 1 x + c 1 ) nghiệm của (1) là x = α với nghiệm của phương trình ax 2 + b 1 x + c 1 = 0 (2) Ta có các trường hợp sau:
i) nếu (2) vô nghiệm thì (1) có duy nhất nghiệm x = α
ii) nếu (2) có nghiệm kép x = α thì (1) có duy nhất nghiệm x = α
iii) nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt ≠ α thì (1) có 3 nghiệm phân biệt
iv) nếu (2) có 1 nghiệm x = α và 1 nghiệm khác α thì (1) có 2 nghiệm.
v) nếu (2) có nghiệm kép ≠ α thì (1) có 2 nghiệm
BÀI TẬP ÔN VỀ HÀM BẬC 3
Cho họ đường cong bậc ba (C m ) và họ đường thẳng (D k ) lần lượt có phương trình là
y = − x 3 + mx 2 − m và y = kx + k + 1.
(I) PHẦN I Trong phần này cho m = 3 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
1) Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trên cung AB với M khác
A , Bø Chứng minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểm tại đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tại M với (C).
2) Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình y = 1 Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E ∈ ∆ với (C) 3) Tìm E ∈ ∆ để qua E có ba tiếp tuyến với (C) và có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
4) Định p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định.
5) Tìm M ∈ (C) để qua M chỉ có một tiếp tuyến với (C).
(II) PHẦN I I.Trong phần này cho tham số m thay đổi.
6) Tìm điểm cố định của (C m ) Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này vuông góc nhau 7) Định m để (C m ) có 2 điểm cực trị Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị.
8) Định m để (C m ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
9) Định m để : a) hàm số đồng biến trong (1, 2) b) hàm số nghịch biến trong (0, + ∞ ).
10) Tìm m để (C m ) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng.
11) Tìm điều kiện giữa k và m để (D k ) cắt (C m ) tại 3 điểm phân biệt Tìm k để (D k ) cắt (C m ) thành hai đoạn bằng nhau.
12) Viết phương trình tiếp tuyến với (C m ) và đi qua điểm (-1, 1).
13) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (C m ) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
BÀI GIẢI
PHẦN I : m = 3
Khảo sát và vẽ đồ thị (độc giả tự làm)
1) Gọi n là hoành độ của M Vì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại
tại x = 2 nên 0 < n < 2; y' = – 3x2 + 6x ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k1 = – 3n2 + 6n ∈ (0, 3] (vì n ∈ (0, 2)) Đường thẳng vuông góc với tiếp
Trang 3tuyến tại M có hệ số góc là k2 =
1
k
1
− (với 0 < k1 ≤ 3) Hoành độ của tiếp
tuyến vuông góc với tiếp tuyến M là nghiệm của – 3x2 + 6x =
1
k
1
⇔ 3x2 – 6x
1
k
1
− = 0 Phương trình này có a.c < 0, ∀ k1 ∈ (0, 3] nên có 2 nghiệm phân biệt, ∀ k1 ∈ (0, 3] Vậy trên (C) luôn có 2 điểm phân biệt mà tiếp tuyến đó vuông góc với tiếp tuyến tại M
2) E (e, 1) ∈ ∆ Phương trình tiếp tuyến qua E có dạng y = h(x – e) + 1 (D) (D) tiếp xúc (C) ⇔ hệ
= +
−
+
−
=
− +
−
h x 6 x 3
1 ) e x ( h 3 n 3
x
2
2 3
có nghiệm.
