Đề thực nghiệm số 13 (10-11)

Gọi E là trung điểm của AB và K là trung điểm của OI.. Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp.. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM... Đây là hệ thức độc lập với m

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN : TOÁN 9 (ĐỀ THỰC NGHIỆM 13)

Năm học : 2010-2011

Thời gian : 150 phút

Bài 1 :

a) Tính giá trị biểu thức P  x3 y3 3(x  y) 2004  Biết

x  3 2 2   3 2 2 ; y   17 12 2   17 12 2 

b) Tính giá trị biểu thức  31 3 20102009

3 3(2 5) 17 5 38 x

5 14 6 5



Bài 2 :

a) Tìm hệ thức độc lập với m liên hệ giữa các nghiệm của phương trình x2 mx  2m 3   0

b) Tìm hệ thức độc lập với m liên hệ giữa các nghiệm của phương trình

2

(m 2)x   (m  4)x   2 m  0

Bài 3 :

a) Giải phương trình : x2 9x  20 2 3x 10    0

b) Giải hệ phương trình :

2 2

3 3

2y x xy 2y 2x 7







Bài 4 : Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn hệ thức a + b + c = 1 Chứng minh rằng :

a  b  b c   c a   6

Bài 5 : Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính AI Gọi E là trung điểm của

AB và K là trung điểm của OI Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp

Bài 6 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và M là một điểm thuộc nửa đường tròn (khác A

và B) Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại các điểm C và D Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM

Trường THCS TT Phú Hoà

Họ - tên : ………

Lớp : …

Điểm

ĐÁP ÁN

Bài 1 :

a) Ta có :

3

3

Tương tự : y3 3y  34

Vậy P  (x3 3x) (y  3 3y) 2004    6 34 2004   2044

b) Ta có :

3

2

x

1 3

 

Suy ra : A = 1

Bài 2 :

a) Phương trình có nghiệm m 2







Theo hệ thức Vi-ét : 1 2

1 2







       Đây là hệ thức độc lập với m liên hệ giữa các nghiệm của phương trình

b) Phương trình có nghiệm

8

5









1 2 1 2

       Đây là hệ thức độc lập với m liên hệ giữa các nghiệm của phương trình

 Khi x1  x2  t, ta có 2 t 1







 Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép x = 1 (khi m = 0), hay x = 3 ( khi 8

m 5

  )

Bài 3 :

a) Ta có :

2

2



 



Phương trình có nghiệm duy nhất x = - 3

b)

2 2

3 3

3 3

x y x y 8 (2)







Từ (1), do x, y nguyên ta có các trường hợp sau :

a) x – y = - 1 và x + 2y + 2 = 7 suy ra x = 1 và y = 2 thỏa mãn (2)

b) x – y = - 1 và x + 2y + 2 = - 7 suy ra x + 2y = - 9 suy ra y không nguyên

c) x – y = - 7 và x + 2y + 2 = 1 suy ra x = - 5 và y = 2 không thỏa mãn phương trình (2)

d) x – y = 7 và x + 2y + 2 = 1 suy ra x + 2y = - 3 suy ra y không nguyên

Vậy hệ đã cho có duy nhất một nghiệm nguên (x; y) = (1; 2)

Bài 4 : Ta thấy rằng 1 1 1 2 2 2

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có :

2

b c

2

c a

 

 

 

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

3

Bài 5 : Gọi H là trung điểm của BE, khi đó KH là đường trung bình của hình thang vuông OEBI

HK / /OE / /BI

 Mà OE  AB  KH  BE  ΔKBE cân tại K  KEB   KBE 

Mặt khác : KBE   KCA  nên KEB   KCA 

KCA  KEA  KEB KEA   180

Do đó tứ giác AEKC nội tiếp

A

I

O E

K H

Bài 6 :

2 ABCD



Từ (1) và (2) suy ra : SACM SBDM  SABCD SAMB  2R2 R2  R2

Từ đó giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM là R2 đạt được khi M là điểm chính giữa cung AB