Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm dương phân biệt.. Bài 5 : Giả sử AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD.. Từ C vẽ đường vuông góc CE với đường thẳng AB, đường vuông góc CF vớ
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN : TOÁN 9
(ĐỀ THỰC NGHIỆM 10)
Năm học : 2010-2011
Thời gian : 150 phút
Bài 1 :
a) Cho hàm số f (x) (x = 3+ 12x 31) − 2011.Tính f(a) tại a = 316 8 5 − +316 8 5 +
M
2 4 2 3 2 4 2 3
Bài 2 :
a) Giải phương trình : 2 3 2 3
x = x − x + x − x
b) Giải hệ phương trình :
2
1 1 1
2
x y z
2 1
4
xy z
+ + =
Bài 3 : Cho phương trình x2− 2mx 2m + 2− = 1 0 (1) (m là tham số)
a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt
b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x ; x1 2 thỏa mãn hệ thức
x + x − x − x = − 2
Bài 4 :
a) Cho 4 số thực bất kì a, b, c, d Chứng minh :
ab cd + ≤ (a + c )(b + d ) Dấu “=” xảy ra khi nào ?
b) Với giá trị nào của góc nhọn α thì biểu thức : P 3sinα = + 3 cos α có giá trị lớn nhất ? Cho biết giá trị lớn nhất đó
Bài 5 : Giả sử AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD Từ C vẽ đường vuông góc CE với đường thẳng AB, đường vuông góc CF với đường thẳng AD (E, F thuộc phần kéo dài của
Trường THCS TT Phú Hoà
Họ - tên :
………
Lớp : …
Điểm
Trang 2Bài 6 : Tam giác ABC có hai trung tuyến AK và CT cắt nhau tại O Từ một điểm B bất kì trên cạnh AC vẽ các đường thẳng PE // AK, PF // CT (E thuộc BC, F thuộc AB) Các trung tuyến AK,
CL cắt đoạn thẳng CF theo thứ tự tại M và N Chứng minh rằng : FM = MN = NE
Trang 3ĐÁP ÁN
Bài 1 :
a)
* Tính a Biến đổi a được biểu thức 3 3
a + 12a 32 0 − = ⇒ + a 12a 31 1 − =
* f (a) 1 = 2011= 1
b) Kết quả M = 1.
Bài 2 :
a) Điều kiện : x 0
x 1
=
≥
* Với x = 0 thỏa mãn phương trình
* Với x 1 ≥ , theo BĐT Cô-si ta có :
2
2
Dấu “=” xảy ra
⇒ − = + x 1 x 1 (vô lý) Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x = 0
b)
2
1 1 1
2 (1)
xy z
+ + =
Từ (1) suy ra : 12 12 12 2 2 2
4
Thế vào (2) được :
Trang 42 2 2 2
2 2
0
0
0
1 1
0
x z
1 1
0
y z
⇔ + + ÷ + + + ÷ =
⇔ + ÷ + + ÷ =
+ =
+ =
Thay vào hệ (I) ta được : ( x; y;z ) 1 1 ; ; 1
= − ÷
Bài 3 :
a) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
Δ ' 0
2
2
S 0
>
⇔ > ⇔ ⇔ < <
>
b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt : m 1 <
Theo hệ thức Vi-et : 1 2 2
1 2
+ =
Ta có : x13+ x32− x12− x22 = − ⇔ ⇔ 2 m(2m2− = 3) 0
m 0
⇔ = (vì 2m2− < − < 3 2 3 0, do m 1 < )
Bài 4 :
a) Ta có : 0 ≤ ab cd + ≤ (a2+ c )(b2 2+ d )2 Bình phương hai vế và biến đổi, ta được :
( )2
ad bc − ≥ 0 (luôn đúng)
Vậy : 0 ≤ ab cd + ≤ (a2+ c )(b2 2+ d )2
Trang 5Dấu “=” xảy ra c d
b) Từ kết quả câu a, ta có : P 3sinα = + 3 cos α > 0 nên
max
0
Bài 5 :
+ Vẽ BG⊥AC
ΔABG ΔACE(g.g)
+
:
ΔCBG ΔACF(g.g)
+
:
Cộng từng vế của (1) và (2) được :
AB.AE + BC.AF = AC.AG + AC.CG = AC.(AG + CG) = AC.AC = AC2
Vậy : AB.AE AD.AF AC + = 2
Bài 6 :
Trang 6Vì AK // PE nên FM FQ
(1)
CT // PF nên FQ FP
TO = CT (vì cùng bằng AF
AT) Suy ra : FQ TO 1
(2)
Từ (1) và (2) suy ra FM 1 1
Tương tự, ta cũng có 1
3
3
= Vậy FM = MN = NE