⇒ Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :
– x3 + 3x2 – 3 = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ 1 (1)
⇔ – x3 + 3x2 – 4 = x(– 3x + 6)(x – e)
⇔ (x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)
⇔ x = 2 hay x2 – x – 2 = 3x2 – 3ex
(2) có ∆ = (3e – 1)2 – 16 = (3e – 5)(3e + 3)
(2) có nghiệm x = 2 ⇔ 8 – 2(3e – 1) + 2 = 0 ⇔ e = 2
Ta có ∆ > 0 ⇔ e < – 1 hay e > 35
Biện luận :
i) Nếu e < – 1 hay 35 < e < 2 hay e > 2
⇒(1) có 3 nghiệm phân biệt ⇒ có 3 tiếp tuyến
ii) Nếu e = – 1 hay e = 35 hay e = 2
⇒ (1) có 2 nghiệm ⇒ có 2 tiếp tuyến
iii) Nếu – 1 < e < 35 ⇒ (1) có 1 nghiệm ⇒ có 1 tiếp tuyến
Nhận xét : Từ đồ thị, ta có y = 1 là tiếp tuyến tại (2, 1) nên phương trình (1) chắc chắn có nghiệm x = 2, ∀ e
3) Vì y = 1 là tiếp tuyến qua E (e, 1), ∀ e và đường x = α không là tiếp tuyến nên yêu cầu bài toán
⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa : y'(x1).y'(x2) = – 1
Trang 4
−
= +
− +
−
>
∨
−
<
1 ) x 6 x 3 )(
x 6 x 3 (
) 2 ( của nghiệm là
x ,
5 e 1 e
2
2 2 1
2 1
2 1
⇔
−
=
−
−
=
−
= +
>
−
<
1 ) 2 x )(
2 x ( x x 9
1 x
1 e 3 x x
3
5 e hay 1 e
2 1
2 1
2 1
2 1
⇔
−
= +
−
−
>
−
<
1 ] 4 ) 1 e 3 ( 1 [
5 e hay 1 e
⇔ e = 2755 Vậy E
,1 27
55
4) Tiếp điểm của tiếp tuyến (với (C)) có hệ số góc bằng p là nghiệm của :
y' = p ⇔ 3x2 – 6x + p = 0 (3)
Ta có ∆' = 9 – 3p > 0 ⇔ p < 3
Vậy khi p < 3 thì có 2 tiếp tuyến song song và có hệ số góc bằng p Gọi x3, x4 là nghiệm của (3)
Gọi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) là 2 tiếp điểm Ta có :
1 a 2
b 2
x
x3+ 4 =− =
1 2
6 ) x x ( 3 ) x x
( 2
y
4
2 3
3 4
3 3 4
Vậy điểm cố định (1, –1) (điểm uốn) là trung điểm của M3M4
5) Cách 1 : Đối với hàm bậc 3 (a ≠ 0) ta dễ dàng chứng minh được rằng :
∀ M ∈ (C), ta có :
i) Nếu M khác điểm uốn, ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M
ii) Nếu M là điểm uốn, ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M
Cách 2 : Gọi M(x0, y0) ∈ (C) Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng :
y = k(x – x0) x 3x2 3
0
3
− (D) Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :
− + − = − + − − + − ( 5 )
⇔ x3−x30 −3(x2−x20)+(x−x0)(−3x2 +6x)=0
⇔ x−x0 =0∨ x2 +xx0 +x20−3x−3x0 −3x2 +6x=0
⇔ x=x0 hay 2x2 −(3+x0)x−x20 +3x0 =0
⇔ x=x0 hay (x−x0)(2x+x0 −3)=0
Trang 5⇔ x=x0 hay x= 3−2x0
Do đó, có đúng 1 tiếp tuyến qua M (x0, y0) ∈ (C)
⇔ x0 =3−2x0 ⇔ x0 =1
Suy ra, y0 = 1 Vậy M(1, –1) (điểm uốn)
Nhận xét : vì x0 là 1 hoành độ tiếp điểm nên pt (5) chắc chắn có nghiệm kép là x0
Phần II : Tham số m thay đổi y' = – 3x2 + 2mx
6) (Cm) qua (x, y), ∀m
⇔ y + x3 = m (x2 – 1) , ∀m
⇔
=
−
=
−
=
=
⇔
= +
=
−
1 y
1 x hay 1 y
1 x 0
x y
0 1
x
3 2
Vậy (Cm) qua 2 điểm cố định là H(1, –1) và K(–1, 1)
Vì y' = – 3x2 + 2mx nên tiếp tuyến với (Cm) tại H và K có hệ số góc lần lượt là :
a1 = y'(1) = – 3 + 2m và a2 = y'(–1) = –3 – 2m
2 tiếp tuyến tại H và K vuông góc nhau
⇔ a1.a2 = – 1 ⇔ 9 – 4m2 = – 1 ⇔ m =
2
10
7) Hàm có cực trị ⇔ y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔ 3x2 = 2mx có 2 nghiệm phân biệt
⇔ x = 0 và x = 23m là 2 nghiệm phân biệt
⇔ m ≠ 0 Khi đó, ta có :
' y m 9
1 x 3
1 m
x m 9
2
+
= và phương trình đường thẳng qua 2 cực trị là :
m x m 9
2
y= 2 − (với m ≠ 0)
8) Khi m ≠ 0, gọi x1, x2 là nghiệm của y' = 0, ta có :
x1.x2 = 0 và x1 + x2 = 23m
9
2 m x m 9
2
2
2 1
2
= m2(x1 x2) m2
9
27
− Với m ≠ 0, ta có y(x1).y(x2) < 0
Trang 6⇔ 4 2
1 0
27m
− + <
⇔
2
3 3 m 4
27
m2 > ⇔ >
Vậy (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
⇔
<
=
0 ) x ( y )
x ( y
x , x biệt phân nghiệm 2
có 0 ' y
2 1
2 1
⇔
2
3 3
m >
Nhận xét :
i) Khi
2
3 3
m <− thì phương trình y = 0 có 2 nghiệm âm và 1 nghiệm dương
ii) Khi
2
3 3
m> thì phương trình y = 0 có 2 nghiệm dương và 1 nghiệm âm
9) a) Hàm đồng biến trên (1,2) ⇔ – 3x2 + 2mx ≥ 0, ∀x ∈ (1,2) Nếu m ≠ 0 ta có hoành độ 2 điểm cực trị là 0 và 23m.
