Chuyên đề 1 : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬCác ví dụ và phương pháp giải Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a... Một số dấu hiệu chia hết... MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ PHÉP CHIA HẾTA..
Trang 1Chuyên đề 1 : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Các ví dụ và phương pháp giải
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a a(x2+1) (−x a2+1)
b x−1+ x n+ 3 −x n.Giải:
a Dùng phương pháp đặt nhân tử chung
11
1
1 2
2 2
+++
−
=
+++
−
=
−+++
x x x
x
x x x x x
x x x x
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a x8 + 3x4 + 4
b x6 - x4 - 2x3 + 2x2 Giải:
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi sử dụng hằng đẳng thức
x8 + 3x4 + 4 = (x8 + 4x4 + 4)- x4
= (x4 + 2)2 - (x2)2
= (x4 - x2 + 2)(x4 + x2 + 2)b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng hằng đẳng thức
11
121
2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
4 2
++
−
=
++
−
=
−+
−
=
+
−++
−
=
x x x
x
x x
x x
x x
x x x
x x
Ví dụ 3:
Phân tích đa thức thành nhân tử :
a 2 a2b + 4 ab2 − a2c + ac2 − 4 b2c + 2 bc2 − 4 abc
b.x4 +2007x2 +2006x+2007Giải:
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi nhóm thích hợp:
abc bc
c b ac
c a ab b
ac ab b a
b a bc b
a c b a ac b a ab
abc bc
c b ac abc c
a ab b a
abc bc
c b ac c a ab b a
−
−+
=
−
−
−+
=
−+
−+
=
+
−++
+
−+
=
=
−+
−+
−
−+
=
−+
−+
−+
22
22
22
22
22
22
22
22
42
42
42
44
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức
Trang 211
20072007
2007
2 2
2 2
2 4
+
−+
+
=
+++
++
−
=
++
+
−
=
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a.a3 +b3+c3−3abc
c b a c
− + +
=
c b a ab c
c b a b
a c
+
=
+ +
− + +
− + +
+
=
2 2 2
2
c b a c b a c
b a c
c
b
+++
=+
+++
=
+
−+
−++++++
+
=
3333
3 2
2 2
2 2
Ví dụ 5: Cho a + b + c = 0
Chứng minh rằng :a3 + b3 + c3 = 3abc
abc c
b a abc
c b a
c b
a ab b
a c
b a
3 0
3
3
3 3 3 3
3 3
3 3
3 3
3
= + +
⇒
=
− + +
⇒
−
= + +
+
⇒
−
= +
⇒
Ví dụ 6: Cho 4a2 + b2 = 5ab, và 2a > b > 0 Tính 2 2
4a b
ab P
2 2
a
ab P
Ví dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0 Chứng minh rằng nếu:
y a
x z
2 2
2
=++
c
z b
y a x
Giải: + + =0⇒ + + =0⇒ayz+bxz+cxy=0
xyz
cxy bxz ayz z
c y
21
2
2 2
+
⇒
=+++
z b
y a
x c
Trang 3(x2 −x) (2 −2 x2 −x)−15.
3 Phân tích đa thức thành nhân tử
1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x - y)a3
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc
7 Chứng minh rằng với x,y nguyên thì :
A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
= + +
= + +
1 1 1
3 3 3
2 2 2
z y x
z y x
z y x
Hãy tính giá trị
biếu thức
P = ( x − 1 )17 + ( y − 1 ) (9 + z − 1 )1997.10
Hãy tính giá trị của Biếu thức : S = (x-1)2005 + (y - 1)2006 + (z+1)2007
12.Cho 3 số a,b,c thỏa điều kiện :
c b a c b
11
11
Tính Q = (a25 + b25)(b3 + c3)(c2008 - a2008)
3 Phân tích đa thức thành nhân tử
1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x-y)a3
4 x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14
Trang 4( ) (2 )2 ( )2
2
|32
5 5
2 2 2 5
5 5
2 2 2 2
2 2 3 3 3
3 3 3
2
*
;6
22
33
3
z y x xyz zx
yz xy xyz
z y x xyz zx
yz xy xyz z
y x
z y x xyz zx
yz xy xyz z
y x
z y x xyz z
y x z y
x
xyz z
y
x
++
=++
−
++
=++
−++
⇔
++
=++
−++
⇔
++
=+++
+
⇒
=++
Nhưng: ( x + y + z )2 = 0 ⇒ − 2 xyz ( xy + yz + zx ) = x2 + y2 + z2(**)Thay (**) vào (*) ta được:
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)
7 Với x,y nguyên thì :
A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
= +
+
1
1
3 3
x
z y x
11
11
: (a + b)(b + c)(c + a) = 0 Tính được Q = 0
==========o0o==========
Trang 5Chuyên đề 2 : TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG N
Ti
ế t 10-12:
Một số dấu hiệu chia hết – Ví dụ
I Một số dấu hiệu chia hết
Trang 6II MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ PHÉP CHIA HẾT
A Tãm t¾t lý thuyÕt
1 §Þnh lý vÒ phÐp chia hÕt:
a) §Þnh lý
a bq r= + víi 0 r≤ ≤ b , a lµ sã bÞ chia, b lµ sè chia, q lµ th¬ng sè vµ r lµ sè d.
