Đề thực nghiệm số 12 (10-11)

I là trung điểm của BC, M là điểm trên đoạn CI M khác C và I, đường thẳng AM cắt đường tròn O tại D, tiếp tuyên của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMI tại M cắt đường thẳng BD, DC lần lư

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN : TOÁN 9

(ĐỀ THỰC NGHIỆM 12)

Năm học : 2010-2011

Thời gian : 150 phút

Bài 1 :

a) Chứng minh rằng : số x0  2  2  3  6 3 2   3 là nghiệm phương trình

x  16x  32  0

b) Chứng minh rằng : biểu thức

4

2 3 7 4 3 x

9 4 5 2 5 x

không phụ thuộc vào biến x

Bài 2 : Cho phương trình : (2m 1)x  2 2mx 1   0

a) Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1; 0)

b) Xác định m để phương trình trên có hai nghiệm x ; x1 2 thỏa mãn x12 x22  1

Bài 3 :

a) Giải phương trình : 7 x   x 5   x2 12x 38 

b) Giải hệ phương trình : (x 1)(y 1) 8

x(x 1) y(y 1) xy 17







Bài 4 : Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng phương trình

2

x  (a   b c)x  ab bc ca    0vô nghiệm

Bài 5 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) I là trung điểm của BC, M là điểm trên đoạn CI (M khác C và I), đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại D, tiếp tuyên của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMI tại M cắt đường thẳng BD, DC lần lượt tại P và Q Chứng minh : DM.IA = MP.IP và tính tỉ số MP

MQ

Bài 6 : Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B và C là các tiếp điểm) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C) Tiếp tuyến qua M cắt AB và

AC tại E và F Đường thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q

a) Chứng minh tứ giác PQFE nội tiếp được

b) Chứng minh tỉ số PQ

PE không đổ khi M di chuyển trên đường tròn

Trường THCS TT Phú Hoà

Họ - tên : ………

Lớp : …

Điểm

ĐÁP ÁN

Bài 1 :

a) Ta có :

2

0

2

2

0

8 x

2

Vậy x0 là một nghiệm của pt đã cho

b) Ta có :  2

2  3  2  3  7 4 3  ;

4

Suy ra : A = 1

Bài 2 :

2

    Phương trình trở thành    x 1 0  x  1

2

    Khi đó : Δ   m 1  2  0, m  Hay pt có nghiệm với mọi m

 Ta thấy nghiệm x = 1 không thuộc (-1; 0)

 Với 1

m

2

 , phương trình có nghiệm 1

x 2m 1





 Vì phương trình có nghiệm trong khoảng (-1; 0), nên ta có

1

1 0 1

2m 1

2m 1 0



 



 



 Vậy phương trình có nghiệm trong khoảng (-1; 0) khi m < 0

b) Ta có :

 

2 2

2

1

1 1 2m 1

1

1 2m 1

2m 1

m

4



 









  





Bài 3 :

a) Điều kiện : 7 x 0





 



Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho ha số không âm ta có :

Đẳng thức xảy ra 7 x 1

x 5 1



 



Mặt khác : 2  2

x  12x 38   x  6   2 2

Đẳng thức xảy ra  x  6

Do đó : 7 x   x 5   x2 12x  38  2  x  6 (thỏa điều kiện)

b)





Đặt x + y = S, x.y = P, giải hệ trên ta được : S 4 S 6

hay

Theo ĐL Ta-lét đảo thì x, y là nghiệm của phương trình :

t  4t   3 0 hay t  6t 13   0

Khi đó ta có 2 nghiệm của hệ là (x; y) = (1; 3) hay (x; y) = (3; 1)

Bài 4 : Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác nên a, b, c > 0 và tổng hai số lớn hơn số còn lại Do đó :

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 5 :

A

D

P

Q

Vì DMP   AMQ   AIC  và ADB   BCA  nên ΔMDP  ΔICA

Suy ra DM MP

DM.IA MP.CI (1)

Mặt khác : ADC   CBA  và  0  0  

DMQ 180   AMQ 180   AIM  BIA

Từ (1) và (2) suy ra : MP

1

Bài 6 :

A

B

C

E

F M

H

O P

K

J G

Q I

a) Giả sử EO cắt đường tròn (O) tại I và J; FO cắt đường tròn (O) tại tại G và K

Ta có :



1

180 sdMB (1)

2

1

2

1 FQP (sdMB 180 ) (2)

2

Từ (1) và (2), ta có :   0

FEP  FQP  180

Vậy tứ giác PQFE nội tiếp

b) Ta có :   0

FQP  FEO 180  (tứ giác EPQF nội tiếp)

FQP  FQO 180  (hai góc kề bù)

Suy ra : PQO   FEO 

Mặt khác : ΔFEO  ΔPQO(vì có góc EOF là góc chung) và PQO   FEO 

Suy ra : PQ OH

Vì điểm A và đường tròn (O; R) cố định nên OH và OM không đổi

Do đó tỉ số PQ

EF không đổi khi M di chuyển trên đường tròn