ĐỀ THI SỐ PHỨC

 Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm Ma; b được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại..  Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức.. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành

THPT Tân Bình – Bình Dương SỐ PHỨC SỐ PHỨC

…  SỐ PHỨC  …

§1 SỐ PHỨC

I> Khái niệm số phức:

 Là biểu thức có dạng a + b i , trong đó a, b là những số thực và số i thoả i = –1 2

Kí hiệu là z = a + b i với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo.

 Tập hợp các số phức kí hiệu là £ = {a + bi / a, b∈ ¡ và i = –1} Ta có ¡2 ⊂ £

 Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0 i = a∈ ¡ ⊂ £

 Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b i = bi Đặc biệt i = 0 + 1.i

 Số 0 = 0 + 0 i vừa là số thực vừa là số ảo.

III> Biểu diễn hình học của số phức:

 Mỗi số phức z = a + bi được xác định bởi cặp số thực (a; b).

 Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại

 Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo



 VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là:

A

z = 1 + 4i , z = –3 + 0.i , B z = 0 –2i , C z = 4 – i D

IV> Môđun của số phức:

 Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt

phẳng Oxy Độ dài của véctơ OMuuuur được gọi là môđun của số

 Số đối của số phức z = a + b i là –z = –a – bi

 Cho z a bi= + và 'z = +a b i' ' Ta có z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i

 Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực

VII> Phép nhân số phức:

 Cho hai số phức z a bi= + và 'z = +a b i' ' Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay i = –1 và 2

rút gọn, ta được: z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i

 k.z = k(a + bi ) = ka + kbi Đặc biệt 0.z = 0 ∀z∈ £

I> Bài tập SGK Cơ bản:

1) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết:

c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2);

d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3];

e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2]

 Hướng dẫn:

a) Là đường thẳng x = –2;

b) Là đường thẳng y = 3;

c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên;

d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên;

e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2 tính cả biên

c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 2 2

1<a + ≤b 2, là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không tính biên, bán kính lớn R = 2 tính biên;

6) Tìm z , biết:

a) z = 1 – i 2 b) z = – 2 + i 3 c) z = 5 d) z = 7i;

 Hướng dẫn: a) z = 1 + i 2 ; b) z = – 2 – i 3 c) z = 5 d) z = –7i.

7) Thực hiện các phép tính sau:

THPT Tân Bình – Bình Dương SỐ PHỨC SỐ PHỨC

 Hướng dẫn: a) 5 – i b) –3 –10i c) –1 + 10i d) –3 + i

8) Tính α + β, α – β với:

a) α = 3, β = 2i b) α = 1 – 2i, β = 6i c) α = 5i, β = –7i d) α = 15, β = 4 – 2i

 Hướng dẫn: a) 3 + 2i, 3 – 2i b) 1 + 4i, 1 – 8i c) –2i, 12i d) 19 – 2i, 11 + 2i.9) Thực hiện phép tính sau:

a) (3 – 2i)(2 – 3i) b) (–1 + i)(3 + 7i) c) 5(4 + 3i) d) (–2 – 5i)4i

 Hướng dẫn: a) –13i b) –10 – 4i c) 20 + 15i d) 20 – 8i

a) 2i(3 + i)(2 + 4i)b)

(1 ) (2 )2

a) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i; b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z c) (2 3 ) 5 2

II> Bài tập SGK Nâng cao:

1) Cho các số phức 2 + 3i; 1 + 2i; 2 – i

a) Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức

b) Viết số phức đó dưới dạng liên hợp rồi biểu diễn trên mặt phẳng phức

c) Viết số đối của mỗi số phức đó rồi biểu diễn chúng trên mặt phẳng phức

3) Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm

là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i

 Hướng dẫn:Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i cos ;sin

a) Phần thực của số phức z bằng 12(z z+ ), phần ảo của số phức z bằng 21 (z z)

b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 ⇔ z z+ = ⇔ = −0 z z

c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 ⇔ z z− = ⇔ =0 z z

 Hướng dẫn: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.

−

 Hướng dẫn:

Với z ≠ 1, (1+ + + +z z2 z9) (z− = + + + +1) z z2 z9 z10− + + + +(1 z z2 z9) =z10−1

Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh

11) Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)?

( )1

zz

−+

 Hướng dẫn: Ta có z a bi z= + , = −a bi, z2 =(a2−b2) 2+ abi z, 2 =(a2−b2) 2− abi,

12) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:

a) 2

z i− là số ảo.

 Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì z x yi= + ⇒z2 =x2−y2+2xyi z; 2 =x2−y2−2xyi

a) z là số thực âm khi xy = 0 và 2 x2−y2 <0 ⇔ x = 0 và y ≠ 0 Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ Ob) z là số ảo khi 2 x2−y2 =0 ⇔ y = ± x Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ.c) z2 =( )z 2 khi xy = 0 ⇔ x = 0 hoặc y = 0 Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ

THPT Tân Bình – Bình Dương SỐ PHỨC SỐ PHỨC 13) Tìm nghiệm phức của phương trình sau:

+ −+ − , phần ảo 2 2

2( 1)

§2 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.