m a
M
M
m b
m a
M
M
m b
m a
3 Chứng minh rằng : n6 + n4 − 2 n2M 72 với n nguyên
4 CMR với mọi số nguyên a biểu thức sau:
a) a(a – 1) – (a +3)(a + 2) chia hết cho 6.
b) a(a + 2) – (a – 7)(a -5) chia hết cho 7.
c) (a2 + a + 1)2 – 1 chia hết cho 24
5 CMR với mọi số tự nhiên n thì biểu thức:
Trang 7a) n(n + 1)(n +2) chia hết cho 6 b) 2n ( 2n + 2) chia hết cho 8.
Trang 83 Đồng d thức
a) Định nghĩa : Cho số nguyên m > 0 Nếu 2 số nguyên a, b cho cùng số d khi chia
cho m thì ta nói a đồng d với b theo môđun m
+
2. (241917 +141917)M19
M+
4. (13123456789 −1)M183
M+
−
6. (3+32 +33 + +3100)M120
M+
Trang 9
-QUY NẠP TOÁN HỌC I.PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
*Chú í: Trong trường hợp tổng quát với n là số nguyên và n ≥ n0 Thì ta kiểm tra mệnh đề đúng khi n = n 0 ?
b a
b a
ab = + ⇔ (a+b)(a+b−1) =9a≤92⇒ (a + b) ≤ 9 và (a + b) = 9k ⇒ k = 1 ⇒ a + b = 9 ⇒ 9a = 9.8 = 72 ⇒ a = 8 và b = 1
cd ab
)1(99
x x
=+
=+
l y
x
k y x
l y
x
k y x
9111
111
ĐS: B = 9801;2025;3025
6. C =abcdef =( )2
def abc +
7. H =abcd sao cho
31
1
n n
d dd c
cc b bb a aa
Trang 108 Tìm xyy1+4z = z2
9 Tính giá trị của biểu thức:
4/ Cho x + y = m và x.y = n.Tính giá trị các biểu thức sau theo m,n.
6/ a) Cho a +b +c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2.Tính giá trị của bt: a4 + b4 + c4.
b) Cho a +b +c = 0 và a2 + b2 + c2 = 1.Tính giá trị của bt: a4 + b4 + c4.
Trang 11I.BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI VÀ CÁC HỆ QUẢ
+ = Do ab ≤ ⇒ ≥ 2 Hay + ≥ 2 Đẳng thức xảy ra khi a = b
5 Chứng minh: .(Với a.b < 0)
2(a +b +c) – 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a) ≥ 0
⇒ 2(a +b +c) ≥ 2(ab+bc+ca) Hay a +b +c ≥ ab+bc+ca Đẳng thức xảy ra khi a
= b;b = c;c = a ⇔ a = b= c
Trang 12• A B≥ ⇔ − ≥A B 0
• Cần lưu ý tính chất:A2 ≥0
• Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = 0
• Có thể nhân hai vế bất đẳng thức với một số khác 0 thích hợp
2 2
18.
b
c c
a a
b a
c c
b b
a
++
≤++ (với a ≥ b ≥ c > 0)
19.
ab
ab b
a
+
≥+
c ca
b bc
++
≥++ (Với a,b,c > 0)HƯỚNG DẪN:
nói gì thêm qui ước này được dùng cho các bài tập khác).Với các BĐT
có dấu ≤ ≥ ; thì cần tìm điều kiện của các biến để đẳng thức xảy ra
A – B = (a+2c−2b)2
22
Trang 13Bài 8:
x2 – xy + y2 =
4
3 2
2 2
y y
1
Biến đổi tiếp như bài 8
y x y xy
b
+
−+
−9
3
( Với a,b > 0)
Bài 20:
abc
ab ac ac
bc bc
(Với a,b,c > 0)
Trang 14• Nếu a < 0 :
