Cho tam giác nhọn ABC.. Đường phân giác trong của góc A cắt BC tại L và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại N.. Gọi K, M lần lượt là chân đương vuông góc hạ từ L xuống AB, AC.. Chứng
Trang 11 Cho pn(k) là số phép hoán vị của tập {1, 2, 3, , n} trong đó có k điểm cố định.
Chứng minh rằng:
= n!
(Hoán vị f của tập S là ánh xạ 1 - 1 : S S Phần tử i của S được gọi là cố định nếu f(i) = i.)
2 Cho tam giác nhọn ABC Đường phân giác trong của góc A cắt BC tại L và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại N Gọi K, M lần lượt là chân đương vuông góc hạ từ L xuống AB,
AC Chứng minh rằng: diện tích của tứ giác AKNM và diện tích của tam giác ABC là bằng nhau
3 Cho x1, x2, x3, , xn là các số thực thoả mãn: x12 + x22 + + xn2 = 1
Chứng minh rằng: với mọi số nguyên k 2 tồn tại các số nguyên a1, a2, , an không đồng thời bằng 0 sao cho |ai| k -1 với mọi i, và |a1x1 + a2x2 + + anxn|
4 Chứng minh rằng không tồn tại hàm f : R1 R1, R1 - là tập các số nguyên không âm, sao cho:
f(f(n)) = n + 1987 với mọi n
5 Cho n là một số nguyên (n 3) Chứng minh rằng tồn tại một tập n điểm trong mặt phẳng sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kì là một sô vô tỉ và mỗi tập gồm 3 điểm xác định một tam giác không suy thoái với diện tích là một số hữu tỉ
6 Cho n là một số nguyên (n 2) Chứng minh rằng: nếu k2 + k + n là một số nguyên tố với mọi số nguyên k thỏa mãn 0 k thì k2 + k + n là một số nguyên tố với mọi k: 0 k
n - 2