i) Nếu m < 0 thì hàm chỉ đồng biến trên 3 ,0
m 2
Vậy loại trường hợp m < 0
ii) Nếu m = 0 ⇒ hàm luôn nghịch biến (loại)
iii) Nếu m > 0 thì hàm chỉ đồng biến trên 3
m 2 , 0
Do đó, ycbt ⇔ m > 0 và ⊂ 3
m 2 , 0 ] 2 , 1 [
⇔ 23m ≥2⇔ m≥3 b) Từ câu a, ta loại trường hợp m > 0
Khi m ≤ 0 ta có hàm số nghịch biến trên ∞−
3
m 2 , và hàm số cũng nghịch biến trên [0, +∞)
Vậy để hàm nghịch biến trên [0, +∞) thì m ≤ 0
Ghi chú : nên lập bảng biến thiên để thấy rõ ràng hơn
10) y" = – 6x + 2m , y" = 0 ⇔ x = m3
(Cm) cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau
⇔ y = 0 có 3 nghiệm phân biệt và điểm uốn nằm trên trục hoành
Trang 7
=
− +
−
>
⇔
=
>
0 m 9
m m 27
3 3 m 0
3
m y
2
3 3 m
2 3
⇔
±
=
⇔
=
−
>
2
6 3 m 0 1 27
m
3 3 m
2
11) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (Dk) là
– x3 + mx2 – m = kx + k + 1
⇔ m(x2 – 1) = k(x + 1) + 1 + x3
⇔ x + 1 = 0 ∨ m(x – 1) = k + 1 – x + x2
⇔ x = – 1 hay x2 – (m + 1)x + k + m + 1 = 0 (11)
a) Do đó, (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt
⇔ (11) có 2 nghiệm phân biệt khác – 1
⇔
>
+ +
− +
≠ + + + +
+
0 ) 1 m k ( 4 ) 1 m (
0 1 m k 1 m
1
2
⇔ (*)
−
−
<
−
−
≠
4
3 m 2 m k
3 m 2
k
2
b) Vì (Dk) qua điểm K(–1,1) ∈ (Cm) nên ta có :
(Dk) cắt (Cm) thành 2 đoạn bằng nhau
⇒ (Dk) qua điểm uốn 27 −m
m 2
; 3
của (Cm)
⇒ 227m3 m k m3 1+1
+
=
−
⇒ k= 2m39−(m27+m3)−27 (**)
Vậy ycbt ⇔ k thỏa (*) và (**)
12) Phương trình tiếp tuyến với (Cm) đi qua (–1,1) có dạng :
Vậy, phương trình hoành độ tiếp điểm của (Dk) và (Cm) là :
– x3 + mx2 – m = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 (12)
⇔ m(x2 – 1) = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 + x3
⇔ x + 1 = 0 ∨ m(x – 1) = – 3x2 + 2mx + 1 – x + x2
⇔ x = – 1 ∨ x= m2+1
Trang 8y' (–1) = – 2m – 3
+ +
+
−
=
+
2
1 m m 2 2
1 m 3 2
1 m '
4
1 (m2 – 2m – 3) Vậy phương trình của 2 tiếp tuyến qua (–1, 1) là :
y = – (2m + 3)(x + 1) + 1
y = 4
1 (m2 – 2m – 3)(x + 1) + 1
Nhận xét : Có 1 tiếp tuyến tại tiếp điểm (–1, 1) nên phương trình (12) chắc
chắn có nghiệm kép là x = – 1 và phương trình (13) chắc chắn có nghiệm là x = – 1
13) Các tiếp tuyến với (Cm) tại tiếp điểm của hoành độ x có hệ số góc là :
h = – 3x2 + 2mx
Ta có h đạt cực đại và là max khi x=−2ba = m3 (hoành độ điểm uốn) Vậy tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất
Nhận xét :
3
m 3
m 3
m x 3 mx 2 x
−
−
= +
− Ghi chú : Đối với hàm bậc 3
y = ax3 + bx2 + cx + d, ta có :
i) Nếu a > 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất
ii) Nếu a < 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất
PHẠM HỒNG DANH
(Trung tâm Luyện thi đại học Vĩnh Viễn)