2 2
Trang 15* Nếu x < C = (3x + 1) + 6
12 N = (x +1) + ( x - 3) = 2(x- 1) + 8
13 K = x + y - xy +x + y = ( x - y) + (x + 1) + (y + 1) - 1.
Trang 16
Tiết 31-36
* Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski
Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện theo dõi, tôi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây
6 a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
7 (ax+by)2 ≤(a2 +b2)(x2 +y2) ( Bu nhi a cop xki)
y x
b a y
b x
a
+
+
≥+
2 2
2
z y x
c b a z
c y
b x
a
++
++
≥+
bc c
ab
++
≥++ (Với a,b,c > 0)
b
ca a
bc c
ab
22222
b c a
c c
a b b
c c
b a
Áp dụng bất đẳng thức + ≥ 2 ; a , b > 0
a
b b
a
.Ta có:2A - 2B ≥a(2−2) (+b 2−2) (+c 2−2) ≥0.Vậy A ≥B.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0
+
+
y x
2
42
12
12
22
22
1
y xy x
y x xy y
x xy y
Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức :
a
b b
c c
a a
c c
b b
a
++
≥++ 22 222
2
Giải:
c
a c
b b
a c
b
b
a
2 22
2 2
c c
b a
c c
b
.2 22
2 2
a a
c b
a a
c
2
2
2
2 2
2
=
≥ +
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
a
b b
c c
a a
c c
c c
a a
c c
b
b
a
++
≥++
2 2
2
2
2 2
2
2
2
22
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Trang 17c b a c b a
2. Cho các số dương a,b,c biết a.b.c = 1 Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1)≥ 8
3. Cho các số a,b biết a + b = 1 Chứng minh rằng
1 2
1 2
1 3
1 3
1 3
1
b a c a c b c b a a c c b b
9. Cho a,b,c là 3 số dương
Chứng minh :
c b a ab
c ac
b bc
++
≥+
a b
c c a
b c b
+
++
++
+
c a c
b c b
1
22
112
1
2
11
1
++++
+++++
+
Trang 18c c
b a
c c
a a
b b a
3 a) A - B = a + b - =2( a + b) - (a + b) ≥ 0 b) Áp dụng câu a
8 + ≥ ; + ≥ ; + ≥
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được Đpcm
a b
c c
b a ab
c ac
.2
b c
a a
c b bc
a ab
.2
z y x
c b a z
c y
b x
a
++
++
≥+
++
+
c a c
b c b a
a2b2 + b2c2 + c2a2 ta có đpcm
+
≥
b a b
hạng thích hợp sẽ có đpcm
Trang 19
a Rút gọn Biếu thức
62
9124
=
a a
a a
a a
−
+ +
− +
+ +
2
2 2
8 : 5 , 0 1
2 5
,
(a ≠ ±2.)Giải:
a
62
9124
=
a a
a a
32232
+
=
a
a a
a a
a a
a a a a a
a a
a a
++
=
−
++
−+
++
2
28
22
422
22
8:5
,
0
1
25
,
0
3
2 3
2
a a
a a
a a
a
2
22
24
22
42
−
++
=
2: 2 2
3 3 2
2
2 2
−+
+
−
−+
2 2
2 2
2
3 3 2
2
2
2
2 :
y x y
x y x
xy y x xy y
x
y x y
x
xy y
−
⋅ +
−
− +
=
− +
12 3 4
3 4
+
−+
−
+++
=
x x x x
x x x
2
1
2 2 3 4
3 4 2
3 4
3 4
+
−++
−
+++
=+
−+
−
+++
=
x x x x x
x x x x
x x
x
x x x
1
1 1
1 1
1 1 1
1
1 1
2
2 2
2
2 2
2 2
3 2
−
+
− +
=
+ +
−
+ +
= +
− + +
−
+ + +
=
x
x x
x
x
x x
x
x x x
x x x
x x
x
x
x x
a a a a
a a a a
3 2 13
2 3
8 7 6 5 8
8
1 2 3
8 7 6
5
8 7 6 5
8 7 6 5 8 7 6 5
8 7 6 5
20071
1
11
1111
=
⇒
=+++
+++
=
+++
+++
=+++
+++
=
+++
+++
=+++
+++
B a
a a
a
a a a
a
a a a
a a a a a a
a a
a
a a a
a
a a a a
a a a a a
a a a
a a a a
B
Trang 20• Ví dụ 12 : Tính giá trị biếu thức : : 2 2
25 10
25
2 2
−
−
y y
y x x
x
x
.Biết x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - x−3.
