Tập xác định là R... Gọi BH là đường cao hạ từ B.
Trang 1ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2011
Trường THPT Mỹ Đức A – Hà Nội
ĐIỂM
Câu I
(2.0đ)
1.
(1.0đ)
m= 1, hàm số trở thành : y = x3 – 2x2 + 1
Tập xác định là R
y’ = 3x2 – 4x; y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4
3;
0.25
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;0 ;) 4;
3
; nghịch biến trên
4 0;
3
Cực trị : hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCD = 1 ;
hàm số đạt cực tiểu tại x =4
3; yCT =
5 27
− Giới hạn : ( 3 2 )
lim x – 2x 1
x→−∞ + = −∞ và ( 3 2 )
lim x – 2x 1
x→+∞ + = +∞
0.25
Bảng biến thiên
x
- ∞ 0 4
3 + ∞
y’ + 0 - 0 +
y 1 +∞
- ∞ 5
27
−
0.25
Đồ thị : y’’ = 6x – 4 ; y’’ = 0 ↔ 2
3
x= ta có điểm uốn : I (2
3;
11
27) Nhận xét : Đồ thị nhận điểm uốn I (2
3;
11
2
(1.0đ)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và trục hoành là :
x3 – 2x2 - (m - 1)x + m = 0 ⇔ (x – 1) (x2 – x – m) = 0
⇔ x = 1 hoặc g(x) = x2 – x – m = 0 (2)
0.25
để (1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt thì (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 :
1
4
+ > > −
0.25
Theo gt x B <x A <x C và A(1 ; 0) nên xA= 1,xB = 1 1 4
2
m
C =1 1 4
2
m
Ta phải có :
1 2
m
m
m
− + <
Ta có AB = 2AC ↔ −1 x B =2(x C−1)
0.25
y
x
0 1 4 3
1 5 27
−
Trang 21 1 4 1 1 4
Kết luận: m = 2
Câu II
(2.0đ)
1
(1.0đ)
Điều kiện : cosx≠0 và tanx ≠ - 1
2
(sin cos 2 ).(sin cos ) 1 tan cos (sin cos 2 ).(sin cos ) (sin cos ) cos
0.25
sinx cos 2x cos x sinx 1 2sin x 1 sin x
sinx 0 sinx 1( ) ì cosl v x 0
=
sinx 0= ⇔ =x kπ k Z∈ thỏa mãn vì khi đó tanx = 0 ≠ −1, cosx = ± ≠1 0
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm x = kπ , k ∈ Z 0.25
2.
(1.0đ)
Điều kiện: - 1 < x < 1
BPT
2
0.25
Đặt t = 2
1
x x
− ta có BPT: t2 – 3t + 2 > 0
1 2
t t
<
2 2
2
2 2
0
0
1
x
x x
x
x x
x
x x
<
− > − < <
< ↔ − < ↔ − > ↔ ≥ ↔ ≤ < ↔ − < <
− >
0.25
2
0
2
5 1
4 1
x x
x
>
> ↔ > ↔ − < ↔ − > ↔ < <
− <
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho : S = 1; 1 2 ;1
0.25
Câu
III.
(1.0đ)
2
4
cos x cosx cos x
+
0.25
cosx
π
0
0
x
π π
Trang 3IV
(1.0đ) Dựng DH ⊥MN, H thuộc MN
Do (DMN) (⊥ ABC)⇒DH ⊥(ABC) mà D ABC là
tứ diện đều nên H là tâm tam giác đều ABC 0.25
Trong tam giác vuông DHA:
2
1
.sin 60
AMN
0.25
Thể tích tứ diện D AMN là 1 2
.sin 60 sin 30 sin 30
⇔x y+ =3 xy ↔1 1 3
CâuV
2y 10 – 17y 8 2x 5 1
Từ (2): x5– x4y + 3x – 3y +xy2 – y3 = 0 ⇔ (x - y)(x4 + 3 + y2) = 0 ⇔ x = y
Thay x = y vào (1): − 2x 3 + 10x2 – 17x 8 2x 5 + = 2 3 x x− 3 (3)
Nhận thấy x = 0 không là nghiệm (3) nên x ≠ 0
Chia 2 vế PT cho x3: 3
− + − + = − , đặt t = 1
x(t ≠ 0)
Ta có PT: 8t3 -17t2 + 10t – 2 = 235t2−1
0.25
2 1t 2 2 1t 5t 1 2 5t 1
Xét hàm số f(v) = v3 + 2v trên R có f’(v) = 3v2 +2 > 0 nên f(v) là hàm đồng biến
Từ (4) ta có f(2t - 1) = f(35t2−1) ↔ 2t – 1 = 35t2−1
0.25
Giải PT 2t – 1 = 35t2−1 ↔ 8t3 – 12t2 + 6t – 1 = 5t2 – 1
Ta được t = 17 97
16
± suy ra x = 16
17± 97
0.25
Câu
VI.
(2,0)
1.
(1.0đ)
A thuộc Oy nên A(0 ; a) Do I là trung điểm AB suy ra B(2 ; 6 – a)
BC qua O nên OB OCuuur uuur,
t
OB tOC
= −
uuur uuur Giải hệ được a = 5 nên A(0 ; 5)
0.25
Ta có B(2; 1), C(-6; -3) →BCuuur= −4 2;1( ) Phương trình BC: x – 2y = 0 0.25
D
A
B C
H
M N
Trang 4( )
2 3; 4
AC= −
uuur
Gọi BH là đường cao hạ từ B Do BH vuụng gúc AC nờn cú 1 vectơ phỏp tuyến là nr( )3; 4
Phương trỡnh BH: 3x + 4y – 10 = 0 0.25 2.(1đ)
Phương trỡnh tham số (d1):
3
1 2
y t
= +
=
= − −
, d2
2 '
2 2 ' '
z t
= −
= − +
=
Ta cú B thuộc d1 nờn
B(3 + t; t; -1 - 2t), C thuộc d2 nờn C(2 – t’;- 2 + 2t’; t’)
0.25
Theo giả thiết ∆ qua A nờn ba điểm A, B, C thẳng hàng → ∃k AB:uuur uuur=kAC
k
t k t
↔ − = − +− − = − → =
0.5
Ta cú =1
2
uuur uuur
nờn B là trung điểm AC (cú thể chỉ ra B(2;-1;1), C(3;-4;-1)) 0.25
Cõu
VII
(1.0đ) BPT
2
2
−
−
( 2 )
4x 144 80 2x− 1 4x 20.2x 64 0
Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh :S = ( )2; 4 0.25
Chú ý: Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì đợc đủ điểm từng phần nh đáp án quy định.