I> Căn bậc hai của số phức:

Cho số phức w, mỗi số phức z = a + b i thoả z = w được gọi là căn bậc hai của w.2



 w là số thực: w = a∈ ¡

 a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0

 a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a và – a

 a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a i và – a i

 VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4 i

Gọi z = x + yi là căn bậc hai của w Ta có

y x

 VD: Tính căn bậc hai của i

Gọi z = x + yi là căn bậc hai của i Ta có

y x

y x

II> Phương trình bậc hai:

1) Phương trình bậc hai với hệ số thực: ax2+ + =bx c 0 (a≠0), ∆ = −b2 4ac

 ∆≥ 0: Phương trình có 2 nghiệm thực 1,2

2

b x

3 2 1 4

1 32

z =− + − − = − −i

BÀI TẬP §2.

I> Bài tập SGK Cơ bản:

1) Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: –7; –8; –12; –20; –121

II> Bài tập SGK Nâng cao:

1) Tìm các căn bậc hai của số phức sau: ; 4 ; 4; 1 4 3−i i − + i

 Hướng dẫn:

Căn bậc hai của i− là − 2 / 2+i 2 / 2; 2 / 2−i 2 / 2 Căn bậc hai của 4i là ±( 2+ 2i) Căn bậc hai của –4 là ±2i Căn bậc hai của 1 4 3i+ là (2± + 3 )i

2) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì z = w

 Hướng dẫn: z a bi= + là một căn bậc hai của w ⇒ z2 = ⇔w z2 = w ⇔ z2 = w ⇔ =z w

3 4− = −i 2 i tức z= −2 i là một căn bậc hai của w= −3 4i thì z = w

3) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau:

∆ = − + + = = + Phương trình có hai nghiệm phức là z1=2 ;i z2 = − +1 i

4) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với hệ

số phức không? Vì sao?

b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).

c) Có phải mọi phương trình bậc hai z2+Bz C+ =0 (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?

C=z z =a +b là số thực Điều ngược lại không đúng

5) a) Giải phương trình sau: (z2+i z) ( 2−2iz− =1) 0

THPT Tân Bình – Bình Dương SỐ PHỨC SỐ PHỨC

§3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

I> Số phức dưới dạng lượng giác:

1) Acgumen của số phức z ≠ 0:

 Cho số phức z = a + bi ≠ 0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy Số đo (rađian) của góc ϕ =(Ox OMuur uuuur, ) được gọi là một acgumen của z

 Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2π tức là có dạng ϕ + k2π (k∈ ¢ )

(z và nz sai khác nhau k2π với n là một số thực khác 0)



 VD: Biết z ≠ 0 có một acgumen là ϕ Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: –z; z ; – z ; 1

z.

 z biểu diễn bởi OMuuuur thì –z biểu diễn bởi – OMuuuur nên có acgumen là ϕ + (2k + 1)π

 z biểu diễn bởi M′ đối xứng M qua Ox nên có acgumen là –ϕ + k2π

 – z biểu diễn bởi – OMuuuuur'

nên có acgumen là –ϕ + (2k + 1)π

 1

z =

1 2

| |

z z z

− = , vì 12

| |z là một số thực nên z−1 có cùng acgumen với z là –ϕ + k2π.

2) Dạng lượng giác của số phức z = a + bi :

 Dạng lượng giác của số phức z ≠ 0 là z = r (cosϕ + i sinϕ) với ϕ là một acgumen của z.

 Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng π nên có dạng lượng giác là z = cosπ +i sinπ

 Số 1 + 3 i có môđun bằng 2 và một acgumen bằng ϕ thoả cosϕ = 1

 Số – cosϕ – i sinϕ có dạng lượng giác là cos(ϕ + π) + i sin(ϕ + π)

 Số cosϕ – i sinϕ có dạng lượng giác là cos(–ϕ) + i sin(–ϕ)

 Số – cosϕ + i sinϕ có dạng lượng giác là cos(π – ϕ) + i sin(π – ϕ)

II> Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác:

Cho z = r (cosϕ + i sinϕ) và z′ = r′(cosϕ’ + i sinϕ’) với r , r′≥ 0

Với 2 2 cos sin

III> Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng:

1) Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z = r (cosϕ + i sinϕ)

 [ ]n n

 r = 1: ( )n

2) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`

 Mọi số phức z = r (cosϕ + i sinϕ) ( r > 0) có 2 căn bậc hai là

 VD: Đổi sang dạng lượng giác rồi tính: ( )100

1 i+ và căn bậc hai của w = 1 + 3.i

cos 4ϕ=cos ϕ−6cos ϕsin ϕ+sin ϕ và 3 3

sin 4ϕ=4cos ϕsinϕ−4cos sinϕ ϕ

Không có m nào để w là số ảo m

9) Viết dạng lượng giác của số phức z và các căn bậc hai của z cho mỗi trường hợp sau:

a) z =3 và một acgumen của iz là 5

4

π

;b) 1

3

z = và một acgumen của

1

z i

+ là

34

π

= 34

z i

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG.

