Chuyên đề : Phơng trình vô tỉ --- Phơng trình vô tỉ là phơng trình có chứa ẩn trong dấu căn Các phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình vô tỉ I... Trong hệ mới thì k-1 pt nhận đợc
Trang 1Chuyên đề : Phơng trình vô tỉ
- Phơng trình vô tỉ là phơng trình có chứa ẩn trong dấu căn
Các phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình vô tỉ
I Ph ơng pháp biến đổi t ơng đ ơng:
Dạng1: f x( ) = g x( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
x TXD
f x g x
f x g x
∈
Chú ý: Điều kiện (*) đợc lựa chọn tuỳ theo độ phức tạp của f(x)≥0 và g(x) ≥0
VD: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: − +x2 3x− = 2 2m x x+ − 2
2
1 1
x
x m
x m
≤ ≤
Để phơng trình có nghiệm thì 1≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤m 1 2 0 m 1
Dạng2: ( ) ( ) ( ) 2& ( ) 0
( ) ( )
g x conghia g x
f x g x
f x g x
≥
Chú ý: Không cần đặt điều kiện f x( ) 0 ≥
VD: Giải phơng trình: 2 2
1 ( 1)
x
− − = ⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ = − ⇔ = − Vậy phơng trình có nghiệm x=-1
Dạng3:
2
( ) & ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) & ( ) 0
( ( ) ( )) ( )
f x conghia f x
f x g x h x g x conghia g x
f x g x h x
Chú ý: Không cần đặt điều kiện h x( ) 0 ≥
VD: Giải phơng trình:
1
1
2
1 1 2 2 (1 )(1 2 ) 4 (1 )(1 2 ) 2 1
x x
≤
2 2
1
2
(1 )(1 2 ) (2 1)
2
x x
x
=
Hoặc có thể trình bày theo cách khác nh sau: - Tìm điều kiện để các bt có nghĩa
- Biến đổi phơng trình
Các bài tập đề nghị:
Bài1: Giải các phơng trình sau:
a/ x− 2x− = 3 0 e/ x− − 1 x+ = 1 2
b/ x2 + x+ = 1 1 g/ 15 − +x 3 − =x 6
c/ x+ − 3 x− = 4 1 h/ 4x+ − 1 3x+ = 4 1
d/ 10 − +x x+ = 3 5 k/ 3x− + − = 2 x2 x 2
Bài2: Giải các phơng trình sau:
Trang 2
Bài3: Cho phơng trình: 2
1
x − − =x m
a/ Giải phơng trình với m=1
b/ Giải và biện luận phơng trình
Bài4: Cho phơng trình: 2x2 +mx− = − 3 x m
a/ Giải phơng trình với m=1
b/ Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiệm
Bài5: Giải và biện luận các phơng trình sau:
2
II Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 1:
Phơng pháp đặt ẩn phụ dạng 1 là sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phơng trình ban
đầu thành 1 phơng trình với 1 ẩn phụ
Các phép thởng đặt là:
- Nếu bài toán có chứa f x( ) và f(x) thì đặt t= f x( ) , t≥0 Khi đó f(x)=t2
- Nếu bài toán có chứa f x( ) , g x( )và f x( ). g x( )=k(hằng số) thì đặt t= f x( ) ,
t≥0
- Nếu bài toán chứa f x( ) ± g x( ), f x g x( ) ( ), f x( ) + g x( ) =k thì đặt t=
( ) ( )
f x ± g x
Chú ý: Với các phơng trình căn thức chứa tham số sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ , nhất thiết phải tìm điều kiện đúng của ẩn phụ.
