Câu 5 : 4 điểm Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn O và có trực tâm là H.. a Xác định vị trí của điểm M thuộc cung BC khơng chứa điểm A sao cho tứ giác BHCM là một
Trang 1KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9-THCS
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1: (4 điểm) Cho phương trình : 2
2 x − (6 m − 3) x − 3 m + = 1 0 ( x là ẩn số)
a) Định m để phương trình trên có hai ngiệm phân biệt đều âm
b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình trên
Định m để A= 2 2
x + x đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 2 : (4 điểm)
a) Cho a, b, c, d là các số dương Chứng minh:
b) Cho a ≥ 1 ; b ≥ 1 Chứng minh : a b − + 1 b a − ≤ 1 ab
Câu 3 : (4 điểm)
Giải các phương trình :
( x − 3 ) x − 6( x − 3 ) 7 0 x − =
b) 8 + x − + 3 5 − x − = 3 5
c) x x + 2 + x x − 2 = + x 1
Câu 4 : (2 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n2+ + n 1 không chia hết cho 9
Câu 5 : (4 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và có trực tâm là H a) Xác định vị trí của điểm M thuộc cung BC khơng chứa điểm A sao cho tứ giác BHCM là một hình bình hành
b) Lấy M là điểm bất kỳ trên cung BC không chứa A Gọi N và E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC Chứng minh ba điểm N , H , E thẳng hàng
Câu 6 : (2 điểm)
Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và diện tích tam giác AOB bằng
4 , diện tích tam giác COD bằng 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD
HẾT
Trang 2ĐÁP ÁN Câu 1: (4 điểm) Cho phương trình : 2
2 x − (6 m − 3) x − 3 m + = 1 0 ( x là ẩn số)
a) Định m để phương trình trên có hai ngiệm phân biệt đều âm
b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình trên
Định m để A= 2 2
x + x đạt giá trị nhỏ nhất
Giải:
(6 m 3) 8( 3 m 1) (6 m 1)
1;2
6m - 3 6m - 1
x
4
±
1
x 3m - 1
2
= −
Để hai nghiệm phân biệt đều âm thì
1
3
2
6
m
m
b)Ta có A= 2 2
A đạt GTNN là
4
1
3
m =
Câu 2 : (4 điểm)
a) Cho a, b, c, d là các số dương Chứng minh:
b) Cho a ≥ 1 ; b ≥ 1 Chứng minh : a b − + 1 b a − ≤ 1 ab
Giải :
a) Ta có : ( với a, b, c, d là các số dương)
>
>
>
>
Ta lại có :
1
a b c c d a
<
<
Trang 31
<
<
Từ đó ta có đpcm.
( , a b ≥ 1)
2
ba
b a − ≤ ( 1)
Tương tự : 1
2
ab
a b − ≤ (2)
Cộng (1) và (2) ta có đpcm.
Câu 3 : (4 điểm)
Giải các phương trình :
( x − 3 ) x − 6( x − 3 ) 7 0 x − =
b) 8 + x − + 3 5 − x − = 3 5
c) x x + 2 + x x − 2 = + x 1
Giải:
a) ( x2− 3 ) x 2− 6( x2− 3 ) 7 0 x − =
Đặt 2
3
t = x − x, ta có phương trình : t2− − = ⇔ = − 6 t 7 0 t 1 v t = 7
2
t = − x − x = − ⇔ x − + = ⇔ = x x ±
2
t = x − x = ⇔ x − − = ⇔ = x x ±
b) 8 + x − + 3 5 − x − = 3 5
Đặt u = 8 + x − ⇔ ≥ 3 u 0, u2 = + 8 x − 3 Đặt v = 5 − x − ⇔ ≥ 3 v 0, v2 = − 5 x − 3
13
v
Từ đó ta tìm được nghiệm x = 4
1
x x + + x x − = + x ( Điều kiện : 0 ≤ ≤ x 1
Ta thấy x = 0 không thỏa nên ta chia hai vế cho x:
Trang 4Xét vế phải : x 1 2
x
+ ≥ và dấu bằng xảy ra khi x = 1.
2
Suy ra vế trài : 1 + + x 1 − ≤ x 2 và dấu bằng xảy ra khi x = 0.
Vậy hai vế không bằng nhau Phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu 4 : (2 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n2+ + n 1 không chia hết cho 9
Giải:
Giả sử n2+ + n 1 chia hết cho 9 thì ta có :
n + + = n k k N ∈
n + + − n k = ( 1)
1 4(1 k 9) 36 k 3 3(12 k 1)
Ta thấy ∆ chia hết cho 3 và không chia hết cho 9 nên không là số chính phương, do vậy phương trình (1) trên không thể có nghiệm nguyên
Vậy n2+ + n 1 không chia hết cho 9 ( đpcm)
Câu 5 :
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và có trực tâm là H a)Xác định vị trí của điểm M thuộc cung BC khơng chứa điểm A sao cho tứ giác BHCM là một hình bình hành
b)Lấy M là điểm bất kỳ trên cung BC không chứa A Gọi N và E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC Chứng minh ba điểm N , H , E thẳng hàng
a) Gọi Mo là điểm đối xứng của A qua tâm O của đường tròn.
Ta có CMo song song với BH vì cùng vuông góc với AC.
BMo song song với CH vì cùng vuông góc với AB.
Vậy tứ giác BHCMo là một hình bình hành.
Điểm Mo chính là vị trí của M mà ta cần xác định.
Trang 5b) Ta có N và M đối xứng qua AB nên : ANB=AMB= ACB.
H là trực tâm tam giác ABC nên AHB + ACB = 180o
Suy ra : ANB + AHB = 180o Tứ giác AHBN nội tiếp được cho ta : NHB = NAB.
Mà NAB = MAB nên NHB = MAB ( 1) Tương tự ta cũng có : EHC = MAC ( 2 )
Cộng (1 ) và (2 ) ta có : NHB + EHC = BAC.
Mà ta lại có : BAC + BHC = 180o
Nên : NHB + EHC + BHC = 180o
Vậy N, H , E thẳng hàng.
Câu 6 : (2 điểm)
Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và diện tích tam giác AOB bằng
4 , diện tích tam giác COD bằng 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD
Giải :
Đặt SBOC = x , SAOD = y
9
x xy
Ta lại có SABCD = + + + ≥ + 4 9 x y 13 2 xy = + 13 2.6 25 =
Dấu bằng xảy ra khi x = y = 6
Vậy diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị nhỏ nhất là 25.