4 đ Câu 6: Chứng minh rằng tam giác có một đỉnh là giao điểm của hai cạnh đối c ủa một tứ giác lồi ,hai đỉnh kia là trung điểm hai đường chéo tứ giác đó có diện tích bằng ¼ diện tích tứ
Trang 1PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ DỰ KIẾN Đ Ề THI HS GIỎI TOÁN - LỚP 9 TRƯỜNG THCS MỸ HOÀ Năm học : 2010-2011- Thời gian 150 phút
***************
Câu 1: Giải phương trình /x+1/ +3/x -1/ = x +2+ /x/ +2/x-2/ (3 đ)
Câu2 :Chứng minh rằng : 12002 +22002+32002+ 2002+ 2002 chia hết cho 11 (3đ)
Câu3 : Chứng minh rằng nếu a,b,c là số đo ba cạnh của một tam giác thì :
a b c 2
b c a c a b+ + <
Câu 4:Rút gọn biểu thức
A = 2+ 3 2+ 2+ 2+ 3 2− 2+ 2+ 3 2+ 2+ 3 (3 đ) Câu5: Một tam giác có số đo ba đường cao là những số nguyên và đường kính
đường tròn nội tiếp bằng 1 Chứng minh rằng tam giác đó đều (4 đ)
Câu 6: Chứng minh rằng tam giác có một đỉnh là giao điểm của hai cạnh đối c ủa một tứ giác lồi ,hai đỉnh kia là trung điểm hai đường chéo tứ giác đó có diện tích bằng ¼ diện tích tứ giác (4 đ)
H ết
Trang 2
Đ ÁP ÁN V À THANG ĐI ỂM CH ẤM TO ÁN 9
C âu 1: Ta c ó x+1=0 ⇔x= -1
x-1=0 ⇔x=1
x-2 =0 ⇔x=2
Lần lượt xét pt trong các khoảng sau :x <-1 , 1 x− ≤ <0 , 0 x≤ <1 , 1 x≤ <2 , 2 x≤ Khi x<-1 từ pt đã cho ⇒ và giải được x= -2 thoả đk
Khi − ≤1 x<0 từ pt đã cho⇒ 0x=2 pt vô nghiệm (1,5đ)
Khi 0 x≤ <1 từ pt đã cho⇒ và giải được x=-1 không thoả đk
Khi 1 x≤ <2 từ pt đã cho⇒ và giải được x= 2 không thoả đk
Khi 2 x≤ từ pt đã cho⇒ và giải được 0x= 0 pt v ô s ố nghi êml ,v ậy 2 x≤ Kết luận nghiệm của pt là x=-2 và 2 x≤ (1,5)
Câu2
Theo định lí fermat a11 ≡a(mod11) ⇒a2002 ≡a(mod11)(0,5đ)
12002 ≡(mod11)
22002≡(mod11)
………
………
………
20022002 ≡(mod11)(1đ)
Vậy 12002 +22002+32002+ 2002+ 2002 =(1+2+….+2002)(mod11)
=(1+2002).1010(mod11)
= 0(mod11) (1đ)
Do dó tổng chia hết cho 11 (0,5đ)
Câu3
+
< ⇒ <
+ (với x,y>0) (0,5đ)
Do đó
+
<
b
a c
b b
a b c
+
+
<
+ +
+
<
+ + + (1đ)
cộng 3 bdt trên ta được a b c
b c a c a b+ + + + + <
a b c a c b a b c+ + + + + + + + (1đ) < 2(a b c)
a b c
+ + + + < 2 (0,5đ)
Trang 3Câu 4 Ta có 2+ 2+ 2+ 3 2− 2+ 2+ 3 = 2− 2+ 3 (1,5 đ)
Vậy A = 2+ 2+ 3 2− 2+ 3 2+ 3
= 2+ 3 2− 3 =1 (1,5 đ)
Câu 5
A Đặt BC=a ,AC=c ,AB=c
Gọi x, y,là độ dài các đường cao ứng với các cạnh a,b,c của tam giác ABC Vì bán kính đt nội tiếp bằng 1nên x,.y,z>2
B
j
C Gỉa sử x y z≥ ≥ >2
Diện tích tam giác ABC :S=1/2xa =1/2by=1/2cz (1)
mặt khác S= 1( )
2
S +S +S = + + (2) (1 đ)
tù (1)và (2) suy ra a+b+c= 1 1 1 1 1 1
+ +
= = =
+ + (1 đ) Suy ra
1
+ + = ≤
⇒ ≤ ⇒ =
1
3
x+ + = ⇒ + =y z x y hay 3(x+y)=2xy (1 đ)
Suy ra (2x-3)(2y-3)=9.1 suy ra x=3,y=3
hoặc x=6,y=2 (loại )
Vậy x=y-z=3 khi đó a=b=c (1 đ)
CÂU 6
Gọi M,N là trung điểm củ 2đường chéo BD,AC của tứ giác ABCD ,E là giao điểm của AD,BC
Ta có SEMN=SEDC−SEMD−SENC−SDMC−SMNC (1 Đ)
1 1 1 12
EBD EAC DBC
S
S
Trang 4=1 )
(
(
S −S −S (1 đ)
= 0 ) 1
4
1 (
E
D C