I> Bài tập SGK Cơ bản:

1) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa:

a) Phần thực của z = 1; b) Phần ảo bằng –2 c) Phần thực thuộc [–1; 2] ảo thuộc [0; 1] d) |z| ≤ 2

++ c)

5) Giải phương trình sau trên tập phức:

a) (3 + 4i)z + (1 –3i) = 2 + 5i; b) (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz

 Hướng dẫn:

a) 7 4

7 − 7 i6) Giải phương trình sau trên tập phức:

THPT Tân Bình – Bình Dương SỐ PHỨC SỐ PHỨC 8) Cho hai số phức z z Biết rằng 1, 2 z1+z z z2, 1 2 là hai số thực Chứng tỏ z z là hai nghiệm một phương 1, 2trình bậc hai với hệ số thực.

II> Bài tập SGK Nâng cao:

1) Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

 Hướng dẫn: Ta có z z = z2 =1

1 11

− , y = 6

11

− ; c) x = 0, y = 0Bài 2

Bài 2 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 2

(x yi+ ) −2(x yi+ ) 5+ Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực

 Hướng dẫn: Phần thực là x2−y2−2x−5, phần ảo là 2(xy y− ) Số phức trên là số thực khi y = 0 hoặc x = 1

− + + −

2(3 ) (3 2 )(3 2 )

51

i i

THPT Tân Bình – Bình Dương SỐ PHỨC SỐ PHỨC a) x2−4x+ =5 0; b) x2+2x+ =5 0; c) 2x2−4x+ =3 0; d) 4x2−12x+25 0=

 Hướng dẫn:

m i

Bài 2 (Đề thi TN.THPT năm 2007)

a) Lần 1 (1 điểm): Giải phương trình 2

a) Ta có ∆′ = 4 – 7 = –3 = ( 3 )i Phương trình có hai nghiệm là: 2 x1= +2 3i; x1= −2 3i

b) Ta có ∆′ = 9 – 25 = –16 = (4 )i Phương trình có hai nghiệm là: 2 x1 = +3 4i; x1 = −3 4i

Bài 3

Bài 3 (Đề thi TN.THPT năm 2008)

a) Lần 1 (1 điểm): Tính giá trị của biểu thức: P= +(1 3 )i 2+ −(1 3 )i 2

b) Lần 2 (1 điểm): Giải phương trình x2−2x+ =2 0 trên tập số phức

i

Bài 4

Bài 4 (Đề thi TN.THPT năm 2009)

a) Chương trình Chuẩn (1 điểm): Giải phương trình 8z2−4z+ =1 0 trên tập số phức

b) Chương trình Nâng cao (1 điểm): Giải phương trình 2z2− + =iz 1 0 trên tập số phức

Bài 5 (Đề thi TN.THPT năm 2010)

a) Chương trình Chuẩn (1 điểm): Cho hai số phức z1= +1 2i và z2 = −2 3i Xác định phần thực và phần

ảo của số phức z1−2z2

b) Chương trình Nâng cao (1 điểm): Cho hai số phức z1 = +2 5i và z2 = −3 4i Xác định phần thực và phần ảo của số phức z z 1 2

 Hướng dẫn:

a) z1−2z2 = (1 – 4) + (2i + 6i) = –3 + 8i Phần thực là –3, ảo 8

b) z z = 6 – 8i + 15i – 201 2 i = 26 + 7i Phần thực là 26, ảo 7.2

CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

Bài 6

Bài 6 (Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D)

a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn (1 ) (2+i 2 −i z) = + + +8 i (1 2 )i z Tìm phần thực

i

Phần thực là 2, phần ảo –3b) 4z 3 7i z 2i

10 225

x y

Bài 10 (Đề thi Cao đẳng năm 2010 – Khối A, B, D)

a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần thực, ảo của số phức z thỏa: ( ) ( ) ( )2

THPT Tân Bình – Bình Dương SỐ PHỨC SỐ PHỨC b) z2− +(1 i z) + + =6 3i 0 có ∆ = (1 )+i 2−4(6 3 )+ i = − −24 10i= −(1 5 )i 2

Do đó phương trình có 2 nghiệm: 1

1 22

z = + − + = i

Bài 11

Bài 11 (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm)

Tìm số phức z thỏa: z = 2 và z là số thuần ảo2

Bài 13 (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A)

a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa: 2