Một quân xe có thể “ăn trực tiếp” bất kỳ một quân cùng cột hoặc cùng hàng với nó.. Giả sử trên bàn cờ có 3 quân xe 3 màu khác nhau, hỏi có bao nhiêu cách đặt 3 quân xe lên bàn cờ sao cho
Trang 1TRƯỜNG TH CHUYÊN KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG (Năm học 2009 – 2010)
TỔ TOÁN - TIN HỌC. Môn: Toán Lớp: 11
- Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ BÀI
Câu I (2 điểm)
os
4
1) Giải phương trình (1)
2) Tính tổng các nghiệm của phương trình (1) trên đoạn [1;2010]
Câu II (2 điểm)
1) Khai triển (1+x+x2)10 thành đa thức, hãy tìm hệ số của x5
2) Bàn cờ vua có hình vuông, mỗi cạnh chia thành 8 ô, tổng cộng có 64 ô Một quân xe có thể “ăn trực tiếp” bất kỳ một quân cùng cột hoặc cùng hàng với nó Giả sử trên bàn cờ có 3 quân xe 3 màu khác nhau, hỏi có bao nhiêu cách đặt 3 quân xe lên bàn cờ sao cho chúng không “ăn” lẫn nhau?
Câu III (2 điểm)
Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c M là điểm tùy ý trên cạnh AB, (P) là mặt phẳng qua M và song song với AC và BD cắt BC, CD, DA lần lượt tại N, P, Q Tìm vị trí của M và điều kiện của a, b, c để thiết diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thiết diện trong trường hợp đó
Câu IV (2 điểm)
MA +MB +MC +MD đạt giá trị nhỏ nhất 2) Cho tam giác ABC có A, B, C theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội 1
2 Chứng minh rằng
AB = BC CA+
Câu V (2 điểm) Tìm hàm : f ¡ →¡ thỏa mãn các điều kiện
(i) (0) 2009f =
(ii) ( ) 2010
2
f π =
(iii) f x y( + +) f x y( − =) 2 ( ).cos ;f x y ∀x y, ∈¡
-Hết -ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2TRƯỜNG TH CHUYÊN KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG (Năm học 2009 – 2010)
TỔ TOÁN - TIN HỌC. Môn: Toán Lớp: 11
- Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐÁP ÁN
≠ +
≠ +
os
4
1 4
2
3 sin 4
2
4 4
x x x
x k
x k
π π
⇔ =
Kết hợp với điều kiện ta được:
2
x k= π
, k∈¢ 2
2
, vì k∈¢ Suy ra, tổng các nghiệm của (1) trên [1; 2010] là
1279.1280
( 2)1 ( ( ) 2)1
10 10
2
10 10
k
k
k
−
−
−
−
+
−
=
∑∑
x5 ứng với I, k thỏa 2k + i = 5
0 5 1
5 2
3 2 1
k i k
i k i
=
=
=
=
=
(vì k, i ∈¥ )
Suy ra: hệ số của x5 trong khai triển là C C10 100 5 +C C101 93+C C102 81
2 Có 64 cách đặt quân xe đầu tiên lên một ô trên bàn cờ
Quân xe thứ nhất có thể ăn trực tiếp theo hàng dọc hoặc hàng ngang nằm
Trang 3trên 14 ô cùng hàng hoặc cùng cột với nó Do đó chỉ có thể đặt quân xe thứ hai vào 63 – 14 = 49 ô còn lại
Tiếp tục ta có, quân xe thứ hai có thể ăn trực tiếp theo hàng dọc hoặc hàng ngang nằm trên 14 ô cùng hàng hoặc cùng cột với nó, để ý rằng có 2 vị trí giao nhau của các hàng và cột của hai quân xe thứ nhất và thứ hai, suy ra số cách đặt quân xe thứ ba là 48 – (14 – 2) = 36 cách
Suy ra số cách đặt 3 quân xe thỏa đề bài là: 64.49.36 = 112896
MP NQ
=
Lúc đó SMNPQ = 1 2
4b
IV 1 Gọi G là trọng tâm của tứ diện ta có:
2
4
uuuur uuur uuur uuur uuur
2+GC2+GD2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M ≡G
Vậy: MA2+MB2+MC2+MD2 đạt giá trị nhỏ nhất khi M là trọng tâm của
tứ diện
2
Ta có:
4 7 2
A
A B C A
B
π π
π π
+ + =
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Ta có:
os os
3
4
c
V
x t= −π π
ta được ( )f t + f t( −π) 0= (1)
+ Từ (iii), thay ,
f t + f π− =t f π c t−π
Trang 4hay ( )f t + f(π− =t) 2.2010.sint (2).
+ Từ (iii), thay x=0, y=t-π ta được f t( − +π) f(π − =t) 2f ( ) (0 c os t−π)
hay f t( − +π) f(π − = −t) 2.2009.c ost (3)
Từ (1) và (2) suy ra 2 ( )f t + f t( − +π) f(π− =t) 2.2010sint−2.2009.cost
(4)
Thay (3) vào (4) ta được: ( ) 2010sinf t = t+2009.cost
Suy ra: ( ) 2010sinf x = x+2009cosx
* Thử lại, ta thấy f(x) thỏa đề bài
Vậy: Hàm số cần tìm là ( ) 2010sinf x = x+2009cosx