3
y
x x
5 5 2
2 :
25 10
25
2 2
x
x x y
y
y x x
2 8 5
2 2 2
2 2 2
+ +
−
−
+ +
+ +
x a a a x
x a a a x
không phụ thuộc vào x
14 Cho biểu thức M =
82
63422
2
2 3 4 5
−+
+
−
−+
−
x x
x x x x x
b a b
a c c
−
−
−+
10 2 3
4 + − + −
+
x x x x
32
66
32
32
−
−
−
−+
+
=
x
x y
x xy
xy y
x xy
y x
≠ -2
2 2
2
2
3 :
2
2 4
4 2
2
x x
x x x
x x
x x
Trang 2119 a.Thực hiện phép tính:
16 1
8 1
4 1
2 1
1 1
1
x x
x x
2
9
19
191
a a a
c b a
bc a
c c b
+
−+
−
−
b a
a b b a
b a
biết:
09
&
053
y a
x
=
= Chứng minh rằng xy + yz + zx = 0
b.Nếu a3 + b3 + c3 = 1 Tính giá trị của a,b,c
1 3
5 1 3
1 2
+
− +
a
a Tính giá trị của A khi a = -0,5
b Tính giá trị của A khi : 10a2 + 5a = 3
1
11
11
1
=++
+++
++
25 Chứng minh đẳng thức sau:
ab an a bn
ab bn an a b
a ab
b ab a
b a
ab a
33
96
3529
3
2
2 2
2
2 2
2 2
−+
4
113
112
1
27 Tính tổng : S(n) = ( 3 1 )( 3 2 )
1
8 5
1 5 2
1
+
− + + +
2 3 2
−
− +
−
a
a a
a
Biết a là nghiệm của Phương trình : a2 − 3 a + 1 = 1
29 Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác biết rằng: 1 1 1 =8
c a
b
Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều
30 Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số dương thỏa điều kiện: a + b = 1 thì :
3
21
b b
y y x
xz y z
x y x
yz x
++
−+
++
−+
++
2
32 Rút gọn biểu thức : A =
c b a
abc c
b
++
−+
x
x x
x
x x
x
1
1 1
1 : 1
2
2 2
34 Rút gọn rồi Tính giá trị biếu thức với x + y = 2007
Trang 22A = x(x x(x5+)6)y+(y y(y5+)6)2+(xy2xy3)
−+
+++
35 Cho 3 số a,b,c ≠ 0 thỏa mãn đẳng thức:
a
a c b b
b c a c
c b
2 2
2 2
2
2
4.2
4.2
4
y xz
y zx x yz
x yz z xy
z xy A
+
−+
−+
2 2
2 2 2
1
111
11
a a
a a x
a a a x
x a a a x
+
−
++
=++
−
−
++
++
14 M =
8 2
6 3 4 2 2 2
2 3 4 5
− +
+
−
− +
−
x x
x x x x x
+
− +
=
x
x x
15 (a b)(a c) a b c a
c b
999
10
2 2
−+
+
x x
x
x x
x x x
1
10
110
;11
1
2
2
x x
x x
x
lx x
x x
b n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 [ ( ) ]4
1+
= n n
17
9
96
32
66
32
32
−
−
−
−+
+
=
x
x y
x xy
xy y
x xy
y x A
( 3)( 3)( 2)
09
96
32
66
32
32
2
2
++
−
−
−
−+
+
=
y x x x
x y
x xy
xy y
x xy
y x
18
a.A =
3
42
3:
2
24
42
3 2
2 2
x
x x x
x x
x x
7
x
x x
Trang 23a.A = 2 4 8 16 32
1
321
161
81
41
21
11
1
x x
x x
x x
1 9 1
2 2
2 2
2 2
−
=
+
− +
c b a
bc a
c c b
−+
−
=
a c c b b a
a c c b b a a
c c b b a
a c ac c b bc b a ab
21 Từ:10a2 −3b2 −5ab=0&9a2 −b2 ≠0⇒5ab=3b2 −10a2(1)
2 2
9
6153
33
53
2
b a
b ab a
b a
a b b a
b a
−+
y a
z y x c
z b
y a
x
+ +
= + +
+ +
yz yz
y
y yz
y
zx z yz
y xy
x
++
+++
+++
=
++
+++
+++
11
1
1
1
11
11
1
25 Chứng minh :
a b
b a ab an a bn
ab bn an a b
a ab
b ab a
b a
ab a
−
+
=+
−
−
++
−
+
33
39
6
3529
3
2
2 2
2
2 2
2 2
4
1 1 3
1 1 2
1
3996
19992
1999.1998
11998
4.3.2
1999
5.4.3.1998
4.3.2
1997
3.2
23
113
1
8
15
15
12
131
2313
1
8.5
15.21
−+
−
=
+
−+++
n
n n
n
n n
2
21712
−
a
a a
−
52
;1
5
;13
;01
132
A a
a
A A a
a a
Trang 2429 1 1 1 8 ( ) (2 ) (2 )2 0
=
−+
−+
c b ab
b a c
a b
c a
21
2 2 2
2 3
−+
−
=+
a
a b a
b b
a
y z x
x z
x y x
yz x
+
−+
=++
−
2
z y x
y z
y y x
xz y
+
−+
=++
−2
x z y
z z
y z
x
xy z
+
−+
=++
abc c
b
++
−+
y y x
x
xy y
y x
x
+++
−+++
=+
+++
−++++
6
16
2)6()6(
)3(2)5()5(
35 Từ:
a
a c b b
b c a c
c b
b c a c
c b a
Suy ra:
a
a c b b
b c a c
c b