Xét 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng.. Mỗi một cặp điểm được nối với nhau thành một đoạn thẳng và được tô màu hoặc là xanh hoặc là đỏ hoặc là không được tô màu.. Tìm giá tr
Trang 11 Tìm tất cả các số nguyên a, b, c thoả mãn 1 < a < b sao cho (a - 1)(b - 1)(c - 1) là ước số của abc - 1
2 Tìm tất cả các hàm f xác định trên tập tất cả các số thực và nhận giá trị thực sao cho f(x2 + f(y)) = y + f(x)2 với mọi x, y
3 Xét 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng Mỗi một cặp điểm được nối với nhau thành một đoạn thẳng và được tô màu hoặc là xanh hoặc là đỏ hoặc là không được tô màu Tìm giá trị nhỏ nhất của n sao cho nếu có đúng n cạnh được tô màu thì trong đó nhất thiết phải chứa một tam giác có tất cả các cạnh được tô cùng một màu
4 L là một đường tiếp tuyến với đường tròn C và M là một điểm trên L Tìm quỹ tích tất cả các điểm P sao cho tồn tại các điểm Q và R trên L cách đều M với C là vòng tròn nội tiếp tam giác PQR
5 Cho S là tập hợp hữu hạn các điểm trong không gian ba chiều Gọi Sx, Sy, Sz lần lượt là các tập bao gồm các điểm là hình chiếu của các điểm trong S lên các mặt phẳng yOz, zOx, xOy
Chứng minh rằng:
|S|2 <= |Sx| |Sy| |Sz| Trong đó, |A| biểu diễn số điểm trong tập A
[Hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng là chân đường vuông góc hạ từ điểm đó lên mặt phẳng]
6 Với mỗi số nguyên dương n, S(n) được định nghĩa như là một số nguyên lớn nhất sao cho với mọi số nguyên dương k <= S(n), n2 cóthể được viết dưới dạng tổng các bình phương của k số nguyên dương
(a) Chứng minh rằng: S(n) <= n2 - 14 với mỗi n >= 4
(b) Tìm một số nguyên n sao cho S(n) = n2 - 14
(c) Chứng minh rằng tồn tại vô số các số nguyên n sao cho S(n) = n2 - 14