Đề thực nghiệm số 9 (10-11)

Gọi M là điểm tùy ý trên đường thẳng AB, nằm ngoài đoạn AB.. Chứng minh tứ giác CDD’C’ nội tiếp.. Từ một điểm bất kì trên đường tròn hạ các đường vuông góc xuống các cạnh.. Chứng minh ch

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN : TOÁN 9

(ĐỀ THỰC NGHIỆM 9)

Năm học : 2010-2011

Thời gian : 150 phút

Bài 1 :

a) Chứng minh rằng : với mọi nN *, ta có : 1 2 1 1

2 1  3 2  4 3   2008 2007 không phải là số nguyên tố

(ab) (b c) (c a) là số hữu tỉ (với a, b, c là 3 số hữu tỉ đôi

một khác nhau)

Bài 2 : Cho phương trình bậc hai ẩn x : x2 2(m 1)x   2m2 3m 1 0   (1)

a) Chứng minh rằng : phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 0m1

b) Gọi x ; x1 2 là nghiệm phương trình Chứng minh : x1 x2 x x1 2 9

8

Bài 3 : Giải phương trình và hệ phương trình sau :

2

x y 7





 



Bài 4 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B Gọi M là điểm tùy ý trên đường thẳng AB, nằm ngoài đoạn AB Vẽ qua M hai cát tuyến MCD và MC’D’ với (O) và (O’) Chứng minh tứ giác CDD’C’ nội tiếp

Bài 5 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Từ một điểm bất kì trên đường tròn hạ các đường vuông góc xuống các cạnh Chứng minh chân ba đường vuông góc này thẳng hàng (đường thẳng Sim-sơn)

Trường THCS TT Phú Hoà

Họ - tên : ………

Lớp : …

Điểm

Bài 1 :

a) Với mọi nN *, ta có :

2

1 2.(n 1) n

1 2n 2 2 n 1 n

0 n 1 2 n 1 n n



Do đó :

2 1 3 2 4 3 2008 2007

2 1  3 2  4 3   2008 2007 không phải là số nguyên tố

b) Ta có :

2

2

2

2.

a b b c c a (a b)(b c)(c a)

a b b c c a

    

a b b c c a

   là một số hữu tỉ

Bài 2 :

1 2

2

1 2

2 2







Vì

2

Do đó :

2

       

Bài 3 : a) Điều kiện: 3 x 5

Áp dung BĐT Cô-si cho hai số không âm ta có :

Mặt khác : 3x2 12x 14   3(x  2)2  2 2 với mọi x (2)

Từ (1) và (2) ta thấy x thỏa mãn phương trình khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời trở thành đẳng thức Ta có (2) trở thành đẳng thức khi x = 2, thay vào (1) thì (1) củng trở thành đẳng thức Do

đó pt có nghiệm duy nhất x = 2

b) Đặt u x 1 (u 0)







Hệ đã cho trở thành :

uv 4

u v 2 x 1 y 2 (x, y) (3, 4)







Bài 4 :

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên CDA CBM (cùng bù với góc ABC)

Do đó :

ΔMBC ΔMDA(g.g)

MA.MB MC.MD (1)



Chứng minh tương tự :

MA.MB MC '.MD ' (2)

Từ (1) và (2) suy ra :  MC.MD  MC '.MD ' (2)

Do đó : ΔMCC 'ΔMDD ' (g.g)MCC 'MD ' D

Vậy tứ giác CDD’C’ nội tiếp

Bài 5 :

Gọi chân các đường vuông góc hạ từ M lần lượt xuống các cạnh AB, BC, CA là H, K, I

Ta có tứ giác AHMI nội tiếp (vì   0

AHM  AIM  180 ) Suy ra : HAM   HIM  (1) (cùng chắn cung HM)

Tương tự tứ giác HIKC nội tiếp (vì   0

MIC  MKC  90 )

MIK  MCK  180 (2)

Mặt khác : ABCM nội tiếp (O)

Nên HAM MCK (3)

Từ (1) và (3) suy ra : HIM MCK (4)

Từ (3) và (4) suy ra :   0

MIK  HIM  180 Vậy 3 điểm H, I, K thẳng hàng