1,5đ *Ghi chú:Mọi cách giải khác đúng và hợp lí đều cho điểm tối đa.
Trang 1PHÒNG G D&Đ T PHÙ MỸ ĐỀ THI HỌC GIỎI CẤP HUYỆN CẤP HUYỆN
TRƯỜNG THCS MỸ CHÂU Năm học :2010-2011
Môn :TOÁN,LỚP 9
Thời gian làm bài :150 phút(không kể thời gian phát đề)
ĐỀ BÀI.
Câu 1:(3.0điểm)
Chứng minh rằng:
3 7 11 15 4 1 7
n−
với mọi số nguyên dương n
Câu 2:(3,0điểm)
Cho hai biểu thức f(x)=(x-2)2008 + (2x-3)2007 +2006x
và g(x)=y2009 -2007y2008 +2005y2007
Giả sử f(x) sau khi khai triển và thu gọn ta tìm được tổng tất cả các số hạng của nó là k.Hãy tính k
và tính giá trị của g(k)
Câu 3:(4.0điểm)
Giải phương trình :3 3x+ +1 35− +x 3 2x− −9 3 4x− =3 0(1)
Câu 4: ( 3, 0 điểm)
Cho a ≥ 0, b≥ 0, c≥ 0 , chứng minh rằng:
a4 + b4 + c4 ≥ abc ( a+b+c)
Câu 5:(3,0điểm)
Cho tam giác ABC có AB =a;AC=b;AB=c Tìm điểm M nằm bên trong tam giác sao
cho a b x+ +y c z có GTNN Trong đó x,y,z thứ tự là khoảng cách từ M đến BC, AC, AB.
Câu 6 :(4,0điểm)
Cho tam giác ABC ,các tia phân giác trongBM, CN (M thuộcAC,N thuộc AB) cắt nhau tạiD Chứng minh rằng tam giác ABC vuông khi và chỉ khi 2BD.CD=BM.CN
……….Hết ………
Trang 2PHÒNG GD&ĐT PHÙ MỸ
TRƯỜNG THCS MỸ CHÂU
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ HSG MÔN TOÁN 9
Câu 1: (3,0điểm)
Với mọi m≥ 2 ta có 4 1 4 13 4 7
−
(1,0đ)
Ap dụng hệ thức trên với mỗi m bằng 2,3, ,n ta có:
S=3 7 11 15 4( 1) 1 41 1
−
(1,25đ) =7 4 7 7
2n
n+
− < (0,50đ) Vậy S<7 với mọi số nguyên dương n (0,25đ)
Câu 2:(3,0điểm)
Dễ thấy rằng tổng các hệ số của f(x) sau khi khai triển và thu gọn chính là giá trị của đa thức f(x) tại x=1.Ta có
s=f(1)=(1-2)2008+(2.1-3)2007+2006.1
=2006 (1,50đ) Khi đó thay 2007=s+1,2005=s-1 ta được
g(s)= s2009-(s+1)2008+(s-1)2007
=-20062007 (1,25đ) Vậy s=2006 và g(s)=-20062007 (0,25đ)
Câu 3:(4.0điểm)
Đặt a=33x+1,b=35 x− ,c=32x−9 (0,5đ) Suy ra a3+b3+c3=4x-3.Khi đó từ (1) có
(a+b+c)3= a3+b3+c3 (0,5đ)
⇔ a3+b3+c3 +3(a+b)(b+c)(c+a)= a3+b3+c3
⇔(a+b)(b+c)(c+a)=0
0
0
0
a b
b c
c a
+ =
+ =
(1,0đ)
(0,75đ)
3
4
8
5
x
x
x
= −
=
(1,0đ)
Trang 3Vậy phương trình có ba nghiệm là x=-3;x=4;x=8
5 (0,25đ)
Câu 4: ( 3, 0 điểm)
Ap dụng bất đẳng thức côsi với các số không âm, ta có
a4+b4+c4 =
2 2
2
4 4 4 4 4
4 b b c c a
(0,75đ)
≥ a4b4 + b4c4 + c4a4 = a2b2+b2c2+c2a2 (0,5đ)
= a2
2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
c a c b c
(0,5đ)
≥ a2 b2c2 + b2 c2a2 + c2 a2b2 (0,5đ)
= a2bc + b2ca +c2ab = abc (a+b+c) (0,5đ)
Vậy ta có điều phải chứng minh (0,25đ)
Câu 5:(3,0điểm)
-HS vẽ hình và lập luận được 2S=ax+by+cz (1,0đ) -Khi đó ta có(ax by cz).(a b c) (a b c)2
x y z
(BĐT Bunhiacopxki) (1,0đ)
2
2
a b c a b c
+ +
⇒ + + ≥ (0,5đ)
-Do đó min
2
2
+ +
-Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khix=y=z hay M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC(0,5đ)
Câu 6:(4,0điểm)
-HS vẽ hình và lập luận được :
BM là phân giác góc B MA AB
MA AB c MA bc
+ + + + (1,0đ)
AD là phân giác góc BAM BD AB BD AB a c
+
+ + + (0,75đ) Tương tự :CD b a
CN a b c
+
= + + (0,75đ)
Từ trên ta có các phép biến đổi tương đương sau :
2BD.CD=MB.CN
2(c+a)(b+a)=(a+b+c)2
b2+c2 =a2
Hay tam giác ABC vuông (1,5đ) *Ghi chú:Mọi cách giải khác đúng và hợp lí đều cho điểm tối đa
y z x
A
M
D A
B
C M N