Câu 2.3,0 điểm: Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không thể là một số chính phương... không thể là một số chính phương... Vẽ đường trung trực của BC cắt BC, AB
Trang 1PHÒNG GD & ĐT PHÙ MỸ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ ĐỨC Môn : Toán – Lớp 9 - Năm học : 2010 – 2011
Thời gian làm bài : 150 phút
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ (không kể thời gian phát đề)
Câu 1.(3,0 điểm):
Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là số chính phương:
A = x4 – x2 + 2x + 2
Câu 2.(3,0 điểm):
Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không thể là một số chính phương
Câu 3.(5,0 điểm):
a) Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
A = x6 + y6
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = x 9 x− 2
Câu 4.(3,0 điểm):
Chứng minh rằng nếu các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:
1 1 1 2
8
≥
Câu 5.(3,0 điểm):
Cho tam giác ABC Qua điểm O tùy ý trong tam giác kẻ các đường thẳng AO, BO, CO cắt
BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’ Chứng minh hệ thức:
OA'' OB'' OC'' 1
Câu 6.(3,0 điểm):
Không dùng bảng lượng giác và máy tính Tính cos150
Trang 2PHÒNG GD & ĐT PHÙ MỸ ĐÁP ÁN - HD CHẤM - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS MỸ ĐỨC CẤP HUYỆN – NĂM HỌC : 2010 – 2011
Môn : Toán – lớp 9
Câu 1
(3,0 điểm)
A = x4 – x2 + 2x + 2 = (x4 – 2x2 + 1) + (x2 + 2x + 1) = (x2 – 1)2 + (x + 1)2 = (x2 – 1)(x2 – 1) + (x + 1)2
= (x -1)(x +1)(x – 1)(x + 1) +(x + 1)2 = (x +1)2(x – 1)2 + (x + 1)2
x
Để A là số chính phương thì phải có: (x + 1)2 = 0 và (x -1)2 + 1 tùy ý;
hoặc (x + 1)2 ≠ 0 và (x -1)2 + 1 là số chính phương
Do đó y2 - (x -1)2 = 1 ⇔ (y+ −x 1) ( y− − =x 1) 1.
Vì y∈N và x− ∈1 N nên chỉ xảy ra : y + x− =1 1và y - x− =1 1.
Thử lại ta thấy với x = 1, x = -1 thì A = x4 – x2 + 2x + 2 là số chính phương
Điểm
0,5 0,25
0,25 0,25
0,5 0,5 0,5 0,25
Câu 2
(3,0 điểm)
Tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp có dạng :
S = (n – 2)2 + (n – 1)2 + n2 + (n +1)2 + (n +2)2 (n∈Z).
S = n2 + 4 – 4n + n2 + 1 – 2n + n2 + n2 + 1 + 2n + n2 + 4 + 4n
S = 5n2 + 10 = 5(n2 + 2)
không thể là một số chính phương
0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
Câu 3
(5,0 điểm)
Câu a
(3,0 điểm)
* Với x2 + y2 = 1 (gt) ta có :
A = x6 + y6 = (x2)3 + (y2)3 = (x2 + y2)3 – 3x2y4 – 3x4y2
= (x2 + y2)3 – 3x2y2(x2 + y2) = 1 - 3x2y2
Ta có - 3x2y2 ≤ 0 Do đó A ≤ 1
1, 0 1
=± =
0,5 0,25 0,5 0,25
Trang 3Câu 3a
=
÷
2y2 3
4
1
2
2 2
x y
x y
= = + =
−
Vậy A(min) = 1
4
2 2
0,5 0,5 0,25
Câu 3b
2 ≥ 0 ⇔x2 ≤ 9 ⇔ -3 ≤ x ≤ 3
* Aùp dụng bất đẳng thức cho hai số không âm, ta có :
2
±
±
0,5
0,5 0,75 0,25
Câu 4
bc
ac
11 2 (1 ) 1( )
ab
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )
2
1
8
abc
abc
⇔ 1 ≥ 8abc (vì a, b, c > 0) ⇔ abc ≤ 1
0,5 0,5
0,5 0,25 0,25
0,5 0,25 0,25
Trang 4Câu 5
(3,0 điểm) * Vẽ hình đúng theo đề bài (h.1)
* Kẻ AH ⊥ BC, OI ⊥ BC (H, O∈BC)
Khi đó OI // AH (cùng ⊥ BC)
Xét ∆AHA’ có OI // AH theo hệ quả của định lí Talet ta có:
'
AA'
AH
* Mặt khác có :
1 2 1 2
OBC ABC
BC OI
ABC
ABC
OAB ''
ABC
* Cộng các vế tương ứng của (3), (4), (5) ta được :
0,25 0,25
0,5
0,5
0,5 0,25 0,25
0,5
Câu 6
(3,0 điểm) * Vẽ ∆ABC vuông tại A có µB=150
(hình 2)
* Đặt AC = b Vẽ đường trung trực của BC cắt BC, AB lần lượt tại I, K
Khi đó : KB = KC ⇒ ∆KBC cân tại
K ⇒ µ µ 0
Do đó AB = AK + KB = AK + KC = b 3 + 2b = b( 3 +2)
BC2 = AB2 + AC2 = b2( 3 +2)2 + b2 = b2(3 + 4 + 4 3 + 1) = 4b2(2+ 3 )
0,25
0,5
0,25 0,5 0,25 0,25
0,5