Cách tìm ĐK:
- Sử dụng tam thức bậc hai : VD: t= 2 2
x − x+ = x− + ≥
- Sử dụng BĐT: VD: t= 3 + +x 6 −x
+ T2=( 3 + +x 6 −x)2 ≤(3+x+6-x)(1+1)=18 ⇒t ≤3 2
+ T2=( 3 + +x 6 −x)2 =3+x+6-x+2 (3 +x)(6 −x) 9 ≥ ⇒ ≥t 3
VD1: Giải phơng trình:
1 31
Đặt t= x2 + ⇒ ≥ 11 t 11 Khi đó phong trình có dạng:
t2 +t – 42 =0 6
7
t t
=
⇔ = − Vì t≥ 11 nên t=6 ⇒ x2 + = ⇔ 11 6 x2 + = 11 36 ⇔ x2 = 25 ⇔ = ±x 5
Vậy phơng trình có 2 nghiệm x=-5; x=5
VD2: Giải phơng trình : 4 ( )2 4 2 4 ( )2
2 1 +x + 3 1 −x + 1 −x = 0
Giải:
Trang 3Vì x=1 không là nghiệm của phơng trình nên chia 2 vế của phơng trình cho 4( )2
1 −x ≠ 0, ta
đợc: 4 1 4 1
0
− f + , Khi đó phơng trình trở thành:
2t+ 2
1 0 1
0 2
t
t t
= − <
= − <
(không thoả mãn ĐK) Vậy phơng trình vô nghiệm
VD3: Giải phơng trình : m( 3x− + 2 x− = 1) 4x− + 9 2 3x2 − 5x+ 2
a) Giải phơng trình với m=1
b) Tìm m để PT có nghiệm
Giải:
Điều kiện: 3 2 0 1
1 0
x
x x
− ≥
− ≥
Phơng trình viết lại dới dạng: ( ) ( )2
m x− + x− = x− + x− −
Đặt t= 3x− + 2 x− ⇒ ≥ 1 t 1
a) x=2
b) m≥5
III Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 2:
- Là phơng pháp sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phơng trình ban đầu thành 1 phơng trình với 1 ẩn phụ nhng các hệ số vẫn còn chứa x
- Phơng pháp này đợc sử dụng đối với những phơng trình khi lựa chọn ẩn phụ cho 1 BT thì các BT còn lại không biểu diễn đợc triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn đợc thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp
- Khi đó ta thờng đợc 1 PT bậc 2 theo ẩn phụ hoặc vẫn theo ẩn x có biệt thức là 1 số chính phơng
VD: Giải PT: (4x− 1) x3 + = 1 2x3 + 2x+ 1
Giải:
Đặt t= x3 + 1,t≥ ⇒ = + 0 t2 x3 1 Khi đó PT có dạng:
(4x-1)t=2(x3+1) + 2x – 1
2
2 1
1 4
2
t x
t
t
=
Trang 4Thay trở lại ẩn x, ta đợc: 3 ( )2
3 3
3
1
2 0
3 2
1
3 4
4
x x
x x
x
x
≥
− ≥
=
Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt
IV Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 3:
- Là phơng pháp sử dụng k ẩn phụ chuyển pt ban đầu thành 1 hệ Pt với k ẩn phụ Trong
hệ mới thì k-1 pt nhận đợc từ các mối liên hệ giữa các đại lợng tơng ứng.
Chẳng hạn với PT : m a f x− ( ) +m b f x+ ( ) =c
( )
m
m m m
u a f x
v b f x
m m
u v c
+ =
VD: Giải PT: 3 2 − = −x 1 x− 1
Giải:
Điều kiện : x-1≥0 ⇔ ≥x 1
Đặt
3
2
1
1, 0
u v
1
u v
u v
+ =
+ =
Giải hệ ta tìm đợc u=0,1,2 , thay trở lại ẩn x ta đợc: x=2,1,10
Vậy pt đã cho có 3 nghiệm 1,2,10
V Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 4:
- Là phơng pháp sử dụng 1 ẩn phụ chuyển pt ban đầu thành 1 hệ phơng trình với 1 ẩn
phụ và 1 ẳn x
Dạng1: Phơng trình chứa căn bậc 2 và luỹ thừa bậc 2
ax b c dx e+ = ( + ) 2 + αx+ β ,d ac= + α ,e bc= + β (*)
Cách giải: Điều kiện ax+b≥ 0
