Đề và đáp án thi học sinh giỏi môn Toán 9- THCS Mỹ Lộc 2010-2011.

Tìm điểm P trong tam giác ABC sao cho tổng các khoảng cách từ P đến ba cạnh của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất ?.

PHÒNG GD - ĐT PHÙ MỸ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ LỘC NĂM HỌC : 2010 - 2011

Môn : TOÁN

(ĐỀ ĐỀ XUẤT ) Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể phát đề )

Bài 1 : (6.0 điểm)

a- Cho tổng : A = 5 + 52 + 53 + ………+ 52010 Chứng minh rằng : A chia hết cho 126

b- Tìm số tự nhiên a để (23 – a) ( a – 3 ) là số chính phương

Bài 2 : (4.0 điểm)

a- Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác

CMR : a

a b c   3

2

Bài 3 :(3.0 điểm) Cho x,y dương thỏa : x+y=2009

2010 Tìm GTNN của S =2008

x +2008y1

Bài 4 :(4.0 điểm)

Cho ABCcân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác trong Biết IA = 2 5, IB = 3 Tính độ dài AB ?

Bài 5 : (3.0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC Tìm điểm P trong tam giác ABC sao cho tổng các khoảng cách từ P đến ba cạnh của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất ?

ÁP ÁN VÀ BI U I M CH M ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ỂU ĐIỂM CHẤM ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ỂU ĐIỂM CHẤM ẤM

Bài 1

(6.0 đ)

Câu a

A = 5 + 52 + 53 + … + 52010

= (5 + 54) + (52 + 55) +(53 + 56) + … + (52007 +52010) = 5(1+53)+52(1+53) +53(1+53)+ … + 52007(1+53) = 126.(5 + 52 + 53 + … + 52007)

Vì : 126  126  A  126

1.0đ 1.0đ 0.5đ 0.5đ

Câu b

Đặt (23 – a) ( a – 3 )= b2 Biến đổi được: 26a – a2 - 69 = b2 ( a – 13) 2 = 100 - b2 Suy ra 100 – b2 là số chính phương

Tìm được : Trường hợp: b = 10  a = 13

b = 8  a = 19

b = 6  a = 21

Vậy các số a là 13; 19, 21

0.5đ

0,5đ 0,5đ

1,0đ 0,5đ

Bài 2

(4.0 đ)

Câu a

Đặt x = b + c – a , y = a + c – b , z = a + b – c

Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên x , y ,z > 0

Do đó : a

a b c  = 1

2

    

 

        

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : x = y = z  a = b = c

0,5đ 0,5đ

0,75đ 0,25đ

Câu b

Điều kiện : x 0

2

2

       

         

       

        

2

2 2

2

    

x 42 16

  

 8 0

x x

  

0 ( ) 8

x





  



0,25đ

0,5đ

0,5đ

0,25đ 0,25đ

Vậy phương trình có một nghiệm : x = -8 0,25đ

Bài 3

(3.0 đ)

Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky , ta có :

 

2

2

2008 2010

2008 2008

   

Suy ra : 2010 1 :2009 2011 1

2008 2010 1004

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

2008 2008

2008 1

2010 2009

2010

2010

y x

x y

y

x y







 



 Vậy MinS = 2011 1

1004 đạt được khi 2008

2010

2010

y 

1,5đ 0,5đ

0,75đ

0,25đ

Bài 4

(4.0đ)

- Từ A kẻ AMAC (Mtia CI)

- Chứng minh được : AMI cân tại A  AM = AI = 2 5

Kẻ AHMI => MH = HI Đặt HM = HI = x (x>0) Tam giác AMC vuông tại A , có AM2 MH MC

=> 2 52 x x2 3

2

2x 3x 30 0

   

2x 5 x 4 0

=> x = 2,5 hoặc x = -4 (loại)

Do đó : MC = 2.2,5+3=8

AC2 = MC2 – AM2 = 82 - 2 52= 44

=> AC = AB = 2 11

1,0đ

1,0đ

1,0đ 0,5đ 0,5đ

Bài 5

(3.0đ)

Gọi a,b,c là độ dài các cạnh đối diện A,B,C và ha,hb,hc là các đường cao tương ứng

Giả sử : a b c  , khi đó h a h b h c

Ta có : SABC = SPAC + SPBC + SPAB

=> 2SABC =a.PH + b.PK + c.PI a(PH + PK + PI)

=> PH + PK + PI 2S ABC

a

 = ha

Vập PH + PK + PI đạt giá trị nhỏ nhất khi PA

0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ

I H M A

P I

H

K

C B

A