Ta chỉ cần chứng minh CE phải đi qua O bằng cách nhận xét MK là đường trung bình của tam giác EBC và EO là đường trung bình của tam giác AKM.. Khai thác bài toán Nhận xét 1: Với giả thi
Trang 1Bài 1:
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, các điểm E, D thuộc các cạnh AB, AC sao cho AE = 1
3AB và AD =
1
3AC Chứng minh rằng AM, BD và CE đồng quy.
1 Phân tích bài toán:
MB = MC
GT AE = 1
3AB
AD = 1
3AC
KL AM, BD, CE đồng quy
Với giả thiết đã cho, có nhiều cách để chứng minh được AM, BD và CE đồng quy, chẳng hạn như gọi O là giao điểm của OM và BD, khi đó ta dễ dàng nhận ra O là trung điểm của AM Ta chỉ cần chứng minh CE phải đi qua O bằng cách nhận xét MK là đường trung bình của tam giác EBC và EO là đường trung bình của tam giác AKM
2 Lời giải (tóm tắt):
Trên AB xác định E và K sao cho AE = EK = KB
Trên AC xác định D và Q sao cho AD = DQ = QC
Gọi O là giao điểm của AM và BD, ta có : MQ // BD
Xét tam giác AMQ có:
AD = DQ ( gt )
DO // MQ ( cmt ) ⇒ OA = OM vậy O là trung điểm của AM
Chứng minh tương tự ta có CE qua trung điểm O của AM
Vậy AM, BD và CE đồng quy tại O
3 Khai thác bài toán
Nhận xét 1: Với giả thiết của bài toán 1 ta đã chứng minh được O là trung điểm của trung tuyến AM, vấn đề đặt ra là nếu có O là trung điểm của trung tuyến AM
và AM, BD,CE đồng quy tại O,ta có thể chứng minh được
1
3
= và AD 1AC
3
= không? từ đó ta có bài toán khác
Bài 2:
Cho tam giác ABC Qua A vẽ đường thẳng Ax song song với BC, qua C vẽ đường thẳng song song với AB ; Ax cắt By tại D nối BD, BD cắt AC tại B’ qua B’
kẻ đường thẳng song song vói AD cắt AB tại C’ gọi A’ là trung điểm của BC
Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’ cùng đi qua 1 điểm
:
Hướng dẫn giải:
C B
A
Q
D E
M O
}
Trang 2V ABC, A’ là trung điểm BC
AD // BC, DC // AB
GT B’C’ // AD
KL AA’, BB’, CC’; cùng đi qua một điểm
Xét VB’AD và VB’CB có ·ADB' B'BC=· (AD// BC)
AD = BC ( tính chất đoạn chắn ) ·DAB' B'CB= · ( AD// BC)
Vậy ∆ B’AD = ∆ B’CB ( g c g)
Suy ra AB’ = B’C
C’B’// AD ( gt) và AD//BC(gt) Suy ra C’B’//BC
∆ ABC có C’B’ // BC và AB’ // B’C
Su ra AC’ = C’B
∆ ABC có AA’, BB’ , CC’ là trung tuyến nên AA’, BB’ ,CC’ cùng
đi qua một điểm
Bài 3:
Cho tam giác ABC, đường cao AH Trên nữa mặt phẳng chứa điểm A bờ là đường thẳng
BC lấy các điểm D và E sao cho ·DBA ACE 90= · = O
BD = BA , CE = CA
chứng minh rằng các đường thẳng AH, BE, CD cùng đi qua 1 điểm
Hướng dẫn giải:
⊥
V
KL AH, BE, CD đồng quy
y
x
C B
A
C'
D
A'
B'
Trang 3Trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC.
Gọi M là giao điểm của IB và DC
Xét VABI và V BDC có
BA = BD (gt); ·BAI DBC=· ( hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)
AI = BC (gt)
Vậy VABI = VDBC ( c g c)
Suy ra ·IBA BDC=·
Mà DBM IBA DBA 90· +· = · = O
Suy ra ·DBM BDM 90+· = O
V DBM có ·DBM BDM 90+· = O nên ·DMB 90= O
Vậy IB⊥DC
Chứng minh tương tự ta cũng có BE ⊥IC
V BIC có IH, CD, BE là ba đường cao nên IH,CD, BE đồng quy
Bài 4:
Cho hai đường thẳng cắt nhau tại O trên đường thẳng thứ nhất lấy ba điểm A,B,C saôch : OA = AB = BC
Trên đường thẳng thứ hai lấy ba điểm D,E,F sao cho : OD OE = EF
Chứng minh rằng AD, BF,CE cắt nhau tại một điểm
Hướng dẫn giải:
Trang 4GT a cắt b, OA = AB = BC
OD= OE = EF
KL AD, BF, CE đồng quy
Gọi I là giao điểm của BF và CE ; AE là đường trung bình của VOBF nên AE // BF
V ACE ; AE//BI; AB= BC
Suy ra CI= IE
V DCE có CO là trung tuyến, CA =2CO
3 (OA=AB=BC) nên A là trọng tam của VDCE
VDCE có A là trọng tâm , I là trung điểm CE nên DA đi qua điểm I
Vậy AD,BF,CE cắt nhau tại một điểm
Bài 5
Cho VABC cân tại A , trung tuyến AM, đường caoBE.Trên tia BA lấy điểm
F sao cho BF = CE Chứng minh rằng ba đường thẳng BE,CF và AM cùng đi qua một điểm
Hướng dẫn giải:
VABC cân tại A
GT MB = MC, AH⊥BC
BF = CE
KL BE,CF, AM đồng quy
b
a
A
B
C
E I
Trang 5Xét VBFC và VCEB có:
BF = CE (gt)
ABC ACB= (gt) ⇒ VBFC = VCEB (c g c)
MB = MC (gt)
Suy ra $F E 90= =µ Odo đó CF⊥AB
AM là trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân nên AM ⊥ BC
Suy ra AM, BE, CF là ba đường cao của VABC nên chúng đồng quy
Bài 6
Cho tam giác ABC Gọi O là điểm bất kì trong tam giác , L,M, N là trung điểm của AO, BO,CO và D,E,F là chân các đường trung tuyến thuộc các đỉnh A,B, C của tam giác ABC Chứng minh rằngDL, EM, và FN đồng quy tại một điểm
Hướng dẫn giải:
Vẫn còn nữa nhưng chưa làm
}