Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD.. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN với MC và AC.. Cho biết AB =30cm, tính diện tích các tam giác BEM và AFN.
Trang 1PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH NĂM HỌC: 2010-2011
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2,5 điểm)
Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương
Câu 2: (3,0 điểm)
Với n∈N và n > 1, sao cho 2n -2 M n
Chứng minh rằng : 2 1
2 n− −2 2M n−1
Câu 3: (4,0 điểm)
Cho a +b +c = 0 Tính giá trị của biểu thức :
a b b c c a c a b
A
Câu 4: (3,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của :
B x 1 y 1
−
−
Câu 5: (2,5 điểm)
Giải phương trình :
3 2 2
3 2
x x
−
−
Câu 6: (5,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD Gọi E và
F lần lượt là giao điểm của BN với MC và AC Cho biết AB =30cm, tính diện tích các tam giác BEM và AFN
Trang 2PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH NĂM HỌC: 2010-2011
HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN, LỚP 9
Thời gian làm bài 150 phút
1
Ta có:
=
−
= +
2
2
65
24
h n
k n
k 24 h 65
⇔ − = +
( − )( + )=89=1.89
⇔ k h k h
=
=
⇒
=
−
= +
⇔
44
45 1
89
h
k h
k
h k
Vậy: n = 452 – 24 = 2001
0,5
0,5 0,5 0,75 0,25
2
Ta có: 2n−2Mn⇒ − =2n 2 kn (k N∈ )
2
2 1
2
2 2
1
2
2 2
4
2 2 1 2 1 2 1
n n
n
n
k
k
−
−
−
− = −
= − =÷÷ −
= − = −
= − + + M −
0,25 0,5
1,0
0,75 0,5
3
Đặt a b b c c a M
Ta có:
M
c b bc ac a
c b a b a c b a
c b a a b c
c a b c a b
− + −
= +
−
= +
−
= +
−
− − −
= +
− ( )
ab
+
= + (vì: a + b+ c =0 => c = - a - b)
0,25
0,5
0,5
0,5
Trang 3
Tương tự:
Vậy:
A
+ +
3 2.3abc 9
abc
= + = (vì khi a +b+c =0 thì a3+ +b3 c3= 3abc)
0,5
1,0
0,25 0,5
4
ĐK : x ≥ 1, y ≥ 2
Áp dụng BĐT Cô - si, ta có:
;
− = − ≤ + − =
⇒ ≤ + =
4
B
+
0,25 0,75
0,75
0,5
0,75
5
ĐK: 2
3
x>
Áp dụng BĐT a b 2
b a+ ≥ với a>0, b>0 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
Với 2
3
x> thì 3 2 2
3 2
x x
−
−
2
1 2
3 2
3 2 0
x x
⇔ − + =
Vậy tập nghiệm : { }1; 2
0,25
0,75
0,5 0,5 0,5
6
Ta có :
( )
90
ABN BCM c g c
B C B BME
∆ = ∆
Do đó: BN ⊥CM tại E
Trong ∆ABN vuông tại A
Có: BN2 = AB2 +AN2 =302 +152 =1125
Ta lại có: ∆BEM ∆BAN (g.g)
2
225 1
1125 5
BEM
BAN
1,0 0,5
0,75 1
1
E F
M
N
Trang 4Mà: SBAN = 1
2.20.15= 225 => SBEM = 225.1
5 = 45 (cm2)
Ta cũng có: ∆AFN ∆CFB (g.g)
FN AN
FN BF BN
FB BC
Nên SAFN = 1
3SABN = 1
3.225 = 75 (cm2) Vậy: SBEM = 45 (cm2); SAFN = 75 (cm2)
0,5
0,5 1,0
0,75
từng câu