Đặt dy+e= ax b dy e+ , + ≥ 0 Khi đó chuyển phơng trình về hệ 2pt 2ẩn x,y
Nhận xét: Để sử dụng phơng pháp trên cần khéo léo biến đổi phơng trình ban đầu về dạng thoả mãn ĐK(*)
VD: Giải PT: 2
x+ =x + x+
Giải:
Điều kiện: x+1≥ ⇔ ≥ − 0 x 1
PT đợc viết đới dạng: 2
1 ( 1) 1
x+ = +x +
ở đậy a=b=c=d=β = 1;e= 2; α = 0 Thoả mãn điều kiện d=ac+α;e bc= + β
Đặt y+2= x+ 1,y+ ≥ ⇔ ≥ − 2 0 y 2 Khi đó phơng trình đợc chuyển thành hệ
Do x≥ − 1;y≥ − 2 nên x+y+5>0⇒ − = ⇔ =x y 0 x y
Thay x=y vào PT(1), ta có x2+3x+3=0: PT vô nghiệm
Vậy PT đã cho vô nghiệm
Dạng2: PT có chứa căn bậc 3 và luỹ thừa bậc 3
3b ay c dy e+ = ( + ) 3 + αy+ β ,d =ac+ α ,e bc= + β
Trang 5Cách giải: Đặt dx+e=3 ay b+ Khi đó chuyển PT về hệ 2ẩn 2 PT
VD: Giải PT: x3 + = 2 3 3 3 x− 2
Đặt y=3 3x− 2 Khi đó phơng trình chuyển thành hệ
3
3
2 3
3 2
x y
+ =
Từ đó tìm đợc x=1; x=-2
Bài tập đề nghị:
Bài1: Giải các phơng trình sau:
2
/( 5)(2 ) 3 3
2
/ 2 1n 3 1n n 1 0
Bài2: Cho phơng trình: 1 + +x 8 − +x (1 +x)(8 −x) =m
a/ Giải phơng trình với m=3
b/ Tìm m để pt có nghiệm
c/ Tìm m để pt có nghiệm duy nhất
Bài3: Cho phơng trình: 2(x2 − 2x)+ x2 − 2x− − = 3 m 0
a/ Giải pt với m=9
b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm
Bài4: Cho phơng trình : ( 3) ( 1) (4 3) 1
3
x
x
+
− a/ Giải pt với m=-3
b/ Tìm m để pt có nghiệm
Bài 5: Giải các pt sau:
a/ ( )
2 2
2
x
x x
x
−
− +
−
Bài6: Giải các phơng trình sau:
+ = + − + ( )
Bài 7: Giải các phơng trình sau:
3
3
2
Bài8: Với giá trị nào của a thì các pt sau có nghiệm:
a/ 1 3 − +x 3 1 + =x a b/ 1 − +x 1 + =x a
Bài9: Giải và biện luận các phơng trình sau:
a/ x+ 4 − =x m b x/ + 1 −x2 =m
Bài10: Giải các phơng trình sau:
Trang 6
3 3 3 3
Bài11: Giải các phơng trình sau:
( ) ( )
6
+ + − =
h
Bài12: Giải các phơng trình sau:
2 2
2
4 9
28
x
+ = + >
VI Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
* Hớng1:
- Đa pt về dạng f(x)=k
- Xét hàm số y=f(k)
Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu(đb)
- Nhận xét: + Với x=x0 thì f(x)=f(x0)=k nên x=x0 là nghiệm
+ Với x>x0 thì f(x)>f(x0)=k : ptvn
+ Với x<x0 thì f(x)<f(x0)=k : ptvn
Vậy x=x0 là nghiệm duy nhất của pt
* Hớng 2:
- Đa pt về dạng f(x)=g(x)
- Xét hàm số y=f(x) và y=g(x)
Dùng lập luận khẳng định hàm số y=f(x) là hàm đồng biến còn hàm y=g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến Xác định x0 sao cho f(x0)=g(x0)
- x=x0 là nghiệm duy nhất
*Hớng3:
- Đa pt về dạng f(u)=f(v)
- Xét hàm số y=f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu
- Khi đó u=v với mọi u,v thuộc TXĐ
Bài tập đề nghị:
Bài1: Giải các phơng trình sau:
3 2
− = − − +
− = + −
Bài2: Giải và biện luận pt: 2 ( ) 2
x − = m+ x m+ + +m , với x≥-m
Trang 7VII Ph ơng pháp điều kiện cần và đủ:
*Thờng áp dụng cho các dạng toán.
