Một góc vuông COD quay quanh O; hai cạnh góc vuông cắt Ax và By lần lượt tại C và D.
Trang 1PGD huyện Long Điền
Trường THCS Phước Tỉnh
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2005-2006
Ngày thi 20 tháng 01 năm 2006, thời gian 150 phút ( không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (2,5 điểm)
Chứng minh rằng tổng các lũy thừa ba của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9
HD chấm:
Gọi M = (a-1)3 + a3 + (a+1)3 với a nguyên, ta có
M = a3 – 3a2 +3a -1 +a3+a3 + 3a2 +3a + 1 = 3a(a2 + 2) Nếu a chia hết cho 3 thì M chia hết cho 9, nếu a không chia hết cho 3 thì a chia cho 3 còn dư 1 hoặc dư 2 ⇒ a2 + 2 chia hết cho 3 ⇒ M chia hết cho 9 (2,5 điểm)
Bài 2: (3 điểm)
HD chấm:
+
Bài 3 : (4,5 điểm)
a) Cho hai số M và N như sau :
M = 2005 + 2007 và N = 2 2006
Số nào lớn hơn ? (2 điểm)
b) Cho A = (4+ 15)( 10 - 6) 4 − 15 chứng minh A là số hữu tỉ (2,5 điểm)
HD chấm:(Bài 3) : a) Vì hai số đều dương nên bình phương M và N dẫn tới so sánh số 2005 2007 với số 2006; mà 2005 2007 = 2006 2 − 1 < 2006 => M < N (2 điểm)
Học sinh có thể c/m bằng cách khác hoặc c/m khái quát a + a+ 2 < 2 a+ 1 với mọi a ≥ 1
b) Có thể khai căn 4 − 15 chú ý là 4 ± 15 = 12 (8 ± 2 15) = 21 ( 5 ± 3)2
hoặc có thể đưa 4 + 15 vào bên trong 4 − 15 để được A = ( 10- 6) 4 + 15
kết quả A = 2 (2,5 điểm)
Bài 4: (4 điểm)
AB và CD là 2 dây cung vuông góc nhau tại E bên trong đường tròn (O, R)
a) Chứng minh rằng: EA 2 + EB 2 + EC 2 + ED 2 = 4R 2 (2 điểm)
b) Gọi M là trung điểm của AC; chứng minh EM vuông góc với BD (2 điểm)
HD chấm: a) Vẽ đường kính AOF suy ra góc ABF = 1 vuông ⇒ BF // CD ⇒ CB = DF
x x g b
x x
tg
2 2
sin
1 cot
1 ) cos
1 1
Trang 2Aùp dụng đlý Pi-ta-go: EB2 + EC2 = BC2 = DF2
EA2 + ED2 = AD2
⇒ EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = DF2 + AD2 = AF2 = 4R2
b) Ta có ∠E3 = ∠A = ∠D ⇒∠D = ∠E3
và ∠E1 = ∠E2
mà ∠E3 + ∠E2 = 1 vuông ⇒∠D + ∠E1 = 1 vuông ⇒ ĐPCM
Bài 5: (6 điểm)
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O, vẽ hai tia song song Ax, By và ở cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB Một góc vuông COD quay quanh O; hai cạnh góc vuông cắt Ax và By lần lượt tại C và D a) Chứng minh CD = AC + BD (2 điểm)
b) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB Gọi tiếp điểm là M (2 điểm)
c) AM cắt OC tại E, BM cắt OD tại F Tìm tập hợp trung điểm I của EF (2 điểm)
HD chấm: a) Gọi N là trung điểm của CD; suy ra ON vừa là trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác
vuông OCD vừa là đường trung bình của hình thang vuông ACDB ⇒ ĐPCM (1,5 điểm)
b) Vẽ OM vuông góc với CD, chứng minh OM = OB = OA:
xét 2 tam giác vuông MOD và BOD có ∠D2 = ∠O3 (so le trong) mà ∠D1 = ∠O3 (do tam giác NOD cân tại N) ⇒∠D1 = ∠D2 ; lại có cạnh huyền OD chung ⇒∆ vuông MOD = ∆ vuông BOD ⇒ OM = OB = OA và
∠OMD = ∠OBD = 1 vuông ⇒ ĐPCM (2 điểm)
c) * Thuận: C/m được tứ giác OEMF là hình chữ nhật, suy ra I là trung điểm của OM rồi suy ra I thuộc nửa đường tròn tâm O bán kính R/2
* Đảo: Lấy I’ thuộc nửa đường tròn tâm O bán kính R/2; OI’ cắt (O, R) tại M’, tiếp tuyến của (O,R) tại M’ cắt Ax tại C’, cắt By tại D’ OC’ cắt AM’ tại E’; OD’ cắt BM’ tại F’ C/m được I’ là trung điểm của E’F’ rồi kết luận quỹ tích đúng (1,5 điểm)
(HS làm cách khác nếu đúng vẫn tròn điểm)
-GV ra đề: Nguyễn Văn Thế