-Nêu được cách vẽ đường phụ vuông góc với AM tại A cắt CD ở I.
Trang 1Phòng GD- ĐT Phù Mỹ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)
Câu 1:(3.0đ) Chứng minh rằng
1( 1)
2 + 3 + +n < n≥
( 1)( 2) ( ) 2 (n )
Câu 2: (3.0đ) Chứng minh rằng
a5 -aM 30 ( ∀ ∈a Z)
Từ đó suy ra rằng nếu: a1+a2+a3+ +an M 30 thì 5 5 5 5
1 2 3 n 30( i , 1
a + + + +a a a M ∀ ∈a Z i= n
Câu 3: (5.0đ)
a/ Cho 0< x< 2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=29x x+2x
− b/Cho a,b,c là ba số dương
Chứng minh: 2 2 2
2
b c a c b a
+ +
Câu 4:(2.5đ) Tìm x biết: ( )3
x− + + x− = −x
Câu 5:(3.0đ)Cho hình vuông ABCD cạnh a.Qua đỉnh A, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở
M và cắt cạnh DC ở N.Chứng minh: 2 2 2
Câu 6: (3.5đ)Cho tam giác ABC vuông ở A.Vẽ phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD
vuông cân ở B, tam giác ACF vuông cân ở C.Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF Chứng minh rằng:
a/ AH=AK
b/ AH2=BH.CK
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
n
n
−
( 1)( 2) ( ) 1.3.5 (2 1) 1.3.5 (2 1).2 2
1.2 1.2.3
n n
2
Ta có: a5 –a = 4 2
( 1) ( 1)( 1)( 1)
Mà:(a2 + 1)(a− 1) (a a+ 1) 6 M
Nếu aM 5 ⇒a5 −aM 5
Nếu a: 5 dư 2 5
1 a 1 5 a a 5
± ⇒ − M ⇒ − M Nếu a: 5 dư ± ⇒ 2 a2 + 1 5 M ⇒a5 −aM 5
Vậy a5 −aM 5( ∀ ∈a Z).Mà (5,6)=30 Vậy a5 −aM 30
Lại có: a1+a2+a3+ +an M 30
1 2 3 n ( 1 1 ) ( 2 2 ) ( n n) ( 1 2 n)
a + + + +a a a = a −a + a −a + + a −a + a + + +a a
1 1 30; 2 2 30; ; n n 30
Vậy: 5 5 5 5
1 2 3 n 30
a + + + +a a a M
0.5đ
0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 1.0đ 0.5đ
3
a Ta có: A= 9 2
1 2
−
− với 0< x< 2, ta có: 9 2 2 9 .2 6
⇔ 9 2 1
2
−
− ≥ +6 1 hay A≥ 7
x
−
−
1.0đ 0.5đ 0.5đ
0.5đ
b Vì a,b,c >0, áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
a
b
c
Cộng (1),(2),(3) vế theo vế ta được: 2 2 2
2
a b c
b c a c b a
+ +
⇔ 2 2 2
2
b c a c b a
+ +
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
4
Đặt y= x− 1(y≥ 0) ⇒x=y2+1 Khi đó ta có:
(y+1)3+2y=2-(y2+1) ⇔y3+4y2+5y=0⇔y[(y+2)2+1]=0
Vì (y+2)2+1≥0 ⇒y=0
⇒x=1
0.5đ 1.0đ 0.5đ 0.5đ
Trang 3-Nêu được cách vẽ đường phụ vuông góc với AM tại A cắt CD ở I
-Nêu được trong tam giác AIC có:
-Chứng minh được
Suy ra: AM=AI
Do đó: 2 2 2 2
0.5đ 0.5đ
1.0đ 0.5đ 0.5đ
6
-Ta có:AH AC b(1)
AK AB c(2)
Từ (1) và (2) suy ra: AH c = AH HB AH =b c b
AK b = AK KC AK =b c c
Suy ra: AH= bc ;AK bc
Do đó: AH=AK
0.5đ
0.5đ
1.0đ 0.5đ
b từ (1) và (2) suy ra:AH KC
Mà: AH=AK
⇒ AH2= BH.CK
0.5đ
0.25đ 0.25đ