Tìm điều kiện của tham số để: - Pt có nghiệm duy nhất
- Pt có nghiệm với mọi giá trị của 1 tham số
- Pt nghiệm đúng với mọi x thuộc D
- Pt tong đơng với 1 pt hoặc 1 bất ph khác
* Cách làm: - Đặt ĐK để các biểu thức trong pt có nghĩa
- Tìm ĐK cần
- Tìm ĐK đủ
VD1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
1 −x2 + 2 1 3 −x2 =m
Giải:
Điều kiện: 1 −x2 ≥ ⇔ − ≤ ≤ 0 1 x 1
• ĐK cần: Nếu pt có nghiệm x0 thì -x0 cũng là nghiệm của pt Do đó để pt có nghiệm duy nhất thì x0=-x0 ⇔x0 = ⇔ = 0 m 3
• ĐK đủ: Với m=3 thì pt: 1 −x2 + 2 1 3 −x2 = 3
Vì
2
3
x
x
− ≤
Do đó phơng trình có nghiệm
2
0
x
x x
− =
Vởy với m= 3 thì phơng trình có nghiệm duy nhất
VD2: Tìm m để phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x≥0
x2 + 2x m− 2 + 2m+ = + − 4 x m 2 (1)
Giải:
*ĐK cần: G/s (1) có nghiệm với mọi x≥0 thì x=0 là nghiệm của (1), khi đó
(1):
2
2 2
2 0
m
− ≥
* ĐK đủ:
Với m=3 thì (1) có dạng: x2 + 2x+ = + ⇔ ≥ 1 x 1 x 0
Vởy với m=3 thì (1) có nghiệm đúng với mội x≥0
VD3: Tìm a,b để phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x
a +x − x + + =bx
Giải:
*ĐK cần: giả sử pt có nghiệm với mọi x thì x=0 là nghiệm của pt khi đó thay vào tìm
đ-ợc a=1; b=0
*ĐK đủ: Với a=1; b=0 thay vào pt ta có pt luôn đúgn với mọi x
Vởy với a=1; b=0 thì phơng trình nghiệm đúng với mọi x
VD4: Cho 2 phơng trình:
( ) ( ) 2
x+ − =x m x + x m+ − (1)
X4 +6x3+9x2-16 =0 (2)
Giải:
Trang 8Giải (2): x=1 hoặc x=4
• ĐK cần: G/s (1) tơng đơng với (2) thì x=1 là nghiệm của (1) Thay vào tìm đợc m=1
• ĐK đủ: với m=1, thay vào (1) Tìm đợc nghiệm là 1 và -4
Vởy với m=1 thì (1) tơng đơng với (2)
Bài tập đề nghị:
Bài1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
3
3
5
Bài2:Tìm a,b để pt sau có gnhiệm duy nhất:
3 2 3( )2 ( 2 2 2) 3
3
(ay b+ ) + ay b− + a y −b = b
Bài3: Tìm m để phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x≥ 1
x2 − 2x m+ 2 − 3m+ = 3 mx− 1
Bài4: Tìm m để pt sau nghiệm đúng với ∀ ∈x [ ]0, 2
2x x− 2 = 1 − +m (m+ 1)x x− 2
Bài5: Tìm a,b để pt sau nghiệm đúng với mọi x
x2 + −a bx2 + −(b 1)x+ = 1 0
Bài6: Cho phơng trình và bất phơng trình :
2 1 2 22 1 2 2 2
Tìm m để phơng trình và bất phơng trình tơng đơng với nhau.
VIII Ph ơng pháp đánh giá:
VD1: Giải phơng trình: x2 − 2x+ + 5 x− = 1 2
Giải: Từ ĐK đánh giá VT luôn lớn hơn hoặc bằng 2 dựa trên tam thức bậc hai
x− x − + x+ x − = Giải:
ĐK: x≥ 1
đánh giá VT≥ 2 dựa trên BĐT Cosi, dấu = xảy ra khi x=1,-1
Do x≥ 1 nên x=1
Bài tập đề nghị:
Bài1: Giải các phơng trình sau:
Trang 9
2
2
3
2
y
− + − = − + ÷
+
4
2
6 / 2 1 19 2
10 24
Bµi2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
2